Pfadregel und Summenregel – Kleidung auswählen

Pfadregel und Summenregel – Kleidung auswählen Übung

• Gib die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ergebnisse an.

  Tipps

  Ein Ergebnis ist ein möglicher Ausgang eines Zufallsversuches. Es steht am Ende eines Pfades.

  Die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis $($b,b$)$ ist gegeben durch

  $P($b,b$)=\frac58\cdot\frac47=\frac5{14}$.

  Lösung

  Wenn du die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen berechnen möchtest, verwendest du die Pfadmultiplikationsregel. Diese besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

  Ein Pfad eines Baumdiagrammes führt zu einem Ergebnis.

  Schauen wir uns dies einmal an diesem Beispiel an:

  Die Wahrscheinlichkeit, dass Martin eine blaue Hose sowie ein weißes Hemd anzieht

  Diese ist übrigens für jedes der drei Hemden gleich.

  Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades:

  $\frac12\cdot \frac13=\frac16$

  Ebenso gehst du bei den anderen Wahrscheinlichkeiten vor:

  Die Wahrscheinlichkeit, dass Martin eine schwarze Hose und ein T-Shirt mit Schrödingers Katze anzieht

  $\frac12\cdot \frac14=\frac18$

  Die Wahrscheinlichkeit für eine schwarze Hose, ein schwarzes T-Shirt und ein Sakko

  $\frac12\cdot \frac14\cdot \frac12=\frac1{16}$

• Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Martin kein Sakko anzieht.

  Tipps

  Wenn $E$ das Ereignis ist und $\bar E$ das zugehörige Gegenereignis, dann gilt...

  • $E\cup\bar E=\Omega$, wobei $\Omega$ die Ergebnismenge ist.
  • $P(E)+P(\bar E)=1$.

  Das heißt auch, dass du die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses immer berechnen kannst, sobald du die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses kennst.

  Verwende die Pfadadditionsregel zur Berechnung von $P($Sakko$)$.

  Addiere hierfür die beiden Wahrscheinlichkeiten der (beiden!) Ergebnisse, welche „Sakko“ enthalten.

  Dann kannst du mit Hilfe der Subtraktion die Wahrscheinlichkeit von $P($kein Sakko$)$ berechnen.

  Lösung

  Da Martin nur in zwei Fällen (bei zwei Ergebnissen) ein Sakko trägt und in den übrigen nicht, kann die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit der Gegenwahrscheinlichkeit berechnet werden.

  Hinweis: Der Fachbegriff lautet Komplementärwahrscheinlichkeit.

  Dazu berechnen wir also jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass Martin ein Sakko trägt, und subtrahieren diese dann von $1$:

  $1-P($Sakko$)$

  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Martin ein Sakko trägt, kannst du mit Hilfe der Pfadadditionsregel bestimmen:

  $P($Sakko$)=\frac1{16} + \frac1{16} = \frac18$

  Nun berechen wir $P($kein Sakko$)$:

  $P($kein Sakko$) = 1-\frac18 = \frac78$

  Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist $\frac78$.

• Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der angegebenen Ergebnisse.

  Tipps

  Um die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen zu berechnen, verwendest du die Pfadmultiplikationsregel:

  Du multiplizierst die Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades.

  Schaue dir ein Beispiel an:

  F: Fiffi sucht eine lange Hose, ein grünes Hemd und keinen Pullover aus.

  $P($F$)=\frac14\cdot \frac16\cdot\frac12=\frac1{48}$

  Lösung

  In dieser Aufgabe sollst du Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen berechnen. Hierfür multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang des entsprechenden Pfades.

  Ergebnis A

  A: Fiffi sucht eine lange Hose, ein weißes Hemd und einen Pullover aus.

  $P($A$)=\frac14\cdot\frac13\cdot \frac13=\frac1{36}$

  Ergebnis B

  B: Fiffi sucht eine lange Hose, ein weißes Hemd und keinen Pullover aus.

  Dies ist nicht das Gegenereignis von A. Du kannst also nicht die Komplementärregel anwenden. Auch hier multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades:

  $P($B$)=\frac14\cdot\frac13\cdot \frac23=\frac2{36}=\frac1{18}$

  Ergebnis C

  C: Fiffi sucht eine lange Hose und ein blaues Hemd aus.

  $P($C$)=\frac14\cdot \frac12=\frac18$

  Ergebnis D

  D: Fiffi sucht eine kurze Hose und ein Beagle-T-Shirt aus.

  $P($D$)=\frac34\cdot\frac14=\frac3{16}$

  Ergebnis E

  E: Fiffi sucht eine kurze Hose und ein T-Shirt mit Schnecke aus.

  $P($E$)=\frac34\cdot\frac14=\frac3{16}$

  Hinweis: Wie du siehst, haben die Ergebnisse D und E dieselbe Wahrscheinlichkeit. Tatsächlich haben alle Kombinationen mit kurzer Hose dieselbe Wahrscheinlichkeit, da jedes T-Shirt die Wahrscheinlichkeit $\frac14$ hat.

• Wende die Pfadadditions- sowie Pfadmultiplikationsregel an, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass Paul einen Pullover trägt.

  Tipps

  Betrachte das Baumdiagramm von links nach rechts und zähle alle Kombinationsmöglichkeiten, in denen Paul einen Pullover trägt.

  Welche Hose trägt er jeweils?

  • Verwende zum Berechnen der Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen die Pfadmultiplikationsregel.
  • Verwende zum Berechnen der Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen die Pfadadditionsregel.

  Lösung

  Wir schauen uns die beiden Pfade an, in denen Paul einen Pullover trägt. Da beide Pfade im oberen Teil des Baumdiagramms liegen, hat er in beiden Fällen eine lange Hose an.

  Dazu trägt er...

  • ein weißes Hemd.
  • ein grünes Hemd.

  Die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades werden multipliziert. Dies ist die Pfadmultiplikationsregel.

  • weißes Hemd: $\frac14\cdot \frac 13\cdot \frac13=\frac1{36}$
  • grünes Hemd: $\frac14\cdot\frac16\cdot \frac12=\frac1{48}$

  Diese beiden Wahrscheinlichkeiten müssen nun addiert werden. Dies ist die Pfadadditionsregel.

  Damit ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeit:

  $P($Paul trägt einen Pullover$)=\frac1{36}+\frac1{48}=\frac7{144}$

• Beschreibe, wie die Wahrscheinlichkeiten berechnet werden.

  Tipps

  Ein Pfad eines Baumdiagrammes führt zu einem Ergebnis.

  Hier stellt das Baumdiagramm einen doppelten Würfelwurf dar, bei dem nur geschaut wird, ob eine $6$ geworfen wird oder nicht (dafür schreiben wir $\bar 6$).

  Bei dem dargestellten Baum führt der Pfad über $6$ und noch einmal $6$ zu dem Ergebnis $(6;6)$. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit lässt sich wie folgt berechnen:

  $P(6;6)=\frac16\cdot \frac16=\frac1{36}$.

  Betrachte das folgende Beispiel. Es bezieht sich auf den doppelten Würfelwurf.

  A: Es wird genau einmal $\bar 6$ gewürfelt.

  Dieses Ereignis beinhaltet zwei Ergebnisse:

  • $A=\{(6;\bar 6);(\bar 6;6)\}$
  • Damit ist $P(A)=\frac5{36}+\frac{5}{36}=\frac{10}{36}=\frac5{18}$.

  Lösung

  Es gibt zwei Regeln zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten im Zusammenhang mit Baumdiagrammen:

  • Mit der Pfadmultiplikationsregel berechnest du die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen.
  • Mit der Pfadadditionsregel berechnest du die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen.

  Nun siehst du die beiden Regeln noch einmal im Detail.

  Die Pfadmultiplikationsregel wird auch als Produktregel oder Pfadregel oder 1. Pfadregel bezeichnet. Sie besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses erhält man durch Multiplizieren der Wahrscheinlichkeiten entlang des zugehörigen Pfades.

  Die Pfadadditionsregel wird auch als Summenregel oder 2. Pfadregel bezeichnet. Sie besagt:

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erhält man durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Pfade.

  Man könnte auch sagen „... durch Addieren der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, welche in dem Ereignis liegen“.

• Berechne die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E.

  Tipps

  Du musst dir alle Tripel überlegen, die die Bedingung erfüllen, dass die Summe ihrer Augenzahlen kleiner oder gleich $5$ ist.

  Die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl ist gleich groß, nämlich $\frac16$.

  Damit ist auch die Wahrscheinlichkeit für jedes Tripel gleich groß.

  Benutze die Pfadmultiplikationsregel, um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

  Wie viele ($N$) solcher Tripel sind möglich?

  Hierfür verwendest du die Produktregel der Kombinatorik:

  $N=6\cdot 6\cdot 6=6^3=216$

  Lösung

  Solche Aufgaben werden dir sicher das ein oder andere Mal begegnen. Ein komplettes Baumdiagramm zu zeichnen, wäre nicht sehr sinnvoll:

  • Du benötigst nicht alle Pfade.
  • Es sind tatsächlich $216$ Pfade. Das bedeutet, das Zeichnen des kompletten Baumdiagramms wird sehr aufwändig.

  Es genügt, nur die benötigten Pfade zu zeichnen. Das sind die Pfade, die zu einem Ergebnis führen, welches zu dem Ereignis gehört. Wenn du in dem abgebildeten Baumdiagramm die Pfade entlang gehst, wirst du sehen, dass die Summe der Zahlen immer kleiner oder gleich $5$ ist.

  Ein so gekürztes Diagramm wird als reduziertes Baumdiagramm oder auch reduzierter Baum bezeichnet.

  Dies kannst du hier sehen: Da die Wahrscheinlichkeiten für jede Augenzahl gleich groß ist, sind diese nur für den ersten Wurf an die Äste angeschrieben.

  Die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Tripels erhältst du mit der Pfadmultiplikationsregel:

  $\frac16\cdot\frac16\cdot \frac16=\frac1{216}$

  Nun musst du die Wahrscheinlichkeiten der Tripel mit einer Augensumme kleiner oder gleich $5$ addieren. Dies ist die Pfadadditionsregel.

  Da jede dieser Wahrscheinlichkeiten jedoch gleich groß ist, kannst du auch die Anzahl der Tripel mit der Wahrscheinlichkeit eines Tripels multiplizieren.

  Die Anzahl der Tripel erkennst du an dem reduzierten Baum. Es sind $10$ Stück.

  Somit gilt $P($E$)=\frac{10}{216}=\frac5{108}$.