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Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (8)

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Martin Wabnik
Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (8)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (8)

Bei linearen Gleichungen kann auch auf beiden Gleichungsseiten die Variable x vorkommen. In den vorangegangenen Beispielen hast du gelernt, wie du hierbei mit Äquivalenzumformungen und Termumformungen vorgehst. In dem Video bekommst du zwei Lösungswege gezeigt, mit denen du eine solche lineare Gleichung lösen kannst. Hierzu wird dir Schritt für Schritt der Lösungsweg vorgerechnet, um abschließend die Lösungsmenge der Gleichung angeben zu können. Am Ende kannst du wieder überprüfen, ob du mit diesem Aufgabentyp linearer Gleichungen zurechtkommst, indem du die Testfrage zum Video rechnest.

Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (8)

Hallo! Hier ist eine lineare Gleichung, x=3x-8. Was kann man da machen? Wenn wir die jetzt umformen wollen, also das wir die Lösungsmenge direkt ablesen können, dann können wir halt eine von diesen 4 Äquivalenzumformungen machen oder wir können auch eine Termumformung machen. Das ist ja dann auch eine Äquivalenzumformung. An diesem Beispiel ist neu, das auf dieser und auf dieser Seite, etwas mit x steht. Normalerweise geht man dann so vor, dass man erst mal alles, was das x enthält, auf die eine Seite bringt und alles, was das x nicht enthält, auf die andere Seite bringt. Genauer gesagt alle Summanden die das x enthalten auf die eine Seite, alle Summanden die das x nicht enthalten auf die andere. Hier möchte ich einfach mal 2 Möglichkeiten zeigen, wie man vorgehen kann. Man könnte jetzt auf beiden Seiten subtrahieren. Zum Beispiel könnte man auf beiden Seiten 3x subtrahieren. Dann steht auf dieser Seite hier x-3x und auf der anderen Seite steht -3x+3x. Das ist zusammen 0. Das schreibe ich gar nicht mehr hin, also bleibt noch -8 übrig. Das hier muss man noch ausrechnen und das ist -2x. -2x=8 und jetzt können wir noch durch -2 teilen, denn wir wollen ja nicht wissen, was man für -2x einsetzen muss, damit -8 rauskommt. Sondern wir wollen wissen, was man für x einsetzen muss und das macht man so ÷-2 und wenn man die linke Seite hier ÷2  teilt, bleibt dann nur noch das x übrig. Dann kann man mit -2 kürzen und auf der anderen Seite -muss ich glaube ich auch nicht aufschreiben- steht dann zunächst mal -8÷-2. -÷-=+, 8÷2=4 und damit wissen wir was wir einsetzen müssen, damit die Gleichung richtig ist. Hier müssen wir 4 einsetzen, da wir Äquivalenzumformungen gemacht haben, gilt das hier auch, da auch und da auch. Deshalb haben wir diese Gleichung gelöst. Das bedeutet die Lösungsmenge für die oberste Gleichung und auch für alle Gleichungen, die hier stehen, ist L={4}. Man muss für x 4 einsetzen, damit die Gleichung richtig ist. Wir können auch noch auf eine andere Art und Weise vorgehen. Nämlich wir können die Gleichung hinschreiben eben, x=3x-8. Man kann auch erst -x rechnen. Wir wollen ja alles, was x ist, auf die eine Seite und alle Summanden die kein x haben auf die andere Seite bringen. Dann kann man hier rechnen -x und ich zeige das deshalb, weil hier oft ein Fehler passiert. Man sagt ja, dann ist das x ja weg, dann brauche ich ja nichts mehr hinschreiben. Aber nichts hinschreiben geht nicht, dann wäre es ja keine Gleichung mehr. Da muss schon was stehen! x-x ist immer =0 egal, welche Zahlen wir dafür einsetzen für das x und deshalb kann man hier 0 hinschreiben. Muss man auch, sonst wäre es ja nicht richtig und hier muss man das x von den 3x abziehen. Das heißt also -also nicht von der 8 auch noch- nur von den 3x muss man das x abziehen. Das heißt, wir haben dann noch 2x da stehen und -8 natürlich auch. Dann können wir +8 rechnen auf beiden Seiten, denn hier steht ja ein Term mit x ein Summand und hier ein Summand ohne x, also wir wollen die Summanden mit x auf der einen Seite und die Summanden ohne x auf der anderen haben. Das heißt, wir rechnen +8, also steht dann hier 0+8=8 und hier ist -8 nicht mehr da. Die -8+8=0, also schreibe ich einfach 2x dahin. Jetzt kann ich noch teilen, und zwar ÷2 in dem Fall. Dann steht hier 4, weil 8÷4=2 ist, 2x÷2=x, also haben wir die Situation, dass die Lösungsmenge L mit dem Doppelstrich ={4} ist, also die Menge die die Zahl 4 enthält, um es ganz genau zu sagen. Na dann, hier ist die Rechnung in ganz und das war es. Tschüs!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Gut erklärt, wirklich! Danke !!!

    Von Hendi1996, vor mehr als 7 Jahren
  2. Vielen dank ist echt sehr gut erklärt und jetzt kann ich auch meine hausi machen danke

    Von Aldea, vor etwa 8 Jahren

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (8) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (8) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Erklärungen zu Äquivalenzumformungen.

    Tipps

    Termumformung sind zum Beispiel

    • Kürzen von Brüchen,
    • Ausrechnen von Produkten, Summen, Differenzen oder Quotienten
    • Zusammenfassen von Variablen.

    Es gilt $34\neq 12$. Wenn du diese Gleichung auf beiden Seiten mit $0$ multiplizierst, erhältst du eine gültige Gleichung $0=0$.

    Durch Äquivalenzumformungen kann jedoch aus einer ungültigen Gleichung keine gültige hergeleitet werden.

    Prüfe, ob die folgende Umformung richtig ist:

    $\begin{align*} 4+2&=5+1&|&-2\\ 4&=5+1. \end{align*}$

    Lösung

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    Es ist folgendes zu beachten:
    • Die ersten drei Äquivalenzumformungen müssen auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.
    • Es darf nicht mit $0$ multipliziert und nicht durch $0$ dividiert werden.
    • Termumformungen können auf einer oder beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

  • Beschreibe, wie du zu der Lösung der Gleichung kommst.

    Tipps

    Termumformungen können auf beiden Seiten oder auch nur auf einer Seite der Gleichung durchgeführt werden.

    Beachte:

    • Wenn du eine Zahl oder Variable addierst oder subtrahierst,
    • mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ multiplizierst oder
    • durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ dividierst,
    so musst du dies auf beiden Seiten der Gleichung tun.

    Lösung

    Zum Lösen von Gleichungen werden Äquivalenzumformungen durchgeführt.

    Dies ist in dem Bild zu erkennen:

    • Die Subtraktion von $3x$ auf beiden Seiten der Gleichung und
    • Termumformung auf der linken Seite der Gleichung führen zu $-2x=-8$.
    • Nun wird auf beiden Seiten der Gleichung durch $-2$ geteilt.
    • Man erhält die Lösung $x=4$.
    • Probe: $4=3\cdot 4-8~\surd$.
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{4\}$.

  • Entscheide, ob eine Äquivalenzumformung vorliegt.

    Tipps

    Es darf auf beiden Seiten einer Gleichung eine Zahl oder Variable addiert oder subtrahiert werden.

    Das gilt auch für die Multiplikation und Division.

    Die Multiplikation mit $0$ oder Division durch $0$ ist nicht erlaubt.

    Auch wenn die Lösung richtig ist, heißt dies nicht, dass die Gleichung richtig umgeformt worden ist.

    Lösung

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    $\begin{align*} 3\cdot x&=6&|&:3\\ x&=2 \end{align*}$

    Dies ist eine Äquivalenzumformung. Es wird auf beiden Seiten durch $3$ dividiert und die Umformungen sind richtig.

    $\begin{align*} 3\cdot x&=6&|&:3\\ x&=\frac62=2 \end{align*}$

    Dies ist keine Äquivalenzumformung. Zwar wurde auf beiden Seiten durch $3$ dividiert, jedoch wurde der Term $\frac62$ falsch zu $2$ umgeformt.

    $\begin{align*} 3\cdot x&=6&|&\cdot 0\\ 0&=0 \end{align*}$

    Dies ist keine Äquivalenzumformung, da die Multiplikation mit $0$ ausgeschlossen ist, ebenso wie die Division durch $0$.

    $\begin{align*} \frac x 3&=6&|&\cdot x\\ x&=18 \end{align*}$

    Dies ist keine Äquivalenzumformung. Zwar kommt das richtige Ergebnis raus, jedoch hätte entweder mit $3$ multipliziert werden, oder die zweite Zeile $\frac {x^2}3=18x$ lauten müssen.

    $\begin{align*} \frac x 3&=6&|&\cdot 3\\ x&=18 \end{align*}$

    Dies ist eine Äquivalenzumformung.

  • Berechne die Lösung der Gleichung $3x+3=x-1$.

    Tipps

    Führe Äquivalenzumformungen durch:

    • Addition oder Subtraktion einer Zahl oder Variablen,
    • Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ oder
    • Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$
    jeweils auf beiden Seiten der Gleichung.

    Führe mit der gefundenen Lösung eine Probe durch.

    Vergiss nicht, die Lösungsmenge anzugeben.

    Lösung

    Die komplette Rechnung kann man hier in dem Bild sehen:

    • Es werden alle Terme mit $x$ auf die eine und die ohne $x$ auf die andere Seite gebracht.
    • Durch Subtraktion von $x$ und dann Subtraktion von $3$ kommt man zu der Gleichung $2x=-4$.
    • Nun wird durch $2$ dividiert, um zu der Lösung
    • $x=-2$ zu kommen.
    • Es ist ratsam, eine Probe durchzuführen: $3\cdot (-2)+3=-2-1~\Leftrightarrow~-6+3=-3~\surd$.
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-2\}$.
    Dein Lösungsweg kann ganz anders aussehen. Das ist nicht schlimm. Es gibt mehr als einen Lösungsweg.

  • Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.

    Tipps

    Wenn du eine Gleichung gelöst hast, kannst du eine Probe durchführen: Setze deine Lösung in die Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

    Achte auf die Schreibweise.

    Die Lösungsmenge ist eine Menge. Mengen enthalten immer einen doppelten Strich an dem Buchstaben.

    Lösung

    Der Weg zur Lösung durch Äquivalenzumformungen ist in dem Bild zu sehen.

    Es ist sinnvoll, eine Probe mit der gefundenen Lösung durchzuführen:

    $4=3\cdot 4-8~\surd$.

    Die Lösungsmenge wird dann wie folgt angegeben:

    $\mathbb{L}=\{4\}$.

  • Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.

    Tipps

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Bringe die Variablen alle auf eine Seite und die Bekannten auf die andere.

    Addition der Variablen $x$ führt zu der Gleichung $-3x+5=-4$.

    Setze deine Lösung zur Probe in der Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

    Lösung

    Die Gleichung wird durch Äquivalenzumformungen gelöst. Die einzelnen Schritte sind hier im Bild zu erkennen:

    • Die Subtraktion der Variablen $x$ führt zu der Gleichung $-3x+5=-4$.
    • Durch Subtraktion von $5$ kommt man zu $-3x=-9$.
    • Nun wird durch $-3$ geteilt, was zu der gesuchten Lösung
    • $x=3$ führt.
    • Probe: $-2\cdot 3+5=3-4~\Leftrightarrow ~-6+5=-1~\surd$.
    • Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\{3\}$.
    Du kannst die Gleichung auch anders lösen, in dem du zu Beginn $2x$ addierst. Es gibt viele richtige Lösungswege, aber nur eine richtige Lösung.

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