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Satz des Pythagoras – Seite berechnen (2)

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Satz des Pythagoras – Seite berechnen (2)
lernst du in der 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Satz des Pythagoras – Seite berechnen (2)

Weiter geht es mit dem zweiten Video über die Übungsvideo zum Satz des Pythagoras. Gegeben ist ein allgemeines Dreieck. Die Länge zweier Seiten ist mit 8 cm und 9 cm gegeben. Gesucht ist die dritte Seite x. Zusätzlich wissen wir, dass die Höhe h_x 7cm beträgt. Da die Höhe h_x im rechten Winkel zur Seite x steht, haben wir gesehen, dass die Höhe h_x das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt. Die Seite x teilen wir deshalb in p und q. Wie die Rechnung aussieht, siehst du im Video!

Transkript Satz des Pythagoras – Seite berechnen (2)

Hallo, nachdem ich im letzten Film also q doch noch erfolgreich ausrechnen konnte. Ich habe ja es geschafft, 64-49 zu rechnen, das ist 15. Es war nicht ganz einfach, aber du siehst, auch wenn ich aufgeregt bin, ich war, das geht mir genauso wie dir, dann kann ich manchmal auch gar nicht mehr richtig rechnen, aber ich hab‘s dann doch geschafft. Jetzt möchten wir p ausrechnen. Da schreib ich erst mal den Satz des Pythagoras hin, so wie ich ihn kenne, oder wie du ihn kennst, das ist also normalerweise a²+b²=c². Und dann kommen hier diese Bezeichnungen, die ich in der Aufgabe vorfinde, das c steht ja hier für die Hypotenuse, Hypotenuse heißt das, und die Hypotenuse, die also diesem rechten Winkel hier gegenüberliegt, das ist die Seite mit 9 Längen Einheiten, deshalb kommt hier 9² hin, und dann hab ich hier noch p²+7², das sind die beiden Katheten, nun muss ich das hier nach p auflösen. Ich rechne erst mal -7² auf beiden Seiten, dann steht hier noch p²=9²-7² und dann kann ich die Wurzel ziehen auf beiden Seiten, das ist dann also p=\sqrt9²-7², das ist komplett unter der Wurzel. So sieht die Rechnung aus in schön, ich hoffe, du kannst alles erkennen. Jetzt passiert Folgendes, ich muss das jetzt ausrechnen, ich hoffe, es gelingt mir. 9² ist also 81, 7² ist 49, 81-49 ist 32 und deshalb steht hier also die \sqrt32 und da du ja die Wurzelgesetze gemacht hast, kennst du auch das Gesetz zum teilweisen Wurzelziehen. Wir wissen ja, dass \sqrt32 2×16 ist und deshalb können wir auch schreiben \sqrt32 ist 16×2. Die Wurzel aus 16 können wir einzeln ziehen, das ist also 4x\sqrt2, das kommt hier also heraus. Jetzt müssen wir noch x ausrechnen, und das bedeutet, wir müssen einfach p und q zusammenzählen. Dann haben wir also x=p+q das schreibe ich alles hier in eine Gleichung. Ich weiß nicht, ob du das darfst, ich mach das einfach mal, ich erlaub mir das. P haben wir schon, q haben wir schon ausgerechnet ist \sqrt15 p haben wir auch ausgerechnet das ist 4×\sqrt2. Und +15 kommt dahinter, +\sqrt15 Entschuldigung. Und das ist das exakte Ergebnis für x, da unten steht’s. Ja die meisten holen jetzt den Taschenrechner raus, spätestens jetzt, meistens ja schon eher, schon bevor die Aufgabe da ist, überhaupt wird irgendwas auf den Taschenrechner eingetippt, was natürlich völliger Blödsinn ist. Dein Taschenrechner kann dir hierfür, für 4×\sqrt2+\sqrt15 einen Nährungswert angeben. Wenn nach dem exakten Wert gefragt ist, also wie groß ist exakt x, dann kannst du nur das hinschreiben, ein Näherungswert hilft dir nicht. Dein Taschenrechner kann diese Wurzeln nicht ausrechnen, er kann Näherungswerte angeben, wenn das gefragt ist, kannst du das benutzen, wenn es nicht gefragt ist, brauchst du das nicht und du kannst ihn weiter irgendwo hinschmeißen, wo er keinen Schaden anrichtet. Also, in diesem Sinne, ich hoffe, du hattest das alles genauso, viel Spaß, bis bald, tschüss.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. sehr super untericht

    Von Nomi786582, vor etwa 6 Jahren
  2. Wenn a nicht negativ ist, kann a positiv oder 0 sein. Wenn a positiv ist, kann a nicht 0 sein. In der Frage ging es darum, diesen Unterscheid herauszuarbeiten.

    Von Martin Wabnik, vor etwa 11 Jahren
  3. Bei der Frage: Welche Voraussetzung muss für a gelten, dass du teilweise die wurzel ziehen kannst, finde ich es verwirrend dass die Antwort : a muss positiv sein als falsch angezeigt wird. a muss positiv sein entspricht ja dass a nicht negativ sein darf, oder? wären also eigentlich beide antworten richtig, oder ?

    Von Nky, vor etwa 11 Jahren
  4. Toll

    Von H. B., vor mehr als 11 Jahren

Satz des Pythagoras – Seite berechnen (2) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Satz des Pythagoras – Seite berechnen (2) kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschrifte die Seiten des schraffierten Dreiecks.

    Tipps

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Es gibt in einem rechtwinkligen Dreieck zwei Katheten und eine Hypotenuse.

    Die Katheten liegen an dem rechten Winkel an.

    Die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber. Sie ist die längste Seite in dem Dreieck.

    Du brauchst diese Zuordnung, welche Seite Kathete und welche Hypotenuse ist, für den Satz des Pythagoras.

    Lösung

    Um den Satz des Pythagoras anwenden zu können, muss man sich zunächst klarmachen, welche Seite eine Kathete und welche eine Hypotenuse ist:

    • die Katheten, es gibt zwei, liegen an dem rechten Winkel an und
    • die Hypotenuse, es gibt eine, liegt dem rechten Winkel gegenüber.
    • Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.
    In dem schraffierten Dreieck hat
    • die Hypotenuse die Länge $9$,
    • eine Kathete die Länge $7$ und
    • die Länge der anderen Kathete ist unbekannt.

  • Berechne die Länge der Seite $p$.

    Tipps

    Mache dir, um den Satz des Pythagoras zu verwenden klar, welche Seite des Dreiecks die Hypotenuse ist und welche Seiten Katheten sind.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Lösung

    Das schraffierte Dreieck hat einen rechten Winkel. Die Hypotenuse hat die Länge $9$, die eine Kathete die Länge $7$ und die andere ist unbekannt: $p$.

    Der Satz des Pythagoras führt zu der Gleichung:

    $p^2+7^2=9^2$.

    Diese Gleichung wird nun nach $p$ aufgelöst:

    $\begin{align*} p^2+7^2&=9^2&|&-7^2\\ p^2&=9^2-7^2&|&\sqrt{~}\\ p&=\sqrt{9^2-7^2}\\ &=\sqrt{32}=4\cdot \sqrt2. \end{align*}$

  • Leite die Länge der Seite $x$ her.

    Tipps

    Beachte, dass in diesem Trapez zwei Seiten senkrecht aufeinander stehen.

    Zeichne eine Hilfslinie ein, mittels derer du ein rechtwinkliges Dreieck erhältst, in welchem $x$ die Hypotenuse ist.

    Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

    Lösung

    Da bei diesem Trapez zwei Seiten senkrecht aufeinander stehen, kann man die entsprechenden Seiten, wie in dem Bild zu erkennen, so eintragen, dass ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten der Länge $100$ und $240$ und der unbekannten Hypotenuse $x$ entsteht. Es gilt dann mit dem Satz des Pythagoras:

    $100^2+240^2=x^2$.

    Die rechte Seite kann ausgerechnet werden und aus der Summe wird die Wurzel gezogen:

    $x=\sqrt{67600}=260$.

  • Berechne die Länge der Seiten $x$ und $p$.

    Tipps

    Die Länge von $p$ lässt sich mithilfe des Satzes von Pythagoras bestimmen.

    Um $x$ zu erhalten, musst du zu $p$ etwas addieren. Schau dir das Trapez genau an.

    $p$ ist eine Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck, welches du in dem Bild erkennen kannst.

    Wie lang ist die andere Kathete und wie lang ist die Hypotenuse?

    Lösung

    Zunächst kann $p$ mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden in dem oberen rechtwinkligen Dreieck, mit

    • den Katheten der Länge $p$ und $12$ sowie
    • der Hypotenuse der Länge $14$.
    $p^2+12^2=14^2$.

    Durch Subtraktion von $12^2$ erhält man

    $p^2=14^2-12^2$.

    Nun kann die Differenz berechnet und daraus die Wurzel gezogen werden:

    $p\approx7,2$.

    $x$ erhält man, indem man diesen Wert zu $4$ addiert:

    $x=7,2+4=11,2$.

  • Beschreibe, wie die Länge der Seite $x$ berechnet werden kann.

    Tipps

    Stelle dir in dem obigen Bild vor, du gehst von dem linken unteren Eckpunkt des Dreiecks zu dem Punkt, in welchem die Höhe auf die Seite trifft. Von dort aus gehst du zu dem rechten unteren Eckpunkt des Dreiecks.

    Wie gelangst du zu der gesamten Länge des zurückgelegten Weges?

    Mache dir dies mit Zahlen klar.

    $x$ ist sicher länger als $p$ und auch länger als $q$.

    Die Höhe des Dreiecks teilt die Seite $x$ in $p$ und $q$.

    Lösung

    In diesem Bild ist zu erkennen, dass $x$ aufgeteilt wird in $p$ und $q$. Das bedeutet, die Länge von $x$ ist die Summe von $p$ und $q$.

    $p$ und $q$ können jeweils mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

    • $q=\sqrt{15}$
    • $p=4\cdot\sqrt2$.
    Somit ist $x=p+q=\sqrt{15}+4\cdot \sqrt2$.

    Dieser Wert kann mithilfe des Taschenrechners berechnet werden:

    $x\approx 9,53$ [LE].

  • Ermittle die fehlenden Seiten $x$, $p$ und $q$.

    Tipps

    Das rote Dreieck ist rechtwinklig nach dem Satz von Thales.

    Die untere Seite des roten Dreiecks hat die Länge $2\cdot 8=16$.

    $x$ kann entweder als Kathete in dem roten Dreieck berechnet werden oder als Hypotenuse in dem linken Teildreieck.

    Die Summe von $p$ und $q$ ist $8$.

    Lösung

    Es sollen die fehlenden Größen $x$, $p$ und $q$ berechnet werden.

    Da das rote Dreieck nach dem Satz des Thales rechtwinklig ist, kann der Satz des Pythagoras in diesem Dreieck angewendet werden. Die untere Seite dieses Dreiecks ist der Durchmesser des Halbkreises und hat somit die Länge $2\cdot8=16$.

    $x^2+8^2=16^2$. Diese Gleichung kann wie folgt nach $x$ aufgelöst werden:

    $\begin{align*} x^2+8^2&=16^2&|&-8^2\\ x^2&=16^2-8^2=192&|&\sqrt{~}\\ x&=\sqrt{192}\approx13,9. \end{align*}$

    Ebenso kann $q$ berechnet werden:

    $q^2+7^2=8^2$. Auch diese Gleichung wird nach der Unbekannten aufgelöst:

    $\begin{align*} q^2+7^2&=8^2&|&-7^2\\ q^2&=8^2-7^2=15&|&\sqrt{~}\\ q&=\sqrt{15}\approx 3,9. \end{align*}$

    Da $p$ und $q$ gemeinsam $16$ ergeben, ist $p=16-3,9=12,1$.

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