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Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (11)

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Martin Wabnik
Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (11)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (11)

In dieser Beispielaufgabe für lineare Gleichungen kommt auf jeder Gleichungsseite eine Klammer vor. Das macht diese Beispielaufgabe deshalb aber nicht wesentlich komplizierter als die vorangegangenen Beispiele. Zur Lösung benötigst du lediglich Kenntnisse über das Distributivgesetz, dass heißt Kenntnisse darüber, wie Klammern aufgelöst werden. Solltest du damit Schwierigkeiten haben, dann schaue dir am besten ein entsprechendes Video zur Wiederholung an. Eine weitere Tücke enthält das Video aber noch. Du wirst feststellen, dass du beim Auflösen der Klammern ein x² erhältst. Da das aber auf beiden Seiten vorkommt, kannst du x² auf beiden Seiten subtrahieren und die Gleichung ist wieder eine lineare Gleichung.

Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (11)

Hallo! Hier habe ich mal eine ganz kleine Gleichung aufgeschrieben: x×(x-3)=-(2-x)×x.
Die ist zwar ganz kurz, aber sie ist quasi der Wolf im Schafspelz. Obwohl: Ganz so schlimm ist es auch nicht. Also einfach mal rechnen. Wir müssen uns zunächst um die Klammern hier kümmern. Wir haben x×x zu rechnen nach dem Distributivgesetz; das ist x2. Ich weiß nicht, ob Du das schon gehabt hast: x2, x×x ist x2, oder x hoch 2 kann man sagen. Wenn Du das nicht gehabt hast, brauchst Du nicht weiter gucken, dann ist es egal, aber wenn Du es wissen willst: Ich zeige es Dir. x×x=x2, x×-3=-3x. Und hier haben wir einmal das Minuszeichen hier zu beachten und da das x. Das heißt, wir müssen also letzten Endes mit –x multiplizieren. Das heißt also -x×2=-2x, und wir haben -×-x×x. x×x=x2, minus mal minus ist plus, also haben wir hier +x2. So, und jetzt sagst Du wahrscheinlich mit Recht: Moment, das ist ja gar keine lineare Gleichung. Das ist ja eine quadratische Gleichung, weil hier ein x2 vorkommt und da ein x2. Das ist rein formal richtig, aber das ist eine Gleichung, die auf eine lineare Gleichung führt. Wir können nämlich einfach –x2 auf beiden Seiten rechnen, und dann ist das x2 wieder weg. Also –x2: Wenn ich hier –x2 rechne, dann bleibt da nur noch -3x übrig, und da verschwindet das dann auch, wenn wir –x2 rechnen. So, schöne 2, naja, wird nicht schöner. Und dann bleibt da -2x übrig. Und da passieren auch schon mal im Eifer des Gefechts Fehler, weil manche sich denken: Ach so, ja, das ist ja das, was ich schon mal hatte, irgendwie: -3 gleich -2 ist ja falsch, nicht? Aber das hier ist nicht immer falsch, -3x ist nicht immer ungleich -2x, nämlich dann, wenn man für x 0 einsetzt, ist es richtig. Da muss man unterscheiden. Wenn man da stehen hat, zum Beispiel, -3=-2, ist das immer falsch. Das heißt, egal was man vorher für x einsetzt: Diese Gleichung kann nie richtig werden. Wenn man hier aber -3x=-2x stehen hat, zum Beispiel, oder 5x=128000x, dann gibt es eine Lösung. Man kann nämlich für x 0 einsetzen, alles ×0=0, und dann steht da 0=0, und deshalb ist hier die Lösungsmenge die Menge, die die Zahl 0 enthält. Also 0 ist hier ... ja ich habe es schon gesagt, klarer geht es nicht. Das ist schon die ganze Gleichungsumformung gewesen. Viel Spaß, tschüss!

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Joa ders würd i au sache

    Von Amin H., vor etwa 3 Jahren
  2. Wenn am Ende 0=0 rauskommt, ist die Lösungsmenge dann nicht eigentlich Q anstatt 0 ??

    Von Michelle R., vor etwa 8 Jahren

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (11) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (11) kannst du es wiederholen und üben.
  • Ergänze die Äquivalenzumformungen für die Gleichung $x\cdot (x-3)=-(2-x)\cdot x$.

    Tipps

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. Die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    Es ist Folgendes zu beachten:
    • Die ersten drei Äquivalenzumformungen müssen auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.
    • Es darf nicht mit $0$ multipliziert und nicht durch $0$ dividiert werden.
    • Termumformungen können auf einer oder beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

    Die Anwendung des Distributivgesetzes

    $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

    ist eine Termumformung.

    Lösung

    Wenn man Gleichungen lösen will, muss man Äquivalenzumformungen durchführen:

    1. Die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    So ist zum Beispiel das Anwenden des Distributivgesetzes in der Gleichung $x\cdot (x-3)=-(2-x)\cdot x$ eine Termumformung:
    • $x(x-3)=x^2-3x$ und
    • $-(2-x)x=-2x+x^2$.
    Ebenso ist die Subtraktion eines Termes auf beiden Seiten der Gleichung eine Termumformung:

    $\begin{align*} x^2-3x&=-2x+x^2&|&-x^2\\ -3x&=-2x. \end{align*}$

  • Bestimme die Lösung der angegebenen Gleichung.

    Tipps

    Überlege dir noch einmal, welche Äquivalenzumformungen du kennst.

    Beachte:

    • Wenn du eine Zahl oder Variable addierst oder subtrahierst,
    • mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ multiplizierst oder
    • durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ dividierst,
    so musst du dies auf beiden Seiten der Gleichung tun.

    Lösung

    Hier sind die Umformungen der Gleichung zu sehen. Obwohl diese Gleichung so aussieht, als ob sie nicht linear wäre, kann sie so umgeformt werden, dass man zu einer linearen Gleichung kommt:

    • Auf beiden Seiten wird das Distributivgesetz angewendet. Dies ist eine Termumformung.
    • Durch die Subtraktion von $x^2$ auf beiden Seiten der Gleichung kommt man zu $-3x=-2x$, was eine lineare Gleichung darstellt.
    • Hier könnte man bereits die Lösung $x=0$ erkennen.
    • Durch Addition von $2x$ und anschließendes Dividieren durch $-1$ erhält man diese Lösung rechnerisch.

  • Ordne der Gleichung die Lösungsmenge zu.

    Tipps

    Führe Äquivalenzumformungen durch:

    1. Die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.

    Du kannst eine Probe durchführen, ob die gefundene Lösung richtig ist. Setze diese Lösung in der Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

    Wenn Äquivalenzumformungen zu einer falschen Aussage führen, so ist die Gleichung nicht lösbar. Es gilt also $\mathbb{L}=\{~\}$, die Lösungsmenge ist die leere Menge.

    Subtrahiere in jeder Gleichung auf beiden Seiten $x^2$.

    Lösung

    Äquivalenzumformungen sind:

    1. Die Addition oder Subtraktion von Zahlen oder Variablen auf beiden Seiten der Gleichung,
    2. die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung,
    3. die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
    4. Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    Bei allen Gleichungen kann der Term $x^2$ subtrahiert werden:
    • $x^2+3x=3+x^2$ führt zu $3=3x$. Nun kann durch $3$ dividiert werden. Somit ist $x=1$ und $\mathbb{L}=\{1\}$.
    • $x^2+3=x^2+2$ führt zu $3=2$. Dies ist eine falsche Aussage; also ist $\mathbb{L}=\{~\}$.
    • $x^2+3x=x^2+2x$ führt zu $3x=2x$. Nun kann auf beiden Seiten $2x$ subtrahiert werden und man erhält $x=0$. Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{0\}$.
    • $x^2-x=-2+x^2$ führt zu $-x=-2$. Die Division durch $-1$ liefert die Lösung $x=2$. Also ist $\mathbb{L}=\{2\}$.

  • Bestimme die Lösung der Gleichung.

    Tipps

    Die Anwendung des Distributivgesetzes

    $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

    ist eine Termumformung.

    Beachte, dass

    • die Addition oder Subtraktion einer Zahl oder Variablen,
    • die Multiplikation mit einer Zahl oder Variablen ungleich $0$ und
    • die Division durch eine Zahl oder Variable ungleich $0$
    auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden muss.

    Als Probe kannst du die gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen. Diese muss erfüllt sein.

    Lösung

    Die einzelnen Äquivalenzumformungen zur Bestimmung der Lösung dieser Gleichung sind hier zu sehen:

    • Durch das Distributivgesetz können die Terme auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens umgeformt werden.
    • Auf beiden Seiten der Gleichung steht der Term $2x^2$. Dieser wird subtrahiert. Somit erhält man die Gleichung $4x=-4x+8$, was eine lineare Gleichung darstellt.
    • Durch Addition von $4x$ kommt man zu $8x=8$.
    • Die Division durch $8$ führt zu der Lösung $x=1$.
    • Wir führen eine Probe durch: $2\cdot 1\cdot(1+2)=-(4-2\cdot 1)\cdot 1+8~\Leftrightarrow~2\cdot 3=-2+8~\surd$.
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{1\}$.

  • Gib die Lösungsmenge der Gleichung an.

    Tipps

    Achte auf die Schreibweise. Die Lösungsmenge ist eine Menge.

    Die Lösungsmenge ist eine Menge, in welcher sich die Lösungen befinden.

    Lösung

    Die komplette Rechnung zur Bestimmung der Lösung der Gleichung ist hier zu sehen.

    Am Ende der Rechnung kann man eine Probe durchführen: $0\cdot(0-3)=-(2-0)\cdot0~\surd$.

    Die Lösungsmenge ist dann $\mathbb{L}=\{0\}$.

  • Ermittle die Lösungsmenge der angegebenen Gleichung.

    Tipps

    Multipliziere zunächst die Klammern mit dem Distributivgesetz aus.

    Auf beiden Seiten steht der Term $-2x^2$.

    Addiere auf beiden Seiten $2x^2$, sodass du eine lineare Gleichung bekommst.

    Führe eine Probe mit deiner Lösung durch: Setze diese in der Ausgangsgleichung ein. Diese muss erfüllt sein.

    Lösung

    Wir wollen die Gleichung $(x+2)(-2x)=-2(x+4)x+16$ lösen:

    $\begin{align*} (x+2)(-2x)&=-2(x+4)x+16&|&\text{ T}\\ -2x^2-4x&=-2x^2-8x+16&|&+2x^2\\ -4x&=-8x+16&|&+8x\\ 4x&=16&|&:4\\ x&=4 \end{align*}$

    • Zunächst werden auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens die Klammern ausmultipliziert, was zu $-2x^2-4x=-2x^2-8x+16$ führt. Dies ist eine Termumformung.
    • Auf beiden Seiten wird $2x^2$ addiert: $-4x=-8x+16$.
    • Die Addition von $8x$ führt zu $4x=16$.
    • Nun wird durch $4$ dividiert. Die Lösung der Gleichung ist $x=4$.
    • Wir führen eine Probe durch:
    \begin{align} (4+2)(-2\cdot 4)&=-2(4+4)\cdot 4+16 \\ \Leftrightarrow~6\cdot(-8)&=-2\cdot 8\cdot 4+16 \\ \Leftrightarrow~-48&=-64+16~\surd \end{align}
    • Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{4\}$.
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