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Minimum (Tiefpunkt) – Definition

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Martin Wabnik
Minimum (Tiefpunkt) – Definition
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Minimum (Tiefpunkt) – Definition

Inhalt

Was ist der Tiefpunkt?

In der Mathematik kommen Tiefpunkte in der Kurvendiskussion vor. Es handelt sich dabei um diejenigen Punkte des Funktionsgraphen, die den kleinsten Funktionswert haben. Dabei kann es sich um den kleinsten Funktionswert überhaupt oder den kleinsten Funktionswert innerhalb einer geeignet gewählten Umgebung handeln. In diesem Video erklären wir dir, was Tiefpunkte sind und wie du sie am Funktionsgraphen erkennen kannst. Wie du Tiefpunkte einer Funktion bestimmst, lernst du in einem anderen Video.

Hoch- und Tiefpunkte – Definition

In der Kurvendiskussion suchen wir für eine vorgegebene Funktion $f: \mathbb R \to \mathbb R$ nach speziellen Punkten des Funktionsgraphen. Diese speziellen Punkte können Nullstellen oder Hoch- und Tiefpunkte der Funktionen sein. Ein Tiefpunkt ist derjenige Punkt des Funktionsgraphen, der zu einem Minimum der Funktion gehört – genauer gesagt zu einem lokalen Minimum. Das bedeutet: Der Punkt $(x_0|f(x_0))$ des Funktionsgraphen ist ein Tiefpunkt genau dann, wenn es eine Umgebung $U(x_0)$ gibt, sodass an allen Stellen $x \in U(x_0)$ der Funktionswert von $f$ nicht größer ist als der Funktionswert an der Stelle $x_0$. Das schreiben wir so auf:

  • An einem Minimum $x_0$ gilt $f(x_0) \leq f(x)$ für alle $x$ aus einer Umgebung $x_0$.

Im Funktionsgraphen erkennst du einen Tiefpunkt also daran, dass in der Nähe des Tiefpunkts Funktionswerte größer oder gleich dem Funktionswert am Tiefpunkt sind. Bei der Funktion hier im Bild sind die Funktionswerte in der Nähe des Tiefpunkts größer als der Funktionswert an der Stelle $x_0$:

Minimum und Tiefpunkt

Die Definition des Tiefpunkts verlangt aber nicht, dass die anderen Funktionswerte in der gefundenen Umgebung $U(x_0)$ größer sind als der Funktionswert $f(x_0)$. Es genügt, dass sie nicht kleiner sind als $f(x_0)$. Das zeigt die Funktion in dem folgenden Bild:

nicht isolierter Tiefpunkt

Die Funktion hat in dem Punkt $(x_0|f(x_0))$ einen Tiefpunkt, denn die Funktionswerte in der Umgebung $U(x_0)$ sind nicht größer als der Funktionswert $f(x_0)$. Die Stelle $x_0$ ist also ein lokales Minimum der Funktion $f$. Da die Funktionswerte in der Nähe von $x_0$ alle gleich dem Funktionswert an der Stelle $x_0$ sind, ist das Minimum bei $x_0$ kein isoliertes Minimum.

Als strenge Minima oder isolierte Minima bezeichnet man solche Minima $x_0$ einer Funktion $f$, für die gilt: Es gibt eine Umgebung $U(x_0)$, für die jeder Funktionswert $f(x)$ mit $x \in U(x_0)$ größer ist als $f(x_0)$. Das können wir auch so aufschreiben:

  • An einem strengen Minimum $x_0$ gilt $f(x_0) < f(x)$ für alle $x$ aus einer Umgebung $x_0$. Statt strenges Minimum sagt man auch: Die Funktion $f$ hat an der Stelle $x_0$ ein isoliertes lokales Minimum.

Die Definition des Tiefpunkts des Funktionsgraphen bzw. des lokalen Minimums einer Funktion schließt außerdem nicht aus, dass die Funktionswerte außerhalb der gefundenen Umgebung kleiner sind als der Funktionswert an der Stelle $x_0$. Ist $(x_0|f(x_0))$ ein Tiefpunkt des Funktionsgraphen, so hat die Funktion an der Stelle $x_0$ ein lokales Minimum. Die Funktionswerte $f(x)$ an Stellen $x$ jenseits einer kleinen Umgebung von $x_0$ können kleiner sein als der Funktionswert $f(x_0)$. In diesem Sinne ist das lokale Minimum der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ nicht der kleinste Funktionswert von $f$ überhaupt, also kein globales Minimum.

Dieses Video

In diesem Video wird dir verständlich erklärt, was ein Minimum einer Funktion und ein Tiefpunkt eines Funktionsgraphen ist. Zu dem Video gibt es interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt, in denen du dein neues Wissen gleich ausprobieren kannst.

Transkript Minimum (Tiefpunkt) – Definition

Hallo. Was sind Extrema, was sind Hochpunkte, was sind Tiefpunkte, was sind Minima, was sind Maxima? Das ist hier die Frage und hier steht die Definition eines Minimums. Ich lese das mal eben vor: f(x0) ist ein Minimum, wenn es eine Umgebung u(x0) gibt, sodass für alle x Element u(x0) gilt: f(x) größer gleich f(x0). So, dass hört sich jetzt vielleicht ein bisschen technisch an, aber man kann sich das ja mal vorstellen, wie das aussehen soll. Da brauchen wir ein freundliches Koordinatensystem. So ungefähr. Und da haben wir jetzt irgendeinen Funktionsgraphen drin, der zum Beispiel so verläuft hier, und da kann man wohl sehen, dass hier ein Minimum vorliegt, hier ungefähr. Also rein mal so vom intuitiven Verständnis. Minimum ist ja so ein kleinster Funktionswert. So, wie kann man das jetzt beschreiben, diesen kleinsten Funktionswert? Es muss gelten, dass die anderen Funktionswerte, die da in der Nähe sind, größer sind, sie können auch gleich sein, also sie dürfen zumindest nicht kleiner sein als dieser Funktionswert hier, da wo das Minimum ist. Das ist ja das, was wir intuitiv unter einem Minimum verstehen. Das heißt, wir nehmen den x-Wert oder die Stelle auf der x-Achse, da wo sich dieses Minimum befindet und nennen das irgendwie, zum Beispiel x0. Das ist üblich, das x0 zu nennen, man hätte das auch x1 nennen können. Völlig egal, das hat sich halt so eingebürgert. Deshalb mache ich es auch so. Also, bei x0 ist der Funktionswert in diesem Fall am kleinsten. Er ist kleiner als die anderen Funktionswerte. Das bedeutet, dass es hier so eine Umgebung gibt, also ein Intervall, in dem sich x0 befindet, und alle anderen Funktionswerte hier sind größer, oder zumindest sind sie nicht kleiner als der Funktionswert an dieser Stelle. Naja, und das formuliert man dann eben so, wie das hier steht. Dann kann ich noch einzeichnen, wo f(x0) ist. Also, hier ist f(x0). Das ist ein bisschen klein geworden, das muss ich jetzt mal ein bisschen näher in die Kamera halten. Da ist f(x0). Also, f(x0) ist ein Minimum, wenn es eine Umgebung u(x0) gibt, das ist diese Umgebung hier, sodass für alle x aus dieser Umgebung, das heißt, für das, für das, für das, für das, für alle x aus dieser Umgebung gilt, dass die Funktionswerte, also f(x) größer oder gleich der Funktionswerte f(x0) sind. Und hier sind sie alle tatsächlich größer und deshalb ist das hier ein Minimum. Zu klären ist noch, was passiert, wenn die Funktion jetzt so verläuft, so, und hier konstant ist und dann vielleicht wieder nach oben geht. Die Frage ist jetzt: Ist dann hier auch ein Minimum? Dann nehmen wir wieder unser x0. Das bezeichne ich wieder so. Das kommt jetzt weg. Es sollen ja nicht mehrere x0, die sich unterscheiden, in einer Zeichnung stehen. Also ist das hier nach Definition auch ein Minimum. Nun, wir haben einen Funktionswert f(x0), der andere kommt jetzt auch weg. F(x0) ist hier und wir können um x0 uns eine Umgebung vorstellen, zum Beispiel die hier. Das ist ein Intervall in dem x0 drinnen liegt, also eine Umgebung, und wenn wir jetzt die Definition durchgehen haben wir also f(x0) ist ein Minimum, wenn es eine Umgebung u(x0) gibt, ja, die gibt es, sodass für alle x aus dieser Umgebung, also dieses und dieses und dieses hier, eben alle (da ist das Elementzeichen hier) gilt, dass f(x), zum Beispiel hier, größer oder gleich f(x0) ist. Dieser Funktionswert ist genauso groß wie f(x0). Dieser Funktionswert ist auch genauso groß. Dieser auch. Dieser auch. Die sind alle genauso groß wie f(x0), das heißt, es gilt also für alle x, die sich innerhalb dieses Intervalls befinden, dass f(x) gleich f(x0) ist und damit ist f(x0) ein Minimum. Es werden bestimmt viele Leute sagen: wieso? Ein Minimum ist es ja nicht? Die anderen Funktionswerte sind ja nicht größer. Ja, richtig. Deshalb unterscheidet man zwischen strengem Minimum und einfach nur Minimum. Wenn alle Funktionswerte in der Umgebung von x0 echt größer sind, dann ist es ein strenges Minimum an dieser Stelle. Wenn alle Funktionswerte in der Umgebung von x0 nicht kleiner sind, dann kann das auch so aussehen und dann ist es kein strenges Minimum, aber da alle anderen Funktionswerte, die sich in der Umgebung befinden, eben auch nicht kleiner sind, ist es ja in dem Sinne auch ein kleinster Funktionswert an dieser Stelle und deshalb sagt man, dass hier dann auch ein Minimum vorliegt. Ja, das war es zum Minimum, und Maximum funktioniert fast genauso. Viel Spaß damit. Tschüss!

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