Pyramide – Volumen und Oberfläche berechnen

Pyramide – Volumen und Oberfläche berechnen Übung

• Gib die korrekten Formeln zu den gesuchten Größen an.

  Tipps

  Du kannst einige Verbindungen ausschließen, wenn du dir die Einheiten zu den Größen in den Formeln hinzudenkst. Beispielsweise kann eine Fläche multipliziert mit einer Länge nicht wieder eine Fläche ergeben.

  Die eine oder andere Formel musst du vielleicht erst ein wenig umformen, damit sie dir bekannt vorkommt.

  Die Oberfläche eines Körpers wird aus allen Flächen, die den Körper nach außen begrenzen, gebildet.

  Das Volumen ist der Rauminhalt eines Körpers. Es beschreibt also, wie viel Raum der Körper einnimmt.

  Lösung

  Um das Volumen einer quadratischen Pyramide zu erhalten, multiplizieren wir die Grundfläche mit der Höhe und das Ergebnis dann mit $\frac{1}{3}$, also:

  • Volumen einer quadratischen Pyramide $=$ $\dfrac{1}{3}$ $\cdot$ Grundfläche $\cdot$ Pyramidenhöhe

  Die Oberfläche dieser Pyramide setzt sich aus fünf Teilen zusammen, nämlich der Grundfläche und den vier Seitenflächen. Also werden diese einfach aufaddiert:

  • Oberfläche einer quadratischen Pyramide $=$ Grundfläche $+$ $4$ $\cdot$ Seitenfläche

  Um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, setzen wir in Gedanken ein zweites identisches Dreieck an das erste Dreieck an. Wenn wir das richtig machen, entsteht dabei immer ein Parallelogramm, dessen Fläche wir mittels Multiplikation von Grundlänge und Höhe berechnen können. Da in diesem Parallelogramm das Dreieck zweimal enthalten ist, muss die Dreiecksfläche genau der Hälfte davon entsprechen, also gilt:

  • Fläche eines Dreiecks $=$ $\dfrac{1}{2}$ $\cdot$ Grundlänge $\cdot$ Höhe

  Um die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, rufen wir uns den Satz des Pythagoras in Erinnerung. Er gilt nur für rechtwinklige Dreiecke und lautet:

  • (Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks)$^2$ $=$ (Erste Kathete)$^2$ $+$ (Zweite Kathete)$^2$ oder kürzer: $c^2=a^2+b^2$

  Folgende Formel bleibt also übrig:

  • Länge $\cdot$ Breite $\cdot$ Höhe

  Diese beschreibt das Volumen eines Quaders.

• Berechne die Kenngrößen der gegebenen Pyramide.

  Tipps

  Schreibe dir zuerst alle Formeln, die du im Zusammenhang mit quadratischen Pyramiden kennst, auf ein Blatt Papier.

  Lies dir die Aussagen ganz genau durch. Schon ein einziges Wort kann den Unterschied ausmachen.

  Da wir eine quadratische Pyramide betrachten, wissen wir bereits, welche Form die Grundfläche hat.

  Lösung

  Gehen wir die Aussagen der Reihe nach durch:

  • Die quadratische Grundfläche der Pyramide ist $12,\!25\,\text{m}^2$ groß.

  Da wir eine quadratische Pyramide betrachten, ist die Grundfläche ein Quadrat. Dessen Seitenlänge ist wie folgt gegeben:

  $a_G = 3,\!5\,\text{m}$

  Um die Fläche des Quadrats zu berechnen, müssen wir diese Länge quadrieren. Wir erhalten folgende Grundfläche $A_G$:

  $A_{G} = a_G^2 = (3,\!5\,\text{m})^2 = 12,\!25\,\text{m}^2$

  Die Aussage ist also wahr.

  • Die Formel zur Berechnung des Volumens einer quadratischen Pyramide lautet:

  Volumen $=$ $\dfrac{1}{3}$ $\cdot$ Grundfläche $\cdot$ Höhe

  Das ist die korrekte Formel, die Aussage ist ebenfalls wahr.

  • Eine quadratische Pyramide hat immer $6$ dreieckige Seitenflächen.

  Diese Aussage sollte uns komisch vorkommen. Wir wissen schließlich, dass eine quadratische Pyramide immer nur genau $4$ dreieckige Seitenflächen hat. Die Aussage ist demnach falsch.

  • Die Formel zur Berechnung der Oberfläche einer quadratischen Pyramide lautet:

  Oberfläche $=$ Seitenfläche $+$ $4$ $\cdot$ Grundfläche

  Eine Pyramide hat immer eine Grundfläche und – wie wir wissen – genau $4$ Seitenflächen. Doch dann ergibt die Formel keinen Sinn! Auch diese Aussage ist demnach falsch. Richtig müsste die Formel lauten:

  Oberfläche $=$ Grundfläche $+$ $4$ $\cdot$ Seitenfläche

  • Die Höhe der Pyramide ist kleiner als die Hälfte der Seitenlänge ihrer Grundfläche.

  Die halbe Seitenlänge der Grundfläche beträgt:

  $\dfrac{a_G}{2} = \dfrac{3,\!5\,\text{m}}{2} = 1,\!75\,\text{m}$

  Das ist genauso groß wie die Höhe der Pyramide $h_P = 1,\!75\,\text{m}$, nicht kleiner! Die Aussage ist also ebenfalls falsch.

• Bestimme, welche Zahlenwerte zu welchen Größen der Pyramiden gehören.

  Tipps

  Wenn eine Größe für eine Pyramide schon gegeben ist, können wir ihr dieselbe Größe nicht noch einmal mit anderem Wert zuordnen. So kannst du vielleicht einige Kombinationen ausschließen.

  Verwende die dir bekannten Formeln für Volumen und Oberfläche einer quadratischen Pyramide. In manchen Fällen musst du sie nach der gesuchten Größe umstellen.

  Außerdem helfen dir die Formeln zur Flächenberechnung von Dreiecken und Quadraten sowie der Satz des Pythagoras. Auch hier musst du gegebenenfalls sinnvoll umstellen.

  Einige Formeln zur Erinnerung:

  • $V_P = \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h_P$
  • $A_P = A_G + 4\cdot A_S$
  • $A_S = \frac{1}{2}\cdot a_G \cdot h_S$
  • $h_P = \sqrt{h_S^2-\left(\frac{a_G}{2}\right)^2}$

  Lösung

  Wir wissen nicht genau, nach welcher Größe wir überhaupt suchen. Das macht die Sache etwas komplizierter, ist aber für uns kein Problem: Wir beginnen einfach mit den jeweils gegebenen Größen und überprüfen, welche anderen Größen wir daraus berechnen können. Wir üben also nicht nur das Berechnen, sondern auch das Suchen und Finden der nächsten zu berechnenden Größe.

  1. Pyramide

  $A_G = 12\,\text{m}^2$
  $h_P = 10\,\text{m}$

  Wenn Grundfläche und Höhe gegeben sind, dann sollte uns als Erstes die Formel für das Volumen der Pyramide in den Sinn kommen. Wir können sie direkt anwenden:

  $V_P = \dfrac{1}{3}\cdot A_G\cdot h_P = \dfrac{1}{3}\cdot 12 \cdot 10$
  $V_P = 40\,\left(\text{m}^3\right)$

  Das ist bereits eine der gesuchten Größen: Unser Weg hat uns sehr schnell zum Ziel geführt und wir können dieses Volumen der ersten Pyramide zuordnen.

  2. Pyramide

  $V_P=48\,\text{m}^3$
  $A_G=36\,\text{m}^2$

  Auch hier können wir als Erstes die Formel zur Berechnung des Volumens anwenden. Aber da das Volumen diesmal gegeben ist, stellen wir nach der fehlenden Größe, nämlich der Höhe der Pyramide, um. Es folgt:

  $h_P = 3\cdot \dfrac{V_P}{A_G} = 3\cdot \dfrac{48}{36} = 3\cdot \dfrac{4}{3}$
  $h_P = 4\,(\text{m})$

  Aus der Grundfläche können wir zudem deren Seitenlänge berechnen:

  $a_G=\sqrt{36}$
  $a_G=6\,(\text{m})$

  Die halbe Seitenlänge und die Höhe der Pyramide bilden ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse die Höhe der Seitenfläche ist. Diese können wir jetzt also auch ermitteln, und zwar mit dem Satz des Pythagoras:

  $\begin{array}{llll} h_{S}^2 &=& \left(\dfrac{a_G}{2}\right)^2+h_{P}^2 & \vert \sqrt{\quad} \\ h_{S} &=& \sqrt{\left(\dfrac{a_G}{2}\right)^2+h_{P}^2} & \\ &=& \sqrt{3^2+4^2} & \\ &=& \sqrt{25} & \\ h_S &=& 5\,(\text{m})& \\ \end{array}$

  Nun kennen wir die Höhe der Seitenfläche und die Seitenlänge der Grundfläche. Das heißt, wir können die Seitenfläche der Pyramide berechnen:

  $A_S = \dfrac{1}{2} \cdot a_G \cdot h_S = \dfrac{1}{2}\cdot 6 \cdot 5$
  $A_S = 15\,\left(\text{m}^2\right)$

  Und das ist eine gesuchte Größe. Wir können sie der zweiten Pyramide zuordnen.

  3. Pyramide

  $A_P = 105\,\text{m}^2$
  $A_P = 49\,\text{m}^2$

  Da sich die Oberfläche der Pyramide aus ihrer Grundfläche und ihren vier Seitenflächen zusammensetzt, können wir die folgende Gleichung aufstellen und umformen:

  $\begin{array}{llll} A_P &=& A_G+4\cdot A_S & \vert -A_G\\ A_P - A_G &=& 4\cdot A_S &\\ 105 - 49 &=& 4\cdot A_S &\vert :4\\ A_S &=& \dfrac{56}{4} &\\ A_S &=& 14\,\left(\text{m}^2\right)&\\ \end{array}$

  Außerdem können wir auch hier wieder problemlos die Seitenlänge der Grundfläche berechnen:

  $a_G = \sqrt{A_G} = \sqrt{49}$
  $a_G = 7\,(\text{m})$

  Nun können wir die Formel zur Flächenberechnung eines Dreiecks umstellen und daraus die Höhe der Seitenfläche gewinnen:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{1}{2} \cdot a_G \cdot h_S &=& A_S & \vert :\left(\dfrac{1}{2}a_G\right)\\ h_S &=& \dfrac{2\cdot A_S}{a_G}&\\ &=& \dfrac{2\cdot 14}{7}&\\ h_S &=& 4\,(\text{m})&\\ \end{array}$

  Und das ist die dritte gesuchte Größe, die wir der dritten Pyramide zuordnen.

  4. Pyramide

  $a_G = 3\,\text{m}$
  $V_P = 9\,\text{m}^3$

  Dieser Pyramide könnten wir nach dem Ausschlussverfahren die letzte verbliebene Größe zuordnen. Wir überprüfen aber auch hier noch einmal, ob alles seine Richtigkeit hat.

  Aus der Seitenlänge $a_G$ können wir sofort die Grundfläche berechnen:

  $A_G = a_G^2 = 3^2$
  $A_G = 9\,\left(\text{m}^2\right)$

  Aus Grundfläche und Volumen folgt dann mit umgestellter Volumenformel sofort die Höhe der Pyramide:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{1}{3}\cdot A_G \cdot h_P &=& V_P \quad & \vert :\left(\dfrac{1}{3}A_{G}\right)\\ h_P &=& \dfrac{3\cdot V_P}{A_G} &\\ &=& \dfrac{3\cdot 9}{9}&\\ h_P &=& 3\,(\text{m})&\\ \end{array}$

  Damit ist auch die letzte Größe zugeordnet.

• Berechne die Zahlenwerte für Oberfläche und Volumen der Pyramide.

  Tipps

  Sieh dir die Pyramiden einzeln an und berechne jeweils alle Größen, die du aus den gegebenen Werten bestimmen kannst.

  Lass dich nicht verunsichern, wenn du eine angegebene Größe gar nicht brauchst: Es ist hier mehr angegeben als unbedingt nötig. Manchmal führen verschiedene Wege zum Ziel.

  Einige Formeln zur Erinnerung:

  • $V_P = \frac{1}{3}\cdot A_G \cdot h_P$
  • $A_P = A_G + 4\cdot A_S$
  • $A_S = \frac{1}{2}\cdot a_G \cdot h_S$
  • $h_P = \sqrt{h_S^2-\left(\frac{a_G}{2}\right)^2}$

  Manchmal musst du die Formeln umstellen, um auf die Lösung für eine gesuchte Größe zu kommen.

  Es kann hilfreich sein, den Rechenweg zuerst rückwärts durchzugehen. Das heißt, du siehst dir zuerst die gesuchten Größen an und überlegst dir, welche anderen Größen du zu ihrer Berechnung brauchst. Sind diese Größen nicht gegeben, dann überlege dir, welche Größen du wiederum dafür benötigst. Wiederhole diesen Schritt so oft, bis du nur noch die Größen brauchst, die gegeben sind.

  Sehen wir uns folgendes Beispiel an:

  $A_G = 144\,\text{m}^2, \qquad h_S = 7\,\text{m}, \qquad h_P = ~??$

  Gesucht ist also $h_P$. Das können wir mit dem Satz des Pythagoras ausrechnen. Dafür brauchen wir allerdings $\frac{a_G}{2}$ und $h_S$. Letzteres ist gegeben, doch die Grundlänge $a_G$ müssen wir noch ausrechnen:

  $a_G = \sqrt{A_G} = \sqrt{144} = 12$
  $\frac{a_G}{2} = 6\,(\text{m})$

  Jetzt kennen wir alle nötigen Größen, die wir brauchen, um $h_P$ zu berechnen. Wir setzen in den (umgestellten) Satz des Pythagoras ein:

  $h_P = \sqrt{h_S^2-\left(\frac{a_G}{2}\right)^2} = \sqrt{49-36} = \sqrt{13}$
  $h_P \approx 3,\!6\,(\text{m})$

  Lösung

  Wir betrachten die Pyramiden jetzt einzeln und nutzen die uns bekannten Formeln, um die gesuchten Werte zu berechnen.

  1. Pyramide

  $h_P = 12\,\text{m} \quad \quad h_S = 13\,\text{m} \quad \quad a_G = 10\,\text{m}$

  Wenn wir uns die Formeln für Volumen und Oberfläche einer Pyramide ansehen, dann merken wir, dass uns für beide Formeln der Wert für die Grundfläche fehlt. Wir berechnen diesen also als Erstes:

  $A_G = s^2=(10\,\text{m})^2$
  $A_G = 100\,\text{m}^2$

  Das können wir nun schon in die Formel für das Volumen einsetzen:

  $V_P = \dfrac{1}{3}\cdot A_G\cdot h_P = \dfrac{1}{3}\cdot 100\,\text{m}^2\cdot 12\,\text{m}$
  $V_P = 400\,\text{m}^3$

  Also ordnen wir diesen Wert der ersten Pyramide zu.

  Als Nächstes machen wir uns an die Oberfläche. Dafür brauchen wir aber erst noch die Größe der Seitenflächen, damit wir diesen Wert in die Formel einsetzen können:

  $A_S = \dfrac{1}{2}\cdot a_G \cdot h_s = \dfrac{1}{2}\cdot 10 \cdot 13$
  $A_S = 65\,\text{m}^2$

  Jetzt können wir Grund- und Seitenflächen in die Formel für die Gesamtoberfläche der Pyramide einsetzen:

  $A_P = A_G + 4\cdot A_S = 100\,\text{m}^2 + 4\cdot \left(65\,\text{m}^2\right)$
  $A_P = 360\,\text{m}^2$

  Auch diesen Wert können wir der ersten Pyramide zuordnen.

  2. Pyramide

  $h_P = 3\,\text{m} \quad \quad h_S = 5\,\text{m} \quad \quad a_G = 8\,\text{m}$

  Hier haben wir die gleichen Größen gegeben wie bei der ersten Pyramide. Dementsprechend sind auch alle Rechenschritte exakt die gleichen wie oben, mit etwas anderen Werten. Wir halten im Folgenden nur die Zwischenergebnisse fest:

  $A_G = a_G^2 = (8 \, \text{m})^2 = 64 \, \text{m}^2$
  $A_S = \dfrac{1}{2}\cdot a_G \cdot h_S = \dfrac{1}{2}\cdot 8 \ \text{m} \cdot 5 \, \text{m} = 20 \, \text{m}^2$

  Die nächsten beiden Ergebnisse ordnen wir dieser Pyramide ebenfalls gleich zu:

  $V_P = 64\,\text{m}^3$

  $A_P = 144\,\text{m}^2$

  Damit sind wir auch mit dieser Pyramide fertig.

  3. Pyramide

  Wir könnten jetzt zwar einfach die übrig gebliebenen Werte der dritten Pyramide zuweisen, wollen uns jedoch trotzdem noch einmal vergewissern, dass alles seine Richtigkeit hat.

  Hier hat Oskar schon einige Flächen selbst berechnet, deshalb haben wir diesmal etwas andere Werte gegeben als bei den ersten beiden Pyramiden:

  $A_S = 255\,\text{m}^2 \quad \quad A_G = 900\,\text{m}^2 \quad \quad h_S = 17\,\text{m}$

  Um die Oberfläche der Pyramide zu bestimmen, haben wir nun bereits alle nötigen Größen gegeben:

  $A_P = A_G+4\cdot A_S = 900\,\text{m}^2+4\cdot 255\,\text{m}^2$
  $A_P = 1 920\,\text{m}^2$

  Das können wir der dritten Pyramide also schon zuordnen. Für das Volumen der Pyramide fehlt uns noch die Pyramidenhöhe. Um sie zu berechnen, brauchen wir die Höhe der Seitenfläche und die halbe Länge der Grundseite, denn es gilt laut dem Satz des Pythagoras:

  $h_P = \sqrt{h_S^2-\left(\dfrac{a_G}{2}\right)^2}$

  Die Länge der Grundseite können wir wiederum aus der Grundfläche berechnen, da wir deren Größe kennen:

  $a_G = \sqrt{A_G} = \sqrt{900\,\text{m}^2}$
  $a_G = 30\,\text{m}; \quad \dfrac{a_G}{2} = 15\,\text{m}$

  Das können wir in die Formel für die Höhe der Pyramide einsetzen:

  $h_P = \sqrt{h_S^2-\left(\dfrac{a_G}{2}\right)^2} = \sqrt{(17\,\text{m})^2-(15\,\text{m})^2}=\sqrt{(289-225)\,\text{m}^2}=\sqrt{64\,\text{m}^2}$
  $h_P = 8\,\text{m}$

  Wir sind fast am Ende, es fehlt uns nur noch das Volumen. Doch wir kennen mittlerweile alle Größen, die wir brauchen, um es zu berechnen:

  $V_P = \dfrac{1}{3}\cdot A_G \cdot h_P = \dfrac{1}{3}\cdot 900\,\text{m}^2\cdot 8\,\text{m}$
  $V_P = 2 400\,\text{m}^3$

  Geschafft!

• Benenne die Teilflächen, aus denen die Oberfläche einer quadratischen Pyramide besteht.

  Tipps

  Die Bezeichnung des betrachteten geometrischen Körpers verrät dir, welche Form seine Grundfläche hat.

  Hier siehst du das Netz einer quadratischen Pyramide. Du kannst es in insgesamt $5$ Teilflächen zerlegen.

  Lösung

  Das geometrische Objekt, das wir hier untersuchen, ist eine quadratische Pyramide. Dieser Name verrät uns, dass die Pyramide eine quadratische Grundfläche hat.

  Betrachten wir das Netz einer Pyramide, so hängt dort an jeder Seite der Grundfläche eine dreieckige Seitenfläche. Wollen wir die Pyramide bauen, klappen wir einfach alle Seitenflächen nach oben, bis sie sich an den Spitzen und Kanten berühren. Hier ist unsere Grundfläche quadratisch, hat also $4$ Seiten. Deshalb haben wir auch $4$ dreieckige Seitenflächen.

  Wenn wir die Gesamtoberfläche der Pyramide berechnen wollen, rechnen wir einfach die Grundfläche und die vier Seitenflächen zusammen. Wir addieren also alle Teilflächen.

  Die richtige Lösung lautet:

  • Die Oberfläche einer quadratischen Pyramide besteht aus den $4$ dreieckigen Seitenflächen und der quadratischen Grundfläche. Um die Oberfläche der Pyramide zu ermitteln, müssen wir alle Teilflächen addieren.

• Vergleiche die gegebene Pyramide mit anderen dir bekannten Körpern.

  Tipps

  Nimm dir nicht zu viel auf einmal vor: Beginne mit den gegebenen Größen und überlege dir, was du damit als Nächstes berechnen kannst. Nach und nach ergeben sich dann alle Größen, die du brauchst.

  Um die Oberfläche $A_Q$ eines Quaders zu berechnen, addierst du seine sechs rechteckigen Seitenflächen zusammen. Bei einem Quader mit Höhe $h$, Breite $b$ und Länge $l$ sieht das so aus:

  $A_Q = 2\cdot (h\cdot b + h \cdot l + b\cdot l)$

  Lösung

  Wir berechnen zuerst alle Kenngrößen der Pyramide und betrachten dann, basierend darauf, die Aussagen. Einheiten fügen wir erst zum Schluss hinzu.

  Die Höhe der dreieckigen Seitenflächen und die Höhe der Pyramide sind wie folgt gegeben:

  $h_S = 5\quad$ und $\quad h_P = 3$

  Das sind die zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Als Erstes können wir den Satz des Pythagoras nutzen, um die dritte Seite zu berechnen, also $\frac{a_G}{2}$. Die Höhe der Seitenfläche ist hier immer die Hypotenuse. Wir stellen nun die Gleichung auf und setzen die bekannten Werte ein. Danach lösen wir die Gleichung direkt nach $\frac{a_G}{2}$ auf:

  $\begin{array}{llll} h_P^2+\left(\frac{a_G}{2}\right)^2 &=& h_S^2 & \\ 3^2+\left(\frac{a_G}{2}\right)^2 &=& 5^2 \quad & \vert -\left(3^2\right) \\ \left(\frac{a_G}{2}\right)^2 &=& 5^2-3^2 \quad & \vert \sqrt{ \quad } \\ \left(\frac{a_G}{2}\right) &=& \sqrt{5^2-3^2} &\\ &=& \sqrt{16} & \\ \left(\frac{a_G}{2}\right) &=& 4 & \\ \end{array}$

  Wenn wir uns das rechtwinklige Dreieck ansehen, dann merken wir: $\frac{a_G}{2}$ entspricht genau der Hälfte der Seitenlänge der Grundfläche (deswegen haben wir es schließlich so genannt). Damit kennen wir auch die Seitenlänge:

  $a_G = 2\cdot \left(\frac{a_G}{2}\right) = 2\cdot 4$
  $a_G = 8$

  Aus dieser können wir direkt die quadratische Grundfläche berechnen:

  $A_G = a_G^2 = 8^2$
  $A_G = 64$

  Und da wir die Höhe der Seitenflächen kennen, sind deren Flächen jetzt ebenfalls berechenbar:

  $A_S = \dfrac{1}{2} \cdot a_G \cdot h_S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5$
  $A_S = 20$

  Damit sind wir fast fertig. Um die Gesamtoberfläche der Pyramide zu ermitteln, müssen wir lediglich die Grundfläche und viermal die Seitenfläche zusammenrechnen:

  $A_P = A_G + 4\cdot A_S = 64 + 4\cdot 20$
  $A_P = 144$

  Und um zu guter Letzt das Volumen der Pyramide zu berechnen, benutzen wir die uns bekannte Formel. Alle nötigen Größen kennen wir nun:

  $V_P = \dfrac{1}{3}\cdot A_G\cdot h_P = \dfrac{1}{3} \cdot 64 \cdot 3$

  $V_P = 64$

  Damit sind wir mit dem Rechnen erst einmal fertig. Fassen wir die bisherigen Ergebnisse zusammen, diesmal mit Einheiten:

  • Seitenlänge: $a_G = 8~\text{m}$
  • Grundfläche: $A_G = 64~\text{m}^2$
  • Seitenfläche: $A_S = 20~\text{m}^2$
  • Gesamtoberfläche: $A_P = 144~\text{m}^2$
  • Volumen: $V_P=64~\text{m}^3$

  Jetzt können wir die Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt hin überprüfen.

  Zuerst korrigieren wir die falschen Aussagen:

  • Die Grundfläche der Pyramide ist kleiner als $60~\text{m}^2$.

  Das ist falsch, denn die Grundfläche ist $64~\text{m}^2$ groß.

  • Die Pyramide hat ein größeres Volumen als eine Pyramide mit einer Seitenlänge von $10~\text{m}$ und einer Pyramidenhöhe von $2~\text{m}$.

  Berechnen wir das Volumen dieser Pyramide, so kommen wir auf:

  $V_{neu}=\dfrac{1}{3}\cdot 10^2 \cdot 2 = 66,\!67~(\text{m}^3)$

  Das ist größer als das Volumen der ersten Pyramide, also ist auch diese Aussage falsch.

  • Das Volumen einer quadratischen Pyramide kann niemals größer sein als das eines Würfels mit gleicher Grundfläche. (Hier geht es um eine beliebige quadratische Pyramide, nicht nur um die aus der Fragestellung.)

  Zur Erinnerung: Das Volumen $V_W$ eines Würfels mit der Seitenlänge $a_W$ und der Grundfläche $A_W = a_W^2$ berechnen wir so:

  $V_W = a_W^3 = A_W\cdot a_W = A_W \cdot \sqrt{A_W}$

  Damit können wir die Behauptung mathematisch durch eine Ungleichung ausdrücken: Wir behaupten, dass das Volumen einer quadratischen Pyramide immer kleiner ist als das eines Würfels mit gleicher Grundfläche (oder höchstens genauso groß). Schreiben wir das als Ungleichung und formen sie ein wenig um, sieht das so aus:

  $\begin{array}{llll} \dfrac{1}{3} \cdot A_G \cdot h_P &\leq& A_G \cdot \sqrt{A_G} & \vert \cdot 3 \\ A_G\cdot h_P &\leq& 3\cdot A_G \cdot \sqrt{A_G} & \vert :A_G \\ h_P &\leq& 3 \cdot \sqrt{A_G}& \\ \end{array}$

  Das Volumen der Pyramide ist also kleiner als das (oder gleich dem) des Würfels, wenn die letzte Ungleichung gilt. In der Aussage behaupten wir, dass das immer der Fall ist. Aber da wir unsere Höhe beliebig auswählen können, können wir sie einfach so groß machen, dass das Volumen der Pyramide größer wird als das des Würfels. Die Aussage ist in dieser Form demnach auch falsch!

  Die folgenden Aussagen sind wahr:

  • Die Oberfläche der Pyramide entspricht der eines Quaders mit den Maßen $6~\text{m} \cdot 2~\text{m} \cdot 7,\!5~\text{m}$.

  Ein Quader hat sechs Seitenflächen. Die gegenüberliegenden Flächen sind aber jeweils gleich groß. Das heißt, wir müssen nur drei Seitenflächen berechnen und deren Summe dann mit $2$ multiplizieren. Die Seitenflächen berechnen wir mit Höhe $\cdot$ Breite, Höhe $\cdot$ Länge und Breite $\cdot$ Länge. Also ist die Gesamtoberfläche:

  $A_Q = 2\cdot(6\cdot 2+6\cdot 7,\!5+2\cdot 7,\!5) = 144\,(\text{m}^2)$

  Das ist genauso groß wie die Oberfläche unserer Pyramide. Die Aussage ist demzufolge wahr.

  • Der Wert des Volumens der Pyramide in $\text{m}^3$ ist genauso groß wie der Wert der Grundfläche der Pyramide in $\text{m}^2$.

  Das lässt sich leicht feststellen:

  $A_G = 64~\text{m}^2; \qquad V_P = 64~\text{m}^3$

  Da wir hier nicht auf die Einheiten achten, sondern nur die Zahlenwerte vergleichen, entspricht auch diese Aussage der Wahrheit.

  • Würden wir eine quadratische Plane anfertigen, deren Fläche genau der Oberfläche der Pyramide entspricht, so wäre die Seitenlänge der Plane $12~\text{m}$.

  Wir wollen eine quadratische Plane mit einer Oberfläche anfertigen, die genauso groß ist wie die unserer Pyramide, also $144~\text{m}^2$. Deshalb muss die Seitenlänge dieser Plane zum Quadrat genau $144~\text{m}^2$ ergeben. Anders ausgedrückt muss die Seitenlänge die Wurzel aus der Größe der Oberfläche sein, also:

  $a_{Plane} = \sqrt{A_P} = \sqrt{144~\text{m}^2} = 12~\text{m}$

  Die quadratische Plane hat eine Seitenlänge von genau $12~\text{m}$. Die Aussage ist wahr!