Satz des Pythagoras – Schrankbeispiel (2)

Satz des Pythagoras – Schrankbeispiel (2) Übung

• Stelle die Formel nach dem Satz des Pythagoras auf.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras besagt: Qenn die Kathetenlängen quadriert werden und diese Quadrate addiert, erhält man das Quadrat der Hypotenusenlänge.

  Die Katheten in einem rechtwinkligen Dreieck liegen an dem rechten Winkel an.

  Lösung

  Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Die Katheten sind bekannt und haben die Längen $17,6~cm$ sowie $23,5~cm$.

  Die Hypotenuse ist unbekannt: $d$.

  Der Satz des Pythagoras auf dieses Dreieck angewendet lautet:

  $17,6^2+23,5^2=d^2$.

• Berechne die Länge der Diagonale des Schrankes.

  Tipps

  Die Hypotenuse ist gesucht.

  Der Satz des Pythagoras muss nicht umgestellt werden.

  Da es sich um Dezimalzahlen handelt, kannst du einen Taschenrechner verwenden.

  Du kannst alle Rechnungen ohne Längeneinheiten durchführen.

  Vergiss bei deinem Antwortsatz die Längeneinheit nicht.

  Lösung

  Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

  $17,6^2+23,5^2=d^2$.

  Da die Hypotenuse gesucht ist, muss diese Gleichung nicht umgestellt werden. Die linke Seite kann berechnet und aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen werden:

  $d=\sqrt{17,6^2+23,5^2}\approx29,36$.

  Die Länge der Diagonalen beträgt $29,36~cm$.

• Leite die Länge der Diagonalen des Tores her.

  Tipps

  Du kannst dir das Fußballtor als Rechteck skizzieren.

  Die Länge der Diagonale ist unbekannt.

  Wenn die Hypotenuse unbekannt ist, muss der Satz des Pythagoras nicht umgestellt werden.

  Lösung

  Die Diagonale $d$ des Tores ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen $7,32~m$ sowie $2,44~m$.

  Nach dem Satz des Pythagoras gilt:

  $7,32^2+2,44^2=d^2$.

  Die Summe auf der linken Seite kann berechnet und daraus die Wurzel gezogen werden:

  $d=\sqrt{7,32^2+2,44^2}\approx7,72$.

  Die Diagonale des Fußballtores hat die Länge $7,72~m$.

• Arbeite heraus, wie du den Umfang des Vierecks berechnen kannst.

  Tipps

  Überlege dir, mit welchem Dreieck du beginnen musst.

  Bei drei Größen müssen zwei bekannt sein, um eine dritte zu berechnen.

  Der Umfang ist gegeben als die Summe der Seiten $h$, $g$, $j$ und $k$.

  Lösung

  Der Umfang dieses Vierecks ist gegeben durch $h+g+j+k$. $h$ und $k$ sind bereits gegeben. Die beiden übrigen Größen müssen noch berechnet werden.

  In dem grünen Dreieck gilt:

  $g^2+3^2=5^2$.

  Da die Kathete unbekannt ist, muss diese Gleichung umgestellt werden:

  $\begin{align*} g^2+3^2&=5^2&|&-3^2\\ g^2&=5^2-3^2=25-9=16. \end{align*}$

  Durch Ziehen der Wurzel erhält man $g=4$.

  Damit kann die fehlende Seite $j$ in dem roten Dreieck berechnet werden:

  $5^2+j^2=6^2$.

  Auch diese Gleichung muss umgeformt werden:

  $\begin{align*} 5^2+j^2&=6^2&|&-5^2\\ j^2&=6^2-5^2=36-25=11. \end{align*}$

  Somit ist $j=\sqrt{11}$.

  Nun kann der Umfang berechnet werden:

  $U=3+4+\sqrt{11}+6=13+\sqrt{11}\approx16,3$.

  Der Umfang des Vierecks beträgt $16,3~cm$.

• Gib die Formel nach dem Satz des Pythagoras an.

  Tipps

  In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Wenn man die Kathetenlängen quadriert und die Quadrate addiert, erhält man das Quadrat der Hypotenusenlänge.

  Die Hypotenuse steht beim Satz des Pythagoras allein.

  Die Hypotenuse ist die längste Seite in einem rechtwinkligen Dreieck.

  Lösung

  Da die Diagonale das Rechteck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke teilt, kann in einem dieser Dreicke der Satz des Pythagoras angewendet werden.

  Die Katheten sind bekannt und haben die Längen $0,65~m$ sowie $2,4~m$.

  Die Hypotenuse $d$ ist gesucht.

  Der Satz des Pythagoras auf dieses Dreieck angewendet lautet:

  $0,65^2+2,4^2=d^2$.

  Die Summe der Quadrate kann berechnet und daraus die Wurzel gezogen werden. Dies ergibt, dass die Diagonale die Länge $2,49~m$ hat.

• Berechne, wie weit die Leiter von der Wand entfernt steht.

  Tipps

  Fertige eine Skizze an.

  Die Leiter entspricht der Hypotenuse.

  Gesucht ist eine Kathete.

  Stelle den Satz des Pythagoras auf und stelle diesen nach der unbekannten Kathete um.

  Lösung

  Um eine Textaufgabe zu lösen, ist es sinnvoll, eine Skizze der gegebenen Situation anzufertigen.

  Die Länge der Leiter $l=5~m$ steht für die Hypotenuse in dem rechtwinkligen Dreieck und die Höhe $h=4~m$ für eine Kathete. Die andere Kathete, die Entfernung, ist gesucht.

  Es gilt nach dem Satz des Pythagoras $e^2+4^2=5^2$. Diese Gleichung kann nach $e$ umgestellt werden.

  $e^2=5^2-4^2=25-16=9$.

  Nun kann die Wurzel gezogen werden:

  $e=\sqrt9=3$.

  Die Leiter steht 3 Meter von der Wand entfernt.