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Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Einführung

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Martin Wabnik
Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Einführung
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Einführung

Es gibt Zufallsversuche, deren Wahrscheinlichkeiten wir nicht bestimmen (können) - weil z.B. die dafür nötigen Messungen praktisch viel zu kompliziert sind oder weil es einfach zu viele Möglichkeiten gibt oder weil die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten zu teuer wäre usw. Man kann dann den Zufallsversuch häufig durchführen, die relativen Häufigkeiten der Ergebnisse notieren und hoffen, dass die relativen Häufigkeiten in der Nähe der Wahrscheinlichkeiten liegen. Mathematisch gesehen hoffen wir aber nicht, sondern bilden einen Modell-Zufallsversuch, dessen Wahrscheinlichkeiten den relativen Häufigkeiten entsprechen. Mit diesem Modell-Zufallsversuch rechnen wir dann weiter und übertragen die Ergebnisse auf den realen Versuch.

Transkript Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Einführung

Hallo. Die relative Häufigkeit und die Wahrscheinlichkeit haben etwas miteinander zu tun. Und was das genau ist, können wir jetzt mal klären. Und zwar anhand dieses Quaders hier. Da sind die Zahlen von 1 bis 6 drauf und den kann man hochwerfen und dann bleibt er mit einer Seite nach oben liegen. Das Ganze ist ein Zufallsversuch. Die Ergebnisse sollen die oben liegenden Zahlen sein. Also die Zahlen von 1 bis 6. Wenn wir uns den Quader so ansehen, könnten wir auf die Idee kommen, dass zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 5 größer ist als die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 3 oder die Wahrscheinlichkeit für die Zahl 1. Weil nämlich die Seite mit der 5 größer ist als die mit der 1. Aber welche Wahrscheinlichkeit hat denn nun das Ergebnis 5? Wenn wir das so für den Hausgebrauch beantworten wollen, könnten wir den Quader jetzt öfter werfen, zum Beispiel hundert Mal. Und uns notieren, wie oft die 5 oben liegt. Das mache ich jetzt nicht vor, das würde zu lange dauern. Aber mein Kameramann Tim, danke, hat das schon erledigt. Und hier sind die Notizen dazu. Die 5 lag 32 mal oben. Damit ist die relative Häufigkeit der 5 gleich 32/100. Und so im Alltag könnten wir sagen, ok dann ist die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses fünf bei diesem Quader auch 32/100 oder eben 0,32. Wie gesagt, im Alltag ist das überhaupt kein Problem, ist das sehr sinnvoll, das zu machen. Wir ziehen solche Schlüsse sowieso andauernd. Nur hat das alles nichts mit Mathematik zu tun. Allein schon die Vorstellung, in diesem Quader befindet sich eine Wahrscheinlichkeit, die also wie eine geheime Macht den Quader beeinflusst oder ihm eine Tendenz aufdrückt, in 32% der Fälle die 5 oben liegen zu lassen, gehört nicht zur Mathematik. Also nicht, dass wir uns falsch verstehen. Im Alltag, wenn man sich vorstellt, es sei eine Wahrscheinlichkeit drin, kein Problem. In der Mathematik machen wir es anders. Was machen wir da? Wir nehmen die ganzen Ergebnisse und schmeißen sie in einen Eimer...und haben einen Zufallsversuch. Ja, das einmalige Ziehen aus diesem Eimer ist ein Zufallsversuch. Wir kennen die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis fünf. Die ist 0,32 oder eben 32%. Die wissen wir ganz genau. Wir können jetzt hier auch alles Mögliche ganz genau berechnen. Und wir können natürlich auch annehmen, dass die Wahrscheinlichkeiten bei diesem Quader so ähnlich sind, wie hier in diesem Eimer. Aber das hier ist nicht mehr Teil der Mathematik. Hier können wir exakt rechnen, da können wir nicht exakt rechnen. Denn die Mathematik geht nur bis hierhin. Das Ganze nennt sich übrigens Modellbildung. Also das ist nicht die Bildung eines Models, haha. Wir bilden uns ein Modell der Realität. Hier im Real Life haben wir den Quader, da können wir was ausprobieren, da können wir was messen und so weiter. Dann basteln wir dazu ein Modell, was diesem Quader möglichst ähnlich sieht zumindest wahrscheinlichkeitsmäßig ähnlich sieht. Hier können wir dann was Exaktes berechnen. Denn wir erkennen die Wahrscheinlichkeit ganz exakt. Und die Resultate, die wir hier ausgerechnet haben, die können wir dann wieder auf den Quader übertragen. Und jetzt gibt es nochmal ein Schaubild dazu. Das ist hier also die Systematik. Wir haben einen Zufallsversuch. Den können wir häufiger durchführen und dann erhalten wir relative Häufigkeiten. Beides übertragen wir dann in einen Modellversuch. Und die relative Häufigkeit wird dann zur Wahrscheinlichkeit. In dem Modellversuch können wir dann exakt rechnen. Kommen auch zu exakten Resultaten und diese können wir dann wieder übertragen auf den Ausgangszufallversuch. Ja, das war es zum Zusammenhang von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit. Viel Spaß damit. Tschüss!

7 Kommentare

7 Kommentare
  1. Eigentlich habe ich alles verstanden also
    super gut👍😁

    Von Catarinaribeiro 81, vor mehr als einem Jahr
  2. Cool

    Von Tragewicht, vor mehr als einem Jahr
  3. Leider viel zu langatmig.

    Von Astrid Bauer, vor fast 2 Jahren
  4. Sehr gut erklärt

    Von Luis Elia W., vor etwa 2 Jahren
  5. @Mja Schwarz 1
    32/100 sind 32%. Prozente gehen immer von eine Grundmenge von 100 aus. Also muss man gar nichts rechnen in dem Fall.

    Liebe Grüße

    Von Nils B., vor mehr als 2 Jahren
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Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Einführung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit – Einführung kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die relative Häufigkeit für eine $5$ beim Werfen eines Quaders.

    Tipps

    Die relative Häufigkeit berechnest du, indem du die absolute Häufigkeit durch die Gesamtanzahl der Durchführungen teilst.

    Die absolute Häufigkeit eines Ergebnis gibt an, wie oft das Ergebnis eingetreten ist.

    Lösung

    Die absolute Häufigkeit eines Ergebnis gibt an, wie oft das Ergebnis eingetreten ist. Die $5$ wurde $32$-mal geworfen. Damit ist die absolute Häufigkeit gerade $32$.

    Die relative Häufigkeit berechnest du, indem du die absolute Häufigkeit durch die Gesamtanzahl der Durchführungen teilst. Wir haben $100$-mal den Quader geworfen, sodass die relative Häufigkeit für die $5$ gerade $\frac{32}{100}=0,32$ beträgt.

  • Beschreibe, wie Zufallsversuch und Mathematik zusammenhängen.

    Tipps

    In einem mathematischen Modell können wir rechnen und exakte Aussagen erzielen.

    Ein mathematisches Modell ist immer eine starke Vereinfachung der Realität.

    Aussagen aus dem Modell kann man im Nachhinein aber wieder auf die Realität übertragen.

    Relative Häufigkeiten werden oftmals genutzt, um Wahrscheinlichkeiten festzulegen.

    Lösung

    Das Werfen eines Quaders mit den Seitenflächen $1$ bis $6$ ist ein Zufallsversuch und kann in einem mathematischen Modell modelliert werden: Man wirft beispielsweise den Quader $100$-mal und notiert sich die Ergebnisse auf Zetteln, die man in einem Eimer füllt. Damit erhalten wir einen Zufallsversuch.

    Relative Häufigkeiten werden in dem Modellversuch zu Wahrscheinlichkeiten. Ein Beispiel: Haben wir beim $100$-maligen Werfen des Quaders $32$-mal die Zahl $5$ geworfen, dann ist die relative Häufigkeit gerade $\frac{32}{100}=0,32$. Für die Wahrscheinlichkeit nehmen wir nun ebenfalls einen Wert von $0,32$ an.

    Innerhalb diese Modellversuches kann man nun exakte Ergebnisse erzielen und diese wiederum auf dem Zufallsversuch übertragen.

  • Untersuche die Aussagen zur relativen Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit.

    Tipps

    Ein Zufallsversuch werde $n$-mal durchgeführt.

    Ein bestimmtes Ergebnis tritt $k$-mal ($0\le k\le n$) ein. Dies ist die absolute Häufigkeit.

    Die relative Häufigkeit ist dann $\frac kn$.

    Die relative Häufigkeit ist ebenso wie die Wahrscheinlichkeit immer

    • größer oder gleich $0$ sowie
    • kleiner oder gleich $1$.

    Eine der beiden Größen ist eine praktisch ermittelte, die andere eine theoretische.

    Lösung

    Zwar hängen die relative Häufigkeit und die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines Zufallsversuches zusammen, sie sind jedoch nicht ein und dasselbe.

    • Die relative Häufigkeit ist eine praktische Größe, welche man durch mehrfaches Durchführen eines Zufallsversuchs und durch Zählen erhält. Dabei wird die absolute Häufigkeit des Ergebnisses durch die Anzahl der Versuchsdurchführungen geteilt. Die relative Häufigkeit ist ein Bruch, welcher größer oder gleich $0$ und kleiner oder gleich $1$ ist.
    • Die Wahrscheinlichkeit ist eine theoretische Größe, welche in dem gleichen Bereich erklärt ist wie die relative Häufigkeit.
    Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, beim Werfen eines Würfels eine $6$ zu werfen, $\frac16$. Es ist allerdings durchaus möglich, dass bei $100$-maligem Werfen $100$-mal die $6$ erscheint. Damit wäre die relative Häufigkeit der $6$ gerade $1$. Dieser Ausgang ist sehr unwahrscheinlich aber nicht unmöglich.

    Wenn ein idealer Würfel vorliegt, sind die Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse von $1$ bis $6$ gleich, nämlich $\frac16$.

  • Bestimme die Eigenschaften von relativen Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Wird ein Zufallsversuch mehrmals durchgeführt, kann man die Anzahl der vorgekommenen Ergebnisse notieren. Diese ist die absolute Häufigkeit eines Ergebnisses.

    Wenn man die absoluten Häufigkeiten aller möglichen Ergebnisse addiert, so erhält man die Anzahl aller Durchführungen des Zufallsversuchs.

    Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses ergibt sich, indem man dessen absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt.

    Lösung

    Ebenso wie die relativen Häufigkeiten werden Wahrscheinlichkeiten auf einer Skala von $0$ bis $1$ erklärt. Diese Erklärung ist willkürlich. Sie wird so gewählt, um die mit der relativen Häufigkeit übereinstimmenden Eigenschaften darzustellen.

    Ein Ergebnis, welches mit der größtmöglichen Wahrscheinlichkeit $1$ eintritt, ist sicher.

    Wenn man die relativen Häufigkeiten oder auch Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse eines Zufallsversuchs addiert, ergibt dies $1$.

  • Benenne die möglichen Ergebnisse des Zufallsexperimentes.

    Tipps

    Nimm dir alternativ einen Würfel und wirf diesen. Was kannst du beobachten?

    Kannst du die Augenzahl des nächsten Wurfes vorhersagen?

    Lösung

    Wenn man einen Quader mit den Seitenflächen von $1$ bis $6$ wirft, handelt es sich um einen Zufallsversuch.

    Die möglichen Ausgänge des Zufallexperiments - man nennt diese auch Ergebnisse - sind die obenliegenden Augenzahlen von $1$ bis $6$.

    Dabei kann es durchaus vorkommen, dass bei mehrmaligem Durchführen dieses Experimentes die Augenzahl $2$ mehrmals oder immer vorkommt. Dies ist jedoch nicht gleichbedeutend damit, dass man annehmen kann, dass die $2$ bei jeder Durchführung des Experimentes als Ergebnis käme.

  • Gib an, wie groß die Wahrscheinlichkeiten sind.

    Tipps

    Eine Wahrscheinlichkeit könnte auch zwischen $10$ und $100$ erklärt werden. Sie wird jedoch so definiert, dass die Eigenschaften von relativen Häufigkeiten übertragen werden können.

    Beachte, dass die Zahl der Würfel immer größer wird, jedoch immer nur ein roter Würfel sich in der Schale befindet.

    Die Wahrscheinlichkeit kann berechnet werden, indem die Zahl der Würfel mit der gegebenen Farbe durch die Gesamtzahl der Würfel geteilt wird.

    Lösung

    Wahrscheinlichkeiten können auf einer Skala zwischen $0$ und $1$ erklärt werden. Dies geschieht in Anlehnung an die relativen Häufigkeiten.

    Wenn sich in einer Schale nur ein roter Würfel befindet, so ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Würfel zu ziehen, gleich $1$, da dies sicher ist.

    Wenn man einen gelben Würfel hinzufügt, so teilt sich die Wahrscheinlichkeit $1$ auf die beiden Würfel auf. Also ist die Wahrscheinlichkeit, einen roten Würfel zu ziehen, $\frac12$.

    Kommt ein weiterer gelber Würfel hinzu, so ist die resultierende Wahrscheinlichkeit, einen roten Würfel zu ziehen, $\frac13$.

    Bei einem weiteren Würfel, zum Beispiel einem blauen, reduziert sich die Wahrscheinlichkeit, einen roten Würfel zu ziehen, auf $\frac14$.

    Wenn man die Wahrscheinlichkeiten für alle Ergebnisse betrachtet, kann man feststellen, dass diese sich, wie die relativen Häufigkeiten, zu $1$ addieren. Liegen also zum Beispiel $3$ Würfel vor (zwei gelbe und ein roter), so addieren sich die relativen Häufigkeiten zu $\frac23 + \frac13=1$, weil die Wahrscheinlichkeit für einen gelben Würfel dann $\frac23$ ist und für einen roten Würfel $\frac13$.

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