30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Punkte im Koordinatensystem

Bewertung

Ø 4.0 / 5 Bewertungen

Die Autor/-innen
Avatar
Martin Wabnik
Punkte im Koordinatensystem
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Punkte im Koordinatensystem

Hier siehst du Punkte in einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Dir wird erklärt, wie ein Punkt im Raum zu seinen Koordinaten kommt. Es wird kurz noch einmal an das zweidimensionale Koordinatensystem erinnert, um auf das dreidimensionale Koordinatensystem zu kommen ( Koordinaten im Raum ). Die Achsen werden kurz benannt und anschließend wird das Koordinatensystem so gedreht, dass du genau siehst, wie man zu den Koordinaten des Punktes kommt. Danach erfährst du, was dreidimensionaler Raum mathematisch bedeutet und dass man zu drei Koordinaten immer genau einen Punkt erhält. Abschließend wird dir erklärt, wie man Punkte auf der Erde bestimmt und wieso ein Stern als Koordinatensystem nicht eindeutig wäre.

Transkript Punkte im Koordinatensystem

Hallo! Wir haben Punkte im Koordinatensystem, ich möchte mal jetzt zeigen, wie man von einem Punkt, oder wie der Punkt an seine Koordinaten kommt. Dazu habe ich hier mal ein Koordinatensystem vorbereitet und möchte da mal jetzt einen Punkt irgendwo hinsetzen. Ja, fast rein willkürlich, da ungefähr. Da ist der Punkt und der soll jetzt mal Koordinaten bekommen. Ja ich stell es mal bisschen weiter nach vorne, da kann man das vielleicht besser sehen. Da ist der Punkt, der soll Koordinaten bekommen. Jetzt kann man das natürlich ganz einfach machen. Du kennst das zweidimensionale Koordinatensystem. Das ist ein dreidimensionales Koordinatensystem. Im zweidimensionalen Koordinatensystem brauchst du auch 2 Koordinaten um 1 Punkt zu bezeichnen beziehungsweise 1 Punkt hat 2 Koordinaten zufolge. Und hier kommt eben noch eine 3. Achse hinzu und deswegen hat es dann 3 Koordinaten. Das kann man natürlich so machen, und wenn dir das so reicht, dann kannst du jetzt ausmachen, kein Problem, aber ich möchte jetzt mal zeigen, wie man sich das plastisch alles so vorstellen kann, wie jetzt dieser Punkt zu seinen Koordinaten kommt. Und zwar schön hier in 3D.  Dazu zoome ich einfach mal ein bisschen näher hier ran und ich möchte jetzt mal zeigen, wie dieser Punkt auf der X1-Achse seine Koordinate kriegt. Hier ist die X1-Achse bzw. wenn man sagt X-, Y- und Z-Achse, ist hier X, Y und Z bzw. X1, X2 und X3, jeweils die positiven Teile. Hier hat der Punkt, ich möchte jetzt zeigen, wie dieser Punkt auf der X1-Achse seine Koordinate kriegt. Und dazu mach ich das so, dass du aus deiner Kameraperspektive hier parallel zur X2-Achse guckst: hier. Und ich muss jetzt hier die X1-Koordinate so anbringen, dass beide Punkte hier auf einer Linie liegen. Also so circa würde ich sagen. Von dir aus gesehen ist das jetzt eine Linie hier. Ich kann das auch noch mal ein bisschen drehen. Dann müssten jetzt die Punkte fast verschwinden. Verschwinden nicht beide, ich kann's nicht so weit kippen, aber die müssten dann direkt hintereinander sein, wenn ich das also hier noch weiter hätte kippen können. Und so sind sie jetzt für dich direkt auf einer Linie, wenn ich das jetzt weiter in die Standardposition bringe, ist das einfach nicht mehr der Fall. Jetzt können wir uns um die X2-Koordinate kümmern und dazu drehe ich das Ganze mal so, dass du entlang der X1-Achse guckst. Ja, diese rote Achse hier, ist die X1-Achse. Ich dreh' das jetzt mal direkt so, dass du direkt entlang der X1-Achse guckst. Hier ist der positive Teil der X2-Achse beziehungsweise der Y-Achse und hier ist der negative Teil. Dieser Punkt hier hat eine negative Koordinate, die ist jetzt hier. Das muss jetzt für dich wieder so sein, dass das für dich hier eine Linie ergibt. Man kann auch sagen, dass dieser Punkt auf der X2-Achse projiziert wird, aber da wir uns über Projektion noch nicht unterhalten haben, sag' ich das auch gar nicht. Auch hier kann man das jetzt so drehen, dass diese beiden Punkte hintereinanderliegen. Jetzt siehst du quasi nur 1 Punkt hier, und so sind es wieder 2. Ja, das Wunder der Technik. Das ist wieder die Standardausführung, also so, wie du Koordinatensysteme auch zeichnest, mit der X1-Achse hier so ein bisschen nach vorne.  Dann die X3-Achse. Wir brauchen die X3-Koordinate und dazu bewege ich mich mal hier parallel zur X1-X2-Achse in dieser Höhe. Das muss ich noch ein bisschen drehen. Dann kann ich das besser kennen. Hier muss ich parallel zur X1-X2-Ebene gucken, in welcher Höhe dieser Punkt liegt. Da ist er. Wenn ich das jetzt so in die Kamera halte, dass du jetzt parallel zur X1-X2-Ebene guckst, dann müssten diese beiden auch genau hintereinander erscheinen. Um das jetzt so zu drehen, kannst du schauen, ob diese beiden in der X1-X2-Ebene hintereinanderliegen. Das ist ungefähr jetzt der Fall. Wenn diese Achsen hintereinanderliegen, guckst du direkt parallel zur X1-X2-Ebene. Wenn ich das jetzt so richtig um die Z-Achse, um die X3-Achse, drehe, dann müsstest du jetzt hier nur noch einen Punkt erkennen. Diese beiden liegen jetzt hintereinander. So kannst du sehen, dass sie eben wirklich 2 Punkte sind. Ja das war jetzt die sehr anschauliche Darstellung, wie ein Punkt im dreidimensionalen Raum zu seinen Koordinaten kommt. Übrigens dreidimensionaler Raum ist anders gemeint, als dieser Raum, der hier nun tatsächlich vorhanden, in dem ich mich befinde. Mathematisch stellt man sich vor, dass der dreidimensionale Raum unendlich groß ist, dass diese Koordinatenachsen unendlich weit verlaufen. Man stellt sich auch vor, dass dieser ganze Raum quasi mit Punkten angefüllt ist, und stellt sich weiter vor, dass jeder dieser Punkt, die sich hier irgendwo befinden im System, dass die alle 3 Koordinaten haben. Jeder dieser  Punkte hat 3 Koordinaten.  Nun müsste ich eigentlich auch noch zeigen, dass man von 3 Koordinaten ausgehend direkt zu einem Punkt kommt. Das könnte man streng mathematisch gesehen jetzt auch noch beweisen, aber in dem Fall würde ich sagen, ich hoffe, dass du das intuitiv erfassen kannst. Wenn man 3 Koordinaten hat, dass man dann genau 1 Punkt trifft. Das kennst du vom zweidimensionalen Koordinatensystem her. Ich beweise das jetzt deshalb nicht genau, weil ich dafür sehr viele Begriffe benutzen müsste, die wir noch nicht gemacht haben. Ich hoffe das reicht so, dass du erst mal rein intuitiv davon ausgehen kannst.  Dann 2 Sachen noch zu dem Koordinatensystem. Vielleicht kommt einen das selbstverständlich vor, dass dieses Koordinatensystem so aufgebaut ist. Ich möchte aber mal ein Gegenbeispiel zeigen. Bei uns auf der Erde machen wir das anders. Wir bestimmen unsere Position nicht mit so einem Koordinatensystem, das ginge auch, sondern wir bestimmen es quasi mit solchen Kreisen, die hier um die Erde verlaufen. Einmal so rum und einmal so rum. Das sind die Längen- und Breitengrade. Auf den Schnittpunkten befinden wir uns dann. Da kommt dann noch die Höhe dazu, will ich jetzt gar nicht so weit ausführen, aber das ist eine andere Methode, wie man seine Position bestimmen kann. Dann, dass man hier also eine Eindeutigkeit hat, dass jeweils 3 Koordinaten genau 1 Punkt bestimmen, beziehungsweise 1 Punkt genau 3 Koordinaten hat. Das ist auch nicht so selbstverständlich, wenn man dieses System ändern würde, und zwar folgendermaßen. Rein zufällig habe ich einen Stern gerade zur Hand. Das ist ein Stern, beziehungsweise das Modell eines Sterns, kann fast funkeln hier in der Kamera, wie schön. Wenn man das Koordinatensystem so aufgebaut hätte, hätte ein Punkt, der sich hier irgendwo befindet, hätte nicht nur 3 Koordinaten, sondern mehrere. Es wäre übrigens auch nicht eindeutig. Man müsste sich also für bestimmte Strahlen entscheiden, die man als Achsen nimmt, dann könnte man das auch eindeutig zuordnen, aber hätte man das Koordinatensystem so gebaut zum Beispiel, wäre es nicht eindeutig. Von daher ist das schon ganz gut, dass unser System so aussieht. Das ist quasi das Einfachste, was möglich ist. Das wäre komplizierter und das wahrscheinlich auch. Viel Spaß damit. Tschüss!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. richtig gutes video.

    Von Amend Juergen, vor mehr als 2 Jahren

Punkte im Koordinatensystem Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Punkte im Koordinatensystem kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie man die $x_1$ Koordinate des Punktes bestimmen kann.

    Tipps

    Stelle dir die gegebene Situation an diesem Bild vor.

    Du gelangst zu der $x_1$ Koordinate, wenn du von dem roten Punkt, zum Beispiel, den orangen und den grünen Pfeil rückwärts gehst.

    Lösung

    Wie kann man die Koordinaten eines Punktes im dreidimensionalen Koordinatensystem bestimmen?

    Die $x_1$ Koordinate erhält man, wenn man parallel zur $x_2$ Achse schaut. Noch anschaulicher wäre die $x_2-x_3$-Koordinatenebene.

    Die $x_1$ Koordinate liegt dann parallel zu dieser Achse oder zu der $x_2-x_3$-Koordinatenebene.

  • Stelle dar, wie die $x_2$ sowie $x_3$ Koordinate des Punktes bestimmt werden können.

    Tipps

    Die $x_3$ Koordinate des roten Punktes ist $3$. Dies kannst du an den drei Strichen auf der oberen $x_3$ Achse erkennen.

    Die beiden oberen blauen sowie die beiden oberen grünen Pfeile liegen alle in einer Ebene, welche parallel zu einer Koordinatenebene liegt.

    Zu der $x_2$ Koordinate gelangst du zum Beispiel dadurch, dass du von dem roten Punkt ausgehend den blauen und dann den orangen Pfeil rückwärts gehst.

    Du könntest auch zunächst den orangen und dann den blauen Pfeil rückwärts gehen.

    Was ist beiden Bewegungen gemeinsam?

    Richtig: Sie verlaufen parallel zur $x_1-x_3$ Koordinatenebene.

    Lösung

    Ähnlich wie bei der $x_1$ Koordinate geht man auch bei den beiden übrigen Koordinaten vor.

    Zur Wiederholung:

    Die $x_1$ Koordinate erhält man, wenn man parallel zur $x_2$ Achse schaut. Noch anschaulicher wäre die $x_2-x_3$-Koordinatenebene.

    Die $x_1$ Koordinate liegt dann parallel zu dieser Achse oder zu der $x_2-x_3$-Koordinatenebene.

    So erhält man die $x_2$ Koordinate, indem man parallel zur $x_1$ Achse schaut. Noch anschaulicher wäre die $x_1-x_3$-Koordinatenebene. Die entsprechende Koordinate befindet sich auf der $x_2$ Achse parallel zu der oben genannten Ebene.

    Die $x_3$ Koordinate erhält man, indem man schaut, auf welcher zur $x_1-x_2$-Ebene parallelen Ebene der Punkt liegt.

    Dort, wo diese Ebene die $x_3$ Achse schneidet, ist die gesuchte Koordinate.

  • Entscheide, welcher der angegebenen Punkte der Punkt in dem Koordinatensystem ist.

    Tipps

    Schaue dir die eingezeichneten Pfeile an. An diesen kannst du auf jedem Fall bereits jeweils das Vorzeichen der Koordinaten erkennen.

    Parallel zur $x_2-x_3$-Ebene kannst du die $x_1$-Koordinate erkennen.

    Parallel zur $x_1-x_3$-Ebene kannst du die $x_2$-Koordinate erkennen.

    Lösung

    Alle eingezeichneten Pfeile weisen in die jeweils negative Achsenrichtung. Die Koordinaten müssen also alle negativ sein.

    Der Pfeil auf der $x_1$-Achse ist drei Einheiten lang. Die entsprechende Koordinate ist dann $-3$.

    Bei den beiden übrigen Pfeilen ist dies bereits etwas schwieriger zu entscheiden. Wenn man diese Pfeile messen würde, könnte man erkennen, dass der parallel zur $x_2$-Achse ebenfalls drei Einheiten und der parallel zur $x_3$-Achse zwei Einheiten lang ist.

    Der gesuchte Punkt ist also $P(-3|-3|-2)$.

  • Ermittle die Koordinaten des Punktes.

    Tipps

    Die $x_1$-Koordinate kannst du parallel zur $x_2-x_3$-Ebene ablesen.

    Die $x_2$-Koordinate kannst du parallel zur $x_1-x_3$-Ebene ablesen.

    Die $x_3$-Koordinate kannst du parallel zur $x_1-x_2$-Ebene ablesen.

    Lösung

    An diesem Beispiel kann nun geübt werden, wie man die Koordinaten eines Punktes, hier des roten Punktes, ablesen kann.

    Da eine dreidimensionale Darstellung im Zweidimensionalen gezeigt wird, sind Hilfsflächen eingeführt. Diese Flächen liegen jeweils in zu den Koordinatenebenen parallelen Ebenen. Eine solche Darstellung wird als Schrägbild bezeichnet.

    Wenn man nun die Koordinaten des Punktes ablesen möchte, muss man sich die Schnittstellen der jeweiligen Hilfsflächen mit den Koordinatenachsen anschauen. Dies ist anschaulich die Blickrichtung.

    Die Koordinaten des roten Punktes sind

    • $x_1=2$
    • $x_2=-5$ sowie
    • $x_3=3$

  • Fasse zusammen, was Punkte im Dreidimensionalen sowie im Zweidimensionalen sind.

    Tipps

    Ein Punkt im dreidimensionalen Koordinatensystem wäre zum Beispiel $P(1|2|3)$.

    Ein Punkt im zweidimensionalen Koordinatensystem könnte zum Beispiel so aussehen: $P(2|3)$.

    Lösung

    Was sind eigentlich Punkte im Koordinatensystem? Oder: Wie kann man diese darstellen?

    Im zweidimensionalen Koordinatensystem haben Punkte zwei Koordinaten, die x- sowie die y-Koordinate. Man könnte auch sagen die $x_1$- sowie die $x_2$-Koordinate.

    Die erste Koordinate eines Punktes ist die x-Koordinate und die zweite die y-Koordinate.

    Ein Punkt könnte zum Beispiel so aussehen: $P(2|3)$.

    Im dreidimensionalen Koordinatensystem kommt eine Koordinate hinzu. Das bedeutet, der Punkt hat drei Koordinaten.

    • Die erste Koordinate wird als $x_1$-, oder auch x-,
    • die zweite als $x_2$-, oder auch y-, und
    • die dritte als $x_3$-, oder auch z-, Koordinate bezeichnet.
    Ein Punkt im dreidimensionalen Koordinatensystem wäre zum Beispiel $P(1|2|3)$.

  • Bestimme die Koordinaten der Punkte.

    Tipps

    Mache dir jeweils die Lage klar und vergleiche diese mit den vorgegebenen Punkten.

    Du kannst die Punkte anhand der negativen Koordinaten erkennen.

    Zeichne dir ein dreidimensionales Koordinatensystem und trage die gegebenen Punkte dort ein.

    Lösung

    In dieser Skizze sind die jeweiligen Punkte zu erkennen.

    Natürlich befinden sich in dem obigen Bild die hier eingezeichneten Pfeile nicht. Jedoch sind die Punkte aufgrund der jeweiligen Lage, oder anders ausgedrücktm der negativen Koordinaten, eindeutig zuzuorden.

    Am Beispiel des roten Punktes:

    • Drei Schritte in positiver $x_1$-Richtung,
    • drei in positiver $x_2$-Richtung und
    • zwei Schritte in negativer $x_3$-Richtung
    führen zu $C(3|3|-2)$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
Im Vollzugang erhältst du:

10.841

Lernvideos

44.337

Übungen

38.957

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer/
-innen

running yeti

In allen Fächern und Klassenstufen.

Von Expert/-innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden