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Natürlicher Logarithmus als Integralfunktion 03:07 min

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Transkript Natürlicher Logarithmus als Integralfunktion

Hallo, in diesem Video geht es um die natürliche Logarithmusfunktion und genauer um die Darstellung des natürlichen Logarithmus als eine Integralfunktion. Wir betrachten die Funktion L(x), die als ein Integral der Kehrwertfunktion zwischen den Integrationswerten 1 und x, für alle positiven x definiert ist. Grafisch kann man diese Funktion wie folgt darstellen. Wir wissen, das Integral einer Funktion, der Fläche unter dem Graphen der Funktion entspricht. Das heißt, die Funktion L ordnet jedem Argument x diese Fläche zu. Wir zeigen nun, dass unsere Funktion L gleich der natürlichen Logarithmusfunktion ist. Aus der Definition folgt sofort, dass L(1)=0 ist und außerdem, da der Integrand streng positiv ist, ist die Funktion L streng monoton wachsend. Diese beiden Eigenschaften hat jede logarithmische Funktion. Diese sind jedoch nicht hinreichend. Um zu zeigen, dass wir es hier tatsächlich mit einer logarithmischen Funktion zu tun haben, müssen wir folgende Funktionalgleichung beweisen: L(x×y)=L(x)+L(y). Das ist genau die Eigenschaft, die eine Funktion zu einer logarithmischen Funktion macht. Wenn wir sie für den Logarithmus aufschreiben, sieht sie für die meisten von uns viel vertrauter aus. Wir betrachten die Funktion L an der Stelle x×y. Nach Definition ist das das Integral der Kehrwertfunktion zwischen 1 und x×y. Dies kann man schreiben als Integral von 1∫x + x∫xy. Im 1. Integral erkennen wir sofort L(x). Wenn wir jetzt zeigen können, dass das 2. Integral = L(y) ist, so haben wir das Gewünschte erreicht. Wir betrachten das 2. Integral genauer. Hier ist es noch einmal und führen folgende Variablensubstitution durch: t setzen wir = xs, d.h. statt dt steht dann x×ds. Das heißt, wir integrieren 1/xs×x und die beiden x'e kürzen sich. Als Nächstes betrachten wir die Ableitung der Funktion L, hier ist sie noch einmal. Das heißt, das 2. Integral ist tatsächlich L(y). Wir haben gezeigt, dass für unsere Funktion L gilt: L(xy)=L(x)+L(y), damit ist sie eine logarithmische Funktion. Als Nächstes betrachten wir die Ableitung der Funktion L, hier ist sie noch einmal. Die Ableitung ist durch die Kehrwertfunktion gegeben. Dies entspricht der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion. Das heißt, unsere Funktion L ist nicht nur irgendeine logarithmische Funktion, sondern sie ist die natürliche Logarithmusfunktion. Soviel zur Integraldarstellung der Logarithmusfunktion. Danke für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathematik.

3 Kommentare
  1. Danke :) für die schnelle Antwort .. Da haben sie recht . Da lag mein Denkfehler .
    Trotzdem super Video :)

    Von Linda w., vor etwa 5 Jahren
  2. Viel zu schnell und zu wenig Bezug der Herkunft von Logarithmus und Co.

    Von Suessmann, vor mehr als 5 Jahren
  3. Erklärung ist viel zu schnell, man kann die Rechenschritte nur schwer nachvollziehen.

    Von Joshua Tibow 1, vor mehr als 6 Jahren

Natürlicher Logarithmus als Integralfunktion Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Natürlicher Logarithmus als Integralfunktion kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die richtigen Eigenschaften der Funktion $L$ wieder.

    Tipps

    Für das nebenstehende Integral $I$ gilt $I=0$, denn die Integralgrenzen sind gleich.

    Die Logarithmusfunktion $\log_2$ zur Basis $2$ erfüllt für alle $x,y>0$ die Eigenschaft $\log_2(x\cdot y)=\log_2(x)+ \log_2(y)$.

    Die Ableitung nach $x$ einer Integralfunktion $\int\limits_a^x f(t)\, dt$ ist durch $f(x)$ gegeben.

    Lösung

    Die Funktion $L$ hat verschiedene Eigenschaften:

    1. Die Funktion $L$ ist für alle $x>0$ definiert durch $L(x)=\int\limits_{1}^{x} \frac{1}{t}~\mathrm{d}t.$
    2. Setzt man $x=1$, dann folgt $L(1)=\int_{1}^{1} \frac{1}{t}~\mathrm{d}x$. Ein Integral in den gleichen Grenzen zu bestimmen, ergibt nach Definition Null. Man kann es aber auch folgendermaßen begründen: Das Integral gibt den Flächeninhalt unter der Kurve in den entsprechenden Grenzen an. Wenn die Grenzen gleich sind, dann kann auch keine Fläche entstehen, womit der Wert den Integrals Null sein muss. Es gilt also $L(1)=0$.
    3. Die Funktion $L$ erfüllt für alle $x,y>0$ die Eigenschaft $L(x\cdot y)=L(x)+L(y)$.
    4. Es wurde gezeigt, dass die Funktion $L$ die natürliche Logarithmusfunktion ist. D.h. für alle $x>0$ gilt $L(x)=\ln(x)$. Folglich ist die erste Ableitung von $L$ damit $L'(x)=\frac{1}{x}$.
    Die übrigen Ausdrücke $L\left(x\right)\cdot L\left(y\right)$ und die Zahl $1$ erhalten keine Zuordnung.

  • Benenne Eigenschaften der Funktion $L$ mit $L(x)=\int\limits_{1}^{x} \frac{1}{t}~\mathrm{d}t$.

    Tipps

    Die natürliche Logarithmusfunktion ist nur für positive reelle Zahlen definiert.

    Je größer der Wert für $x$ ist, desto größer ist der Wert für $L(x)$.

    Um das Integral $I$ zu lösen, ersetzt man $t$ durch $xs$, d.h. es ist $t=xs$.

    Lösung

    Wir schauen uns jede Aussage einzeln an:

    1. Die natürliche Logarithmusfunktion kann durch die Integralfunktion $L$ angegeben werden. Es wurde gezeigt, dass $L(x)=\ln(x)$ für $x\in\mathbb{R}$ mit $x>0$ ist. Außerdem ist $L$ als Integralfunktion definiert. Folglich kann man die natürliche Logarithmusfunktion durch die Integralfunktion $L$ angeben. Die Aussage ist also wahr.
    2. Die erste Ableitung von $L$ ist $L'(x)=\frac{1}{x}$. Es ist $L(x)=\ln(x)$ für $x\in\mathbb{R}$ mit $x>0$. Die erste Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion $f(x)=\ln(x)$ ist $f'(x)=\frac{1}{x}$. Somit gilt also $L'(x)=\frac{1}{x}$ und die Aussage ist wahr.
    3. Die Funktion $L(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{t}~\mathrm{d}t$ ist für alle $x\in\mathbb{R}$ definiert. Diese Aussage ist falsch, denn wir wissen bereits aus 1., dass $L(x)=\ln(x)$ für $x\in\mathbb{R}$ mit $x>0$ gilt. Die natürliche Logarithmusfunktion ist für negative Werte für das Argument $x$ nicht definiert. Damit ist die Aussage falsch.
    4. Das Integral $\int_{x}^{xy}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t$ kann mit Substitution umgeformt werden. Man kann mit Hilfe von Ersetzung bzw. Substitution von $t$ durch $xs$ mit $s\in\mathbb{R}$ zeigen, dass folgende Gleichheit gilt: $\int\limits_{x}^{xy}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t=\int\limits_{1}^{y}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t$. Das Integral $\int\limits_{x}^{xy}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t$ wurde also durch Substitution umgeformt, womit die Aussage wahr ist.
    5. Die Funktion $L$ ist eine streng monoton fallende Funktion. Für alle $x\in\mathbb{R}$ und $x>0$ ist $L(x)=\ln(x)$. Nun ist zum Beispiel $\ln(2)=0{,}693\dots$ und $\ln(5)=1{,}609\dots$. Es folgt $\ln(2)<\ln(5)$ für $2<5$, womit die Funktion $L$ keine streng monoton fallende Funktion sein kann. Die letzte Aussage ist also falsch.
  • Belege die Gleichheit $L\left(x^n\right)=n\cdot L(x)$ für alle natürlichen Zahlen $n$.

    Tipps

    Beim Induktionsanfang setzt man $n$ in beide Seiten der Gleichung die kleinste Zahl ein und überprüft so, ob eine wahre Aussage entsteht.

    Im Induktionsschritt folgert man aus der Gültigkeit der Gleichung für ein beliebiges aber festgewähltes $n\in\mathbb{N}$ die Gültigkeit der Gleichung für den Nachfolger von $n$. Man zeigt also, dass die Gleichung auch für $n+1$ gilt.

    Wegen der bewiesenen Gleichung $L(x\cdot y)=L(x)+L(y)$ für alle $x,y>0$ gilt beispielsweise $L\left(x^5\cdot x\right)=L\left(x^5\right)+L(x)$.

    Lösung

    Es ist für alle natürlichen Zahlen $n\in\mathbb{N}$ die Gleichheit $L\left(x^n\right)=n\cdot L(x)$ zu belegen. Wir führen den Beweis mit einer vollständigen Induktion über $n$ durch.

    1. Beim Induktionsanfang betrachten wir die kleinste natürliche Zahl. Das ist die Null. Also zeigen wir zunächst die Gleichheit für $n=0$. Eingesetzt ergibt sich auf der linken Seite der Gleichung $L\left(x^0\right)=L(1)=0$ und auf der rechten Seite der Gleichung $0\cdot L(x)=0$, womit wegen $0=0$ eine wahre Aussage folgt und die Gleichheit $L\left(x^0\right)=0\cdot L(x)$ gilt.
    2. Eine vollständige Induktion besitzt außerdem eine Induktionsvoraussetzung, die man in den weiteren Schritten verwendet. Die Induktionsvoraussetzung ist in diesem Fall, dass für ein beliebiges aber festgewähltes $n\in\mathbb{N}$ die Gleichung $L\left(x^i\right)=i\cdot L(x)$ für $i\leq n$ gilt. Wir müssen jetzt zeigen, dass die Gleichheit auch für den Nachfolger von $n$, also für $n+1$ gilt. Wir wollen also unter der Voraussetzung die Gleichung $L\left(x^{n+1}\right)=(n+1)\cdot L(x)$ beweisen.
    3. Im Induktionsschritt zeigen wir nun $L\left(x^{n+1}\right)=(n+1)\cdot L(x)$. Wir betrachten die linke Seite der Gleichung, also $L\left(x^{n+1}\right)$, und verwenden dafür bekannte Umformungsschritte. Es ergibt sich $L\left(x^{n+1}\right)=L\left(x^n\cdot x\right)=L\left(x^n\right)+L(x)$. Auf den Summanden $L\left(x^n\right)$ können wir die Induktionsvoraussetzung aus 2. anwenden. Wir erhalten also $L\left(x^n\right)+L(x)=n\cdot L(x)+L(x)$. Nun brauchen wir nur noch $L(x)$ ausklammern und erhalten schließlich $(n+1)\cdot L(x)$. Insgesamt haben wir die Gleichheit $L\left(x^{n+1}\right)=(n+1)\cdot L(x)$ unter Verwendung von $L\left(x^n\right)=n\cdot L(x)$ gezeigt.
    4. Wir machen den Induktionsschluss: Wir haben die Gleichung $L\left(x^n\right)=n\cdot L(x)$ für alle natürlichen Zahlen $n\in\mathbb{N}$ belegt.
  • Erschließe dir die Umformung des angegebenen Integrals $I$.

    Tipps

    Leitet man den Ausdruck $z=r\cdot w$ nach $w$ ab, dann erhält man $r$ auf der rechten Seite. Als Gleichung kann man $z'=r$ oder $r=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}w}$ notieren. Beide Notationen drücken die erste Ableitung von $z$ nach der Variablen $w$ aus.

    Aus den beiden Gleichungen $r=r\cdot w$ und $r\cdot u=r\cdot w$ folgen die beiden Gleichungen $w=1$ und $w=u$.

    Für den Ausdruck $L(y)$ kann man beispielsweise $\int\limits_{1}^{y}\frac{1}{v}~\mathrm{d}v$ oder $\int\limits_{1}^{y}\frac{1}{z}~\mathrm{d}z$ schreiben.

    Lösung

    Wir wollen das nebenstehende Integral $I$ Schritt für Schritt umformen, sodass $I=\int\limits_{1}^{y}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t=L(y)$ ist. Dafür machen wir eine Integration durch Substitution.

    1. Wir müssen die Variable $t$ geeignet substituieren, um am Ende $L(y)$ zu erhalten. Hierfür ersetzen wir $t$ durch $x\cdot s$, d.h. es ist $t=x\cdot s$.
    2. Leitet man den Ausdruck $x\cdot s$ nach $s$ ab, dann erhält man $x$. Als Gleichung kann man $t'=x$ oder $x=\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ notieren. Beide Notationen drücken die erste Ableitung von $t$ nach der Variablen $s$ aus.
    3. Es gilt die Äquivalenz: $x=\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s} ~~~\Longleftrightarrow~~~ \mathrm{d}t=x\cdot \mathrm{d}s$
    4. Wir müssen außerdem die bisherigen Integrationsgrenzen $x$ und $xy$ aufgrund der Substitution anpassen. Da wir $t$ durch den neuen Term $x\cdot s$ ersetzt haben, müssen wir herausfinden, welchen Wert wir für $s$ einzusetzen haben, sodass $x=x\cdot s$ und $x\cdot y=x\cdot s$ gelten.
    5. Da $x>0$, können wir auf beiden Seiten der beiden letzten Gleichungen durch $x$ dividieren und erhalten $s=1$ und $s=y$.
    6. Wenden wir die Erkenntnisse aus 3. und 5. an, dann erhalten wir insgesamt $I=\int\limits_{1}^{y}\frac{1}{x\cdot s}~x\cdot \mathrm{d}s= \int\limits_{1}^{y}\frac{1}{s}~\mathrm{d}s$.
    7. Der Ausdruck $\int\limits_{1}^{y}\frac{1}{s}~\mathrm{d}s$ ist gerade gleich $L(y)$. Dabei musst dich nicht wundern, dass hier anstelle des $t$ nun ein $s$ steht. Das ist in diesem Fall nur eine Bezeichnungssache. Es stehen beispielsweise $\int\limits_{1}^{x}\frac{1}{q}~\mathrm{d}q$ oder $\int\limits_{1}^{x}\frac{1}{p}~\mathrm{d}p$ für den Ausdruck $L(x)$.
  • Bestimme die Werte der angegebenen Integrale.

    Tipps

    Es wurde gezeigt, dass $L(x)=\ln(x)$ ist. Damit gilt also auch die nebenstehende Gleichung.

    Das Integral $\int\limits_{1}^{7}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t$ kann man recht schnell lösen. Es ist nämlich

    $\int\limits_{1}^{7}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t=\ln(7)$.

    Die Zahl $27$ ist zum Beispiel eine Dreierpotenz, d.h. es ist $27=3^3$. Dadurch kann man $\ln(27)$ etwas vereinfachen.

    Lösung

    Für alle $x\in\mathbb{R}$ und $x>0$ gilt die nebenstehende Gleichung. Diese Gleichung werden wir zur Angabe der folgenden Integrale benutzen:

    1. Setzt man für $x=4$, dann erhalten wir $\int\limits_{1}^{4}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t=\ln(4)$.
    2. Der Wert für $x$ ist nun $16$. Somit folgt $\int\limits_{1}^{16}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t=\ln(16)$. Die Zahl $16$ lässt sich allerdings noch als Viererpotenz, d.h. als $4^2$, schreiben. Folglich ist $\ln(16)=\ln(4^2)=2\cdot\ln(4)$.
    3. Analog zu 1. und 2. ist nun $\int\limits_{1}^{9}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t=\ln(9)$.
    4. Beim letzten Integral ist $x=8$. Also ist $\int\limits_{1}^{8}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t=\ln(8)$. Ähnlich zu 2., können wir die Zahl $8$ als Zweierpotenz schreiben. Es ist $8=2^3$. Demzufolge ergibt sich $\ln(8)=\ln(2^3)=3\cdot \ln(2)$.
    Die übrigen Werte $\ln(5)$ und $\ln(6)$ erhalten keine Zuordnung.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Konstante Faktoren können vor ein Integral geschrieben werden. Es ist z.B.

    $\int\limits_{1}^{3}-6x~\mathrm{d}x=-6\cdot \int\limits_{1}^{3}x~\mathrm{d}x$

    Ist beispielsweise $x=17$, dann ergibt sich mit der nebenstehenden Gleichung:

    $\int\limits_{1}^{17}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t=\ln(17)$

    Gleichungen mit dem natürlichen Logarithmus können mit der $e$-Funktion umgeformt werden.

    $3\cdot\ln(2)=\ln(x)~~~\Longleftrightarrow~~~e^{3\cdot\ln(2)}=x$

    Du musst die Gleichung $4\cdot\ln(7)-2\cdot\ln(x)=0$ nach $x$ auflösen.

    Lösung

    Um die Gleichung $\int\limits_{1}^{7}\frac{4}{t}~\mathrm{d}t + \int\limits_{1}^{x}\frac{-2}{t}~\mathrm{d}t = 0$ zu lösen, wollen wir diese vorher in eine etwas einfachere Form bringen. Hierbei werden wir unter anderem verwenden, dass man konstante Faktoren aus dem Integranden „herausziehen” kann. Außerdem nutzen wir die Gleichheit $\int\limits_{1}^{x}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t=\ln(x)$.

    Die Ausgangsgleichung verändern wir zunächst nur ein wenig:

    $\int\limits_{1}^{7}4\cdot \frac{1}{t}~\mathrm{d}t + \int\limits_{1}^{x}(-2)\cdot \frac{1}{t}~\mathrm{d}t = 0$

    Wir haben lediglich bei beiden Integralen den Integranden umgeschrieben. Nun können wir die beiden konstanten Faktoren $4$ und $-2$ „herausziehen”:

    $4\cdot\int\limits_{1}^{7} \frac{1}{t}~\mathrm{d}t + (-2)\cdot \int\limits_{1}^{x}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t = 0$

    Die linke Seite der Gleichung können wir weiter vereinfachen und nutzen dabei aus, dass die Integrale dem natürlichen Logarithmus entsprechen:

    $4\cdot\ln(7)-2\cdot\ln(x)=0$

    Die erhaltene Gleichung können wir mit bekannten Äquivalenzumformungen nach $x$ auflösen. Dabei werden unter anderem die Potenzgesetze genutzt und die Tatsache, dass die Exponential- und Logarithmusfunktion zueinander Umkehrfunktionen sind: $\begin{align*} 4\cdot\ln(7)-2\cdot\ln(x)=0 ~~~&\Longleftrightarrow~~~  4\cdot\ln(7)=2\cdot\ln(x)\\ ~~~&\Longleftrightarrow~~~  2\cdot\ln(7)=\ln(x)\\ ~~~&\Longleftrightarrow~~~  e^{2\cdot\ln(7)}=e^{\ln(x)}\\ ~~~&\Longleftrightarrow~~~  \left(e^{\ln(7)}\right)^2=x\\ ~~~&\Longleftrightarrow~~~  7^2=x \end{align*}$

    Das Quadrat von $7$ ist bekanntlich $49$. Damit ist $x=49$ die Lösung der Gleichung.

    Die Probe ergibt mit

    $\begin{align*} \int\limits_{1}^{7}\frac{4}{t}~\mathrm{d}t + \int\limits_{1}^{49}\frac{-2}{t}~\mathrm{d}t &= 4\cdot \int\limits_{1}^{7}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t -2\cdot \int\limits_{1}^{49}\frac{1}{t}~\mathrm{d}t\\ &=4\cdot \ln(7)-2\cdot \ln(49)\\ &=4\cdot\ln(7)-2\cdot\ln(7^2)\\ &=4\cdot\ln(7)-4\cdot\ln(7)=0 \end{align*}$

    eine wahre Aussage.