Logarithmus – Definition

Logarithmus – Definition

In der Mathematik kommt der Logarithmus in der Potenzrechnung vor, also beim Rechnen mit Potenzen. Die Mehrzahl von Logarithmus ist Logarithmen.

Ausgehend von der Rechnung $2^{3} = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ können wir uns die Frage stellen:
Mit welcher Zahl muss die Zahl $2$ potenziert werden, damit das Ergebnis $8$ ist?

In der Mathematik schreibt man diese Frage nicht in Worten, sondern in Symbolen:

$\log_2(8) =\,?$

Das Symbol $\log_2$ liest man: Logarithmus zur Basis $2$.
Gesucht ist also der Logarithmus von $8$ zur Basis $2$.

Die Antwort auf diese Frage ist $3$, denn wenn wir die Basis $2$ mit dem Exponenten $3$ potenzieren, erhalten wir die Zahl $8$:

$\log_2(8) = 3 ~\Longleftrightarrow~ 2^3=8$

Die Abbildung zeigt noch einmal alle wichtigen Begriffe:

Durch das Logarithmieren erhalten wir den gesuchten Exponenten. Der Wert der Potenz (hier: $8$) wird als Argument der Logarithmusfunktion $\log(x)$ auch Numerus genannt.

Schreibweise des Logarithmus

Betrachten wir noch ein weiteres Beispiel:

Es gilt: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 =16$
Die Basis $2$ muss also mit dem Exponenten $4$ potenziert werden, damit $16$ herauskommt.
Die Gleichung $2^x=16$ hat demnach die Lösung $x = 4$.

Diese Lösung können wir mit dem Logarithmus formulieren und berechnen:

$x=\log_2(16)$

Allgemein können wir sagen, dass eine Gleichung $a^x=b$ durch Logarithmieren gelöst werden kann. Wir schreiben die Lösung dann so auf:

$x=\log_a(b)$

Die Lösung $x$ können wir benennen und berechnen als Logarithmus zur Basis $a$ von $b$.

Schauen wir uns noch einmal die Bezeichnungen beim Potenzieren und Logarithmieren an:

• Die Basis $a$ der Potenz $a^x$ ist auch die Basis im Logarithmus $\log_a{b}$.
• Der Exponent $x$ ist die gesuchte Zahl und steht isoliert auf der einen Seite der Logarithmusberechnung $x=\log_a(b)$.
• Der Potenzwert $b$ wird zum Argument des Logarithmus $\log_a(b)$. Er wird auch als Numerus bezeichnet.

Einige Logarithmen mit bestimmten Basen haben spezielle Namen und eigene Formelzeichen, die sich daraus ableiten. So wird der Logarithmus zur Basis $2$ auch Logarithmus dualis (Zweierlogarithmus) genannt und mit $\text{ld}$ abgekürzt. Es gilt also:

$\log_2(b) = \text{ld}(b)$

In der folgenden Abbildung siehst du noch einmal alle Bezeichnungen zusammengefasst:

Damit der Zusammenhang zwischen Potenzieren (links) und Logarithmieren (rechts) sinnvoll hergestellt werden kann, sind allerdings ein paar Einschränkungen zu beachten. Welche das sind, sehen wir uns im Folgenden an.

Logarithmus – Einschränkungen

Betrachten wir noch einmal die allgemeine Definition des Logarithmus:

$a^x = b ~\Longleftrightarrow~ x =\log_a(b)$

Dieser Zusammenhang gilt nur, wenn sowohl $a > 0$ als auch $b > 0$ gegeben ist. Außerdem darf die Basis $a$ nicht $1$ sein, es muss also $a \neq 1$ gelten.

Warum ist das so? Sehen wir uns den theoretischen Fall $a < 0$ anhand eines Beispiels an:

$\log_{-2}(8) = x =\,?$

Um diese Gleichung lösen zu können, müsste es einen Exponenten $x$ geben, der folgende Bedingung erfüllt:

$(-2)^x = 8$

Das ist aber nicht möglich. Ein positiver Potenzwert (hier: $8$) kann nur gebildet werden, wenn die Basis ebenfalls positiv ist. Die Basis $a$ eines Logarithmus muss also positiv sein, weil nur die Potenz einer positiven Zahl auch immer positiv ist.

Ähnlich können wir auch den theoretischem Fall $b < 0$ betrachten:

$\log_{2}(-8) = x =\,?$

Um diese Gleichung lösen zu können, müsste es einen Exponenten $x$ geben, der folgende Bedingung erfüllt:

$2^x = -8$

Das ist wiederum unmöglich. Ein negativer Potenzwert (hier: $-8$) kann nur gebildet werden, wenn die Basis ebenfalls negativ ist. Allerdings ist selbst das nicht allgemein gültig.
Im Fall $(-2)^3 = -8$ würde es zwar klappen, aber beispielsweise im Fall $(-2)^2 = 4$ ist das Ergebnis trotzdem positiv.
Selbst wenn $a$ und $b$ beide negativ wären, könnte man also nur in bestimmten Fällen einen Logarithmus ermitteln. Deshalb wird bei der allgemeinen Formulierung des Logarithmus definiert, dass sowohl $a$ als auch $b$ positiv sein müssen.

Sehen wir uns nun an, was $a = 0$ bedeuten würde:

$\log_{0}(8) = x =\,?$

Um diese Gleichung lösen zu können, müsste es einen Exponenten $x$ geben, der folgende Bedingung erfüllt:

$0^x = 8$

Aber egal welchen Exponenten $x$ wir wählen, $0$ hoch irgendetwas wird immer $0$ ergeben oder nicht definiert sein, niemals aber $8$ oder irgendeine andere von $0$ verschiedene Zahl.

Und wenn $b = 0$ wäre, hätten wir folgenden Fall:

$\log_{2}(0) = x =\,?$

Um diese Gleichung lösen zu können, müsste es einen Exponenten $x$ geben, der folgende Bedingung erfüllt:

$2^x = 0$

Aus einer positiven Basis (hier: $2$) folgt aber immer ein positiver Potenzwert. Der Potenzwert $0$ wird für keinen möglichen Wert von $x$ angenommen. Wie oft müsste man $2$ mit sich selbst multiplizieren, damit $0$ herauskommt? Auf diese Frage gibt es keine sinnvolle Antwort.

Und auch wenn sowohl $a$ als auch $b$ gleich $0$ wären, könnte man keinen sinnvollen Logarithmus bestimmen:

$\log_{0}(0) = x =\,?$

Denn um diese Gleichung lösen zu können, müsste es einen Exponenten $x$ geben, der folgende Bedingung erfüllt:

$0^x = 0$

Wie oft müsste man $0$ mit sich selbst multiplizieren, damit $0$ herauskommt? Es gibt unendlich viele Exponenten, die diese Bedingungen erfüllen, da $0$ mit sich selbst multipliziert immer $0$ ergibt, egal wie oft. Also ist keine eindeutige Bestimmung des Logarithmus möglich.

Diese Betrachtungen verdeutlichen, dass $a > 0$ und $b > 0$ gelten müssen, um den Logarithmus sinnvoll definieren zu können.
Außerdem haben wir schon erwähnt, dass die Basis $a$ nicht gleich $1$ sein darf. Denn wenn $a = 1$ wäre, hätten wir beispielsweise folgenden Fall:

$\log_{1}(2) = x =\,?$

Es müsste also einen Exponenten $x$ geben, der folgende Bedingung erfüllt:

$1^x = 2$

Aber $1$ hoch irgendetwas ist immer gleich $1$, denn die $1$ mit sich selbst multipliziert ergibt immer $1$, egal wie oft. Nur für den Spezialfall $b = 1$ wäre ein Logarithmus zur Basis $a = 1$ also überhaupt widerspruchsfrei formulierbar. In diesem Fall gäbe es allerdings unendlich viele Lösungen für $x$, also auch kein sinnvolles Ergebnis.

Der Logarithmus für den Fall $b = 1$ ist definiert, solange $a > 0$ und $a \neq 1$ gelten. Es handelt sich allerdings gewissermaßen um einen Spezialfall. Das sehen wir an folgendem Beispiel:

$\log_{2}(1) = x =\,?$

Die Lösung dieser Gleichung muss einen Exponenten $x$ liefern, der folgende Bedingung erfüllt:

$2^x = 1$

Die Lösung ist $x = 0$, denn $2^0 = 1$.
In der Tat ist (gemäß den Potenzgesetzen) jede beliebige Basis $a$ hoch $0$ gleich $1$, d. h. es gilt $a^0 =1$ für alle reellen Zahlen $a$.
Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis $a$ ist also immer gleich $0$ für den Fall $b = 1$:

$\log_{a}(1) = 0$

Wir haben schon erwähnt, dass einige Logarithmen mit bestimmten Basen eigene Schreibweisen haben. Diese sehen wir uns im folgenden Abschnitt genauer an.

Spezielle Logarithmen

Es gibt einige spezielle Logarithmen. Das sind Logarithmen, die sich auf ganz bestimmte Basen beziehen. Diese spielen in der Mathematik (und in vielen Anwendungen) eine ganz besondere Rolle.

Logarithmus dualis

Den Logarithmus dualis, den sogenannten Zweierlogarithmus, haben wir weiter oben schon erwähnt. Es ist der Logarithmus zur Basis $2$, abgekürzt $\text{ld}$. Es gilt also:

$\log_2(b) = \text{ld}(b) \quad , \quad b > 0$

bzw.

$2^x = b ~\Longleftrightarrow~ x = \text{ld}(b) \quad , \quad b > 0$

Beispiel:

$2^x = 8 ~\Longleftrightarrow~ x = \text{ld}(8) = 3$

Für $b = 1$ gilt $x = 0$ und für $b = 2$ gilt $x = 1$:

• $\text{ld}(1) = 0$
• $\text{ld}(2) = 1$

In manchen Zusammenhängen wir der Zweierlogarithmus auch binärer Logarithmus genannt und entsprechend mit $\text{lb}$ abgekürzt, statt mit $\text{ld}$.

Dekadischer Logarithmus

Der Logarithmus zur Basis $10$ ist der dekadische Logarithmus, auch Zehnerlogarithmus genannt. Er wird mit $\log$ abgekürzt, es wird also einfach die Angabe der Basis weggelassen. Manchmal wird auch $\lg$ geschrieben. Es gilt also:

$\log_{10}(b) = \log(b) = \lg(10) \quad , \quad b > 0$

bzw.

$10^x = b ~\Longleftrightarrow~ x = \lg(b) \quad , \quad b > 0$

Beispiel:

$10^x = 10\,000 ~\Longleftrightarrow~ x = \lg(10\,000) = 4$

In diesem Beispiel ist schön zu erkennen, dass der Wert des dekadischen Logarithmus genau der Anzahl der Nullen der entsprechenden Zehnerpotenz entspricht: Der Potenzwert $10\,000$ hat vier Nullen.

Für $b = 1$ gilt $x = 0$, denn der Potenzwert $1$ hat keine Nullen. Für $b = 10$ gilt $x = 1$, denn der Potenzwert $10$ hat genau eine Null:

• $\log(1) = \lg(1) = 0$
• $\log(10) = \lg(10) = 1$

Der Zehnerlogarithmus wird deutlich häufiger verwendet als der Zweierlogarithmus. Bei vielen verschiedenen technischen Anwendungen wird er für Berechnungen und Auswertungen benötigt. Deshalb ist er auch auf den meisten Taschenrechnern zu finden – üblicherweise als $\text{LOG}$‑Taste.

Logarithmus naturalis

Der logarithmus naturalis, auch natürlicher Logarithmus genannt, ist der Logarithmus zur Basis $e$. Die Zahl $e$ ist eine irrationale Zahl, die sogenannte eulersche Zahl. Es gilt $e \approx 2{,}71828$.
Das scheint auf den ersten Blick ein ziemlich willkürlicher Wert zu sein – das ist aber keineswegs der Fall! Die Zahl $e$ ist neben der Kreiszahl $\pi$ eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik. Mithilfe der natürlichen Exponentialfunktion $e^x$ wird exponentielles Wachstum beschrieben, das in der Natur und auch in vielen technischen Anwendungen eine fundamentale Rolle spielt.
Der natürliche Logarithmus stellt die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion dar. Er wird mit $\ln$ abgekürzt. Es gilt also:

$\log_e(b) = \ln(b) \quad , \quad b > 0$

bzw.

$e^x = b ~\Longleftrightarrow~ x = \ln(b) \quad , \quad b > 0$

Beispiel:

$e^x \approx 20{,}1 ~\Leftrightarrow~ x \approx \ln(20{,}1) \approx 3$

Für $b = 1$ gilt $x = 0$ und für $b = e$ gilt $x = 1$:

• $\ln(1) = 0$
• $\ln(e) = 1$

Außerdem gilt:

$\ln \left(e^x \right) = x \quad$ bzw. $\quad e^{\ln(x)} = x$

Das folgt aus der Tatsache, dass die natürliche Exponentialfunktion $e^x$ und die natürliche Logarithmusfunktion $\ln(x)$ Umkehrfunktionen zueinander sind.

Aufgrund seiner großen mathematischen Bedeutung hat auch der natürliche Logarithmus eine eigene Taste auf den meisten Taschenrechnern – die $\text{LN}$‑Taste.

Logarithmusgesetze

Das Rechnen mit Logarithmen kann schnell kompliziert werden, insbesondere wenn man keinen Taschenrechner zur Hand hat. Tauchen mehrere Logarithmen in einer Gleichung oder einem Term auf, können oft Logarithmusgesetze angewendet werden. Das sind besondere Rechenregeln, die für jede beliebige Basis $a$ eines Logarithmus und damit auch für die oben genannten speziellen Logarithmen gelten. Wir können drei verschiedene Logarithmusgesetze unterscheiden:

1. Logarithmusgesetz

Das 1. Logarithmusgesetz ist auch als Produktregel bekannt. Mithilfe dieser Rechenregel können Summen von Logarithmen in Produkte umgewandelt werden und umgekehrt. Das geht allerdings nur, wenn die Logarithmen die gleiche Basis $a$ haben. Dann gilt:

$\log_a( u \cdot v)= \log_a(u) + \log_a(v)$

Ein Argument bzw. ein Numerus $b$, der ein Produkt zweier Zahlen $u$ und $v$ ist (oder sich als solches schreiben lässt), kann also in eine Summer der Logarithmen $\log_a(u)$ und $\log_a(v)$ umgewandelt werden, wobei die Basis $a$ in allen Logarithmen gleich sein muss.
Umgekehrt kann eine entsprechende Summe zweier Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus (zur gleichen Basis) zusammengefasst werden, in dem das Produkt der beiden Argumente gebildet wird.

Beispiele:

$\log_3(27) = \log_3(3 \cdot 9) = \log_3(3) + \log_3(9) = 1 + 2 = 3$

$ \log_3(6) + \log_3(1{,}5) = \log_4(6 \cdot 1{,}5) = \log_3(9) = 2$

2. Logarithmusgesetz

Das 2. Logarithmusgesetz ist auch als Quotientenregel bekannt. Mithilfe dieser Rechenregel können Differenzen von Logarithmen in Quotienten umgewandelt werden und umgekehrt. Das geht allerdings auch hier nur, wenn die Logarithmen die gleiche Basis $a$ haben. Dann gilt:

$\log_a \left(\dfrac{u}{v} \right) = \log_a(u : v) = \log_a(u) - \log_a(v)$

Ein Argument bzw. ein Numerus $b$, der ein Quotient zweier Zahlen $u$ und $v$ ist (oder sich als solcher schreiben lässt), kann demnach in eine Differenz der Logarithmen $\log_a(u)$ und $\log_a(v)$ umgewandelt werden, wobei die Basis $a$ in allen Logarithmen gleich sein muss. Umgekehrt kann eine entsprechende Differenz zweier Logarithmen zu einem einzigen Logarithmus (zur gleichen Basis) zusammengefasst werden, in dem der Quotient der beiden Argumente gebildet wird.

Beispiel:

$\log_{10} \left(\dfrac{1}{100}\right) = \log_{10}(1 : 100) = \log_{10}(1) - \log_{10}(100) = 0 - 2 = -2$

$ \log_5(125) - \log_5(25) = \log_5(125 : 25) = \log_5\left(\dfrac{125}{25}\right) = \log_5(5) = 1$

3. Logarithmusgesetz

Das 3. Logarithmusgesetz ist auch als Potenzregel bekannt. Diese Rechenregel kann angewendet werden, wenn das Argument des Logarithmus eine Potenz ist (oder als solche dargestellt werden kann). Es gilt:

$\log_a\left(u^m\right) = m \cdot \log_a(u)$

Liegt das Argument bzw. der Numerus $b$ in Form einer Potenz $u^m$ vor, kann der Exponent $m$ dieser Potenz als Faktor vor den Logarithmus gezogen werden. Die Basis $u$ der Potenz bleibt dabei im Logarithmus stehen. Umgekehrt kann ein Faktor vor einem Logarithmus als Exponent in den Logarithmus aufgenommen werden.

Beispiele:

$\log_3(81) = \log_3\left(9^2\right) = 2 \cdot \log_3(9) = 2 \cdot 2 = 4$

$3 \cdot \log_{125}(5) = \log_{125}\left(5^3\right) = \log_{125}(125) = 1$

Mit der Anwendung der Potenzregel lässt sich außerdem die Darstellung der natürlichen Logarithmusfunktion $\ln(x)$ als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion $e^x$ zeigen:

$\ln \left(e^x \right) = x \cdot \ln{e} = x \cdot 1 = x$

Zudem gilt das 3. Logarithmusgesetz auch für Wurzeln, da jede Wurzel bekanntlich auch als Potenz mit rationalem Exponenten geschrieben werden kann:

$\sqrt[n]{u^m} = u^{\frac{m}{n}} \quad , \quad n \neq 0$

Damit gilt:

$\log_a \left(\sqrt[n]{u^m}\right) = \log_a \left(u^{\frac{m}{n}} \right) = \frac{m}{n} \cdot \log_a(u)$

Beispiele:

$\log_3 \left(\sqrt[3]{81}\right) = \log_3 \left(\sqrt[3]{9^2}\right) = \log_3 \left(9^{\frac{2}{3}}\right) = \frac{2}{3} \cdot \log_3(9) = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$

$\frac{2}{3} \cdot \log_{4}(8) = \log_{4}\left(8^{\frac{2}{3}}\right) = \log_{4}\left(\sqrt[3]{8^2}\right) = \log_{4}\left(\sqrt[3]{64}\right) = \log_{4}(4) = 1$

Fassen wir die drei Logarithmusgesetze noch einmal zusammen:

Lösen einer Exponentialgleichung mithilfe des Logarithmus

Das 3. Logarithmusgesetz ist besonders nützlich, um Exponentialgleichungen zu lösen. Das sind Gleichungen, bei denen die Variable $x$ im Exponenten steht. Sehen wir uns ein Beispiel an:

$3^x = 32$

Wie lässt sich diese Exponentialgleichung nach $x$ auflösen?
Wir wenden einen Trick an: Wir logarithmieren beide Seiten der Gleichung.

$\log \left(3^x \right) = \log(32)$

Solange wir auf beiden Seiten die gleiche Rechenoperation durchführen, ist es gar nicht so wichtig, welchen Logarithmus wir wählen. In unserem Beispiel haben wir links und rechts den Zehnerlogarithmus gewählt, also den Logarithmus zur Basis $10$.
Nun können wir das 3. Logarithmengesetz anwenden: Wir ziehen den Exponenten im (linken) Logarithmus als Faktor nach vorne.

$x \cdot \log(3) = \log(32)$

Jetzt können wir beide Seiten durch $\log(3)$ teilen und die Rechnung in den Taschenrechner eingeben. Damit erhalten wir folgendes Ergebnis:

$x \cdot \dfrac{\cancel{\log(3)}}{\cancel{\log(3)}} = \dfrac{\log(32)}{\log(3)}$

$x = \dfrac{\log(32)}{\log(3)} = \dfrac{1{,}51}{0{,}48} \approx 3{,}15$

Die Lösung der Exponentialgleichung lautet also $x \approx 3{,}15$.
Hätten wir stattdessen mit dem Logarithmus naturalis gerechnet und entsprechend $\frac{\ln(32)}{\ln(3)}$ gebildet, wären wir auf das gleiche Ergebnis gekommen. Rechne das gerne mal nach!

Logarithmus auflösen mithilfe einer Exponentialfunktion

Wie kann eine Gleichung aufgelöst werden, bei der die Variable $x$ in einem Logarithmus steht? Das klappt mithilfe einer passenden Exponentialfunktion. Sehen wir uns auch hier ein Beispiel an:

$\log(x) = -2$

Wir wollen den Zusammenhang nutzen, dass das Logarithmieren die Umkehrung des Potenzierens ist. Demnach müssen wir beide Seiten der Gleichung zu einer Potenz umformen. Da wir hier eine Funktion des Zehnerlogarithmus $\log(x)$ gegeben haben, schreiben wir beide Seiten der Gleichung als Potenz mit der Basis $10$:

$10^{\log(x)} = 10^{-2}$

Da die Exponentialfunktion $10^x$ und die Logarithmusfunktion $\log(x)$ Umkehrfunktionen zueinander sind, gilt $10^{\log(x)} = x$ und damit:

$10^{\log(x)} = x = 10^{-2}$

Die gesuchte Lösung lautet also $x = 10^{-2} = 0{,}01$.

In ganz ähnlicher Weise können wir auch Logarithmen zu anderen Basen auflösen, zum Beispiel den Logarithmus naturalis, wie in folgender Gleichung:

$3 \cdot \ln(x) = 4$

Hierfür nutzen wir die Umkehrfunktion von $\ln(x)$, also die natürliche Exponentialfunktion $e^x$, und wenden diese auf beide Seiten der Gleichung an:

$e^{3 \cdot \ln(x)} = e^4$

$\left( e^{\ln(x)} \right)^3 = e^4$

Mit $e^{\ln(x)} = x$ folgt dann:

$(x)^3 = e^4$

$x = \sqrt[3]{e^4} \approx 3{,}79$

Die gesuchte Lösung lautet also $x \approx 3{,}79$.

Logarithmus ableiten

Die Ableitung der natürlich Logarithmusfunktion $\ln(x)$ lautet $\dfrac{1}{x}$. Das heißt, es gilt:

$f(x) = \ln(x) \quad \Longleftrightarrow \quad f^{\prime} = \dfrac{1}{x} \quad$ für $\quad x \neq 0$

Ableitungen anderer Logarithmusfunktionen können mithilfe der Rechenregeln der Logarithmusgesetze bestimmt werden. Dabei ist es manchmal notwendig, einen Basiswechsel durchzuführen. Wie das geht, sehen wir uns weiter unten an.

Logarithmus – Beispiele

Sehen wir uns nun ein paar Beispiele für das Rechnen mit dem Logarithmus an. Zuerst noch einmal zu Schreibweise:

Wenn du dich beispielsweise fragst, mit welchem Exponenten du die Zahl $7$ potenzieren musst, damit das Ergebnis $49$ ist, so kannst du die Frage in Symbolen so aufschreiben:

$\log_{7}(49) =\,?$

In diesem Beispiel steht die $7$ als tiefgestellter Index an dem Logarithmussymbol, denn die Basis der Potenzrechnung ist hier $7$. Gesucht ist der Exponent. Das Ergebnis des Potenzierens ist vorgegeben: $49$

Wenn du dich aus dem Einmaleins erinnerst, dass $7 \cdot 7 = 7^{2} = 49$ ist, dann kannst du die Antwort auf die Frage so aufschreiben:

$\log_7(49) = 2 \quad$, denn $\quad 7^2 = 49$

Der Logarithmus ist also die Antwort auf die Frage nach dem passenden Exponenten. In unserem Beispiel ist das die Zahl $2$. Die Basis $7$ und das Ergebnis des Potenzierens $\left(49 \right)$ waren vorgegeben.

Nun zu einem typischen Alltagsbeispiel für die Anwendung des Logarithmus:

Paul legt $1\,000\,€$ zu einem jährlichen Zinssatz von $3{,}5\,\%$ an. Mit der Zinsrechnung können wir Pauls Kapital $K_n$ nach $n$ Jahren berechnen:

$K_n=1\,000 \cdot \left( 1+\frac{3{,}5}{100} \right)^n = 1\,000 \cdot 1{,}035^n$

Paul möchte nun wissen, wie lange er sein Kapital anlegen muss, damit er genau $1\,675\,€$ hat. Dafür muss er muss die folgende Gleichung lösen:

$1\,675 = 1\,000 \cdot 1{,}035^n$

Die unbekannte Größe $n$ steht im Exponenten, es handelt sich also um eine Exponentialgleichung. Das heißt, wir benötigen zum Lösen der Gleichung den Logarithmus.

Zunächst vereinfachen wir die Gleichung, indem wir beide Seiten durch $1000$ dividieren:

$1\,675 = 1\,000 \cdot 1{,}035^n \quad \big\vert ~: 1\,000$

$1{,}675=1{,}035^n$

Nun wenden wir auf beiden Seiten der Gleichung den Zehnerlogarithmus $\left( \log \right)$ an. Die Lösung der Gleichung ändert sich dadurch nicht – genau wie bei anderen Äquivalenzumformungen:

$\log(1{,}675) = \log(1{,}035^n)$

Jetzt können wir das 3. Logarithmengesetz anwenden und den Exponenten $n$ als Faktor nach vorne ziehen:

$\log(1{,}675) = n \cdot \log(1{,}035)$

Wenn wir nun beide Seiten der Gleichung durch $\log(1{,}035)$ teilen, können wir eine Lösung für $n$ berechnen:

$\log(1{,}675) = n \cdot \log(1{,}035) \quad \big\vert ~: \log(1{,}035)$

$\dfrac{\log(1{,}675)}{\log(1{,}035)} = \dfrac{\cancel{\log(1{,}035)}}{\cancel{\log(1{,}035)}} \cdot n$

$n = \dfrac{\log(1{,}675)}{\log(1{,}035)} \approx 15$

Das bedeutet, dass Pauls Geldbestand nach ungefähr $15$ Jahren auf $1\,675\,€$ angewachsen sein wird, wenn er mit $1\,000\,€$ startet.

Logarithmus – Basiswechsel

Manchmal ist es notwendig oder zumindest hilfreich, einen Logarithmus zu einer bestimmten Basis in einen Logarithmus zu einer anderen Bases umzurechnen – meist deshalb, weil die Logarithmusgesetze nur für Logarithmen mit gleicher Basis anwendbar sind.

Betrachtest du einen Logarithmus zu einer bestimmten Basis, so kannst du diesen Logarithmus zu einer anderen Basis umformen. Der Logarithmus zu einer allgemeinen Basis $a_1$ lässt sich mit folgender Formel zu einem Logarithmus zur Basis $a_2$ umformen:

$\log_{a_1}(b) = \dfrac{\log_{a_2}(b)}{\log_{a_2}(a_1)}$

Dieses Vorgehen nennt man Basiswechsel oder auch Basistransformation.

Sehen wir uns dazu ein Beispiel an:
Angenommen, wir möchten den $\log_{9}(27)$, also einen Logarithmus zur Basis $a_1 = 9$, in einen entsprechenden Logarithmus zur Basis $a_2 = 3$ umformen.
Wir setzen also in die Formel ein:

$\log_{9}(27) = \dfrac{\log_{3}(27)}{\log_{3}(9)}$

Hier können wir leicht erkennen, dass der Logarithmus $\log_{3}(9) = 2$ ist, denn es gilt $3^2 = 9$.
Wir können also vereinfachen:

$\log_{9}(27) = \frac{1}{2} \cdot \log_{3}(27)$

Wenn wir jetzt noch erkennen, dass $3^3 = 27$ ist und folglich $\log_{3}(27) = 3$ sein muss, können wir auch den Wert des ursprünglichen Logarithmus berechnen:

$\log_{9}(27) = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$

Zur Probe setzen wir dieses Ergebnis als Exponenten der Basis $9$ ein:

$9^\frac{3}{2} = 27$

Das Ergebnis passt zur Formulierung des Logarithmus. Folglich stellt der Term $\frac{1}{2} \cdot \log_{3}(27)$ einen korrekten Basiswechsel des Logarithmus $\log_{9}(27)$ dar.

Logarithmus – Aufgaben

Hier kannst du den Umgang mit dem Logarithmus noch anhand einiger Beispielaufgaben üben. Versuche es erst selbst und sieh dir dann die Lösungen an!

Häufig gestellte Fragen zum Thema Logarithmus