30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (1)

Du möchtest schneller & einfacher lernen?

Dann nutze doch Erklärvideos & übe mit Lernspielen für die Schule.

Kostenlos testen
Bewertung

Ø 3.9 / 31 Bewertungen

Die Autor*innen
Avatar
Martin Wabnik
Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (1)
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (1)

Lineare Gleichungen sind die einfachsten Gleichungen in der Mathematik. Sie enthalten eine Variable ( Unbekannte ), deren Wert du ermitteln sollst. Damit du bald auch selbst eine solche Gleichung lösen kannst, wird dir dieses Video eine kleine Einführung in das neue Thema geben. Du wirst lernen, welche Regeln du einzuhalten hast und wie man Schritt für Schritt mittels Termumformungen die Gleichung löst. Dabei erhältst du auch eine Einsicht darin, wie du deinen Lösungsweg übersichtlich notierst. Wenn du am Ende des Videos alles verstanden hast, dann geh doch weiter zum nächsten Beispiel im Video „Lineare Gleichungen - Beispiel 2“.

Transkript Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (1)

Hallo, wir machen lineare Gleichungen. Also die linearen Gleichungen sind die einfachsten Gleichungen, die es gibt. Und man kann eine lineare Gleichung umformen, und zwar so, dass die Lösungsmenge erhalten bleibt. Die Lösungsmenge besteht aus den Zahlen, die man für das x oder die Variable, um die es geht, einsetzen kann, sodass die Gleichung richtig wird. Man kann auf beiden Seiten einer Gleichung etwas addieren, man kann auf beiden Seiten etwas subtrahieren, beide Seiten einer Gleichung mit einer Zahl ?0 multiplizieren oder beide Seiten durch eine Zahl ?0 teilen. Immer, wenn man so etwas macht, bleibt die Lösungsmenge der Gleichung erhalten. Und man kann auch, auf einer Seite alleine, eine Termumformung machen. Eine Termumformung bedeutet ja, dass man einen Term so umformt, dass man einen ergebnisgleichen Term erhält. Und diese Methoden, diese Möglichkeiten möchte ich an der Gleichung mal zeigen. Natürlich nicht alle auf einmal, sondern nur das, was man hier braucht. Wir haben also die Gleichung x-7=5. Und möchten diese so vereinfachen, dass wir direkt einsehen können oder direkt sehen können, was wir für x einsetzen müssen, damit die Gleichung richtig ist. Wir können zum Beispiel auf beiden Seiten 7 addieren. Dann wird die Gleichung zunächst ein bisschen kompliziert, aber wenn man dann was rechnet, wird sie wieder einfacher. Und dass wir auf beiden Seiten was addieren, das schreibt man so. Man schreibt hier einen Strich hin, der das Ganze hier abteilt ein bisschen, und dann kommt dahinter das, was wir jetzt vorhaben. Dann steh jetzt hier x-7+7 und auf der anderen Seite müssen wir auch 7 addieren, das darf man nie vergessen, also steht da 5+7. Und nun können wir eine Rechnung ausführen. Und dann schreib ich hier hin, also eine Rechnung ausführen, ist eine Termumformung. Deshalb schreib ich hier T hin, Groß T. Nämlich können wir jetzt rechnen -7+7, ist ja zusammen 0. Und +0 müssen wir nicht hinschreiben, weil ja +0 am Ergebnis nichts ändert. Also können wir einfach schreiben x=, und hier können wir auch was ausrechnen, also auch eine Termumformung machen. Also wenn hier jetzt steht, dass man das auf einer Seite machen kann, dann heißt das nicht, dass man das nur auf einer Seite machen darf. Man kann das auch auf beiden Seiten machen, wenn es sich so ergibt. Hier ergibt es sich so, also 5+7, können wir ausrechnen, das ist 12. Das bedeutet also, wir haben die Gleichung jetzt so weit vereinfacht, dass wir direkt ablesen können, was man für x einsetzen muss, damit die Gleichung richtig ist, nämlich 12. Und das schreibt man jetzt auf. Und zwar so, das ist ein L mit einem Doppelstrich und hier kommt eine schöne Mengenklammer. Da steht die 12 drin und dann geht die Mengenklammer wieder zu, das sieht so aus. Das heißt jetzt, die Lösungsmenge ist die Menge aller Zahlen, die man für x einsetzen kann, damit die Gleichung richtig ist. Und diese Menge besteht aus der Zahl 12. Diese Menge enthält nur die Zahl 12, weil man nur die Zahl 12 für x einsetzen kann, sodass die Gleichung richtig wird. Man kann natürlich auch was anderes einsetzen für x, zum Beispiel 13. Aber dann ist die Gleichung falsch und das wollten wir jetzt nicht unbedingt herausfinden. Das war ein kleines Beispiel dazu, viel Spaß damit, tschüss.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. Was ein Held ✊🏿💪

    Von Stefanie Zedlitz, vor fast 4 Jahren
  2. Vielen Vielen Dank

    Von Lukas G., vor etwa 5 Jahren
  3. Supi!Hat sehr geholfen

    Von Gunii, vor mehr als 6 Jahren
  4. Danke! Ich werde morgen eine Kurzarbeit schreiben, und das hat mir sehr geholfen!

    Von Deleted User 262555, vor etwa 7 Jahren
  5. nice

    Von Deleted User 238611, vor mehr als 7 Jahren
Mehr Kommentare

Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen lösen – Beispiel (1) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die linearen Gleichungen an.

    Tipps

    Sei $a\cdot x^c=b$ eine lineare Gleichung, so muss $c=1$ sein.

    Alle Gleichungen, die entstehen, indem in $a \cdot x = b$ die Variablen $a$ und $b$ durch Zahlen ersetzt werden, sind lineare Gleichungen.

    Zu den rationalen Zahlen gehören alle natürlichen Zahlen ($0$, $1$, $2$, $3$, ...), alle ganzen Zahlen ($0$, $1$, $-1$, $2$, $-2$, $3$, $-3$, ...) und alle positiven und negativen Brüche.

    Lösung

    Die Gleichung $-3x +1 = 6x$ kann durch das Addieren von $3x$ auf beiden Seiten in die Form $a \cdot x = b$ gebracht werden.

    Anmerkung: Genau genommen entsteht mit der Addition von $3x$ auf beiden Seiten die Gleichung $1=9x$ und nicht die Gleichung $9x=1$. Das nimmt man in diesem Fall aber nicht so genau. Auch dass da $9x$ statt $9 \cdot x$ steht, soll die Gleichung $1=9x$ nicht davon abhalten, die Form $a \cdot x = b$ zu haben.

    Die Gleichung $5x= - \frac{6}{7}x$ kann folgendermaßen umgeformt werden:

    $\begin{array}{lllll} & 5x &=& - \frac{6}{7}~x & \vert ~ +\frac{6}{7}x\\ \Leftrightarrow~& 5x +\frac{6}{7}x &=& 0~ & \vert ~ T\\ \Leftrightarrow~& \frac{41}{7} x &=& 0 & \end{array}$

    Weil die umgeformte Gleichung nun die Form $a \cdot x = b$ hat, ist die Gleichung $5x= - \frac{6}{7}x$ eine lineare Gleichung.

    Die Gleichung $ -8x \cdot x = 4$ kann durch keine Äquivalenzumformung in die Form $a \cdot x = b$ gebracht werden.

    Man schreibt $x \cdot x$ meistens als $x^2$ (gesprochen: „x quadrat“) und die Gleichung $ -8x \cdot x = 4$ als $ -8x^2 = 4$. Deshalb heißt $ -8x^2 = 4$ „quadratische Gleichung“.

    Die Gleichung $9=3:x$ nicht in die Form $a \cdot x = b$ umgeformt werden.

    Es kann $3:x$ als Bruch $\frac{3}{x}$ geschrieben werden. Weil nun in $9=\frac{3}{x}$ die Gleichungsvariable $x$ im Nenner steht, ist $9=\frac{3}{x}$ eine Bruchgleichung.

    Zwar könnte die Gleichung $9=3:x$ mit $x$ multipliziert werden, worauf dann die Gleichung $9x=3$ entstünde. Dazu muss aber erst $x=0$ ausgeschlossen werden, weil man durch $0$ nicht teilen kann. Anders gesagt muss vor dem Multiplizieren die Definitionsmenge (das ist die Menge der Zahlen, die für $x$ eingesetzt werden können) eingeschränkt werden. Und weil das ein ganz anderer Vorgang ist als der, der normalerweise auf lineare Gleichungen angewendet wird, möchte man $9=3:x$ nicht bei den linearen Gleichungen dabei haben.

  • Gib die Lösungsmengen der jeweiligen Gleichungen an.

    Tipps

    Ist die Gleichung einfach genug, kann die Lösungsmenge auch ohne Umformungen direkt abgelesen werden.

    Wenn eine Rechnung – wie z. B. die Addition von $0$ – das Ergebnis nicht ändert, kann sie auch weggelassen werden.

    Manchmal kann man mit Variablen genauso rechnen wie z. B. mit Äpfeln: Sechs Äpfel minus zwei Äpfel sind vier Äpfel und $6x-2x=4x$.

    Lösung

    Die Gleichung $x=15$ ist so einfach, dass sie nicht weiter umgeformt zu werden braucht, um die Lösungmenge zu bestimmen. Es ist $\mathbb{L}=\{15\}$.

    In der Gleichung $4=x-0$ kann „$-0$“ weggelassen werden, weil sich durch die Rechnung nichts am Ergebnis ändert. An der Gleichung $4=x$ kann die Lösungsmenge dann direkt abgelesen werden. Es ist $\mathbb{L}=\{4\}$.

    Um die Lösungsmenge der Gleichung $11 + x = 7$ zu bestimmen, können wir eine Äquivalenzumformung durchführen. Also:

    $\begin{array}{lllll} &11+x &=& 7 & \vert~ -11\\ \Leftrightarrow & x &=& -4 & \end{array}$

    Es ist $\mathbb{L}=\{-4\}$.

    Wir können auf der linken Seite der Gleichung $2x-x=20$ eine Termumformung durchführen und dann die Lösungsmenge ablesen. Also:

    $\begin{array}{lllll} &2x-x &=& 20 & \vert ~ T\\ \Leftrightarrow & x &=& 20 & \end{align}$

    Es ist nun $\mathbb{L}=\{20\}$.

  • Erschließe die Rechenschritte zur Ermittlung der Lösungsmenge.

    Tipps

    Das Ziel von Äquivalenzumformungen ist, eine Gleichung zu erhalten, der man direkt ansieht, was man für $x$ einsetzen kann, damit die Gleichung richtig wird.

    Die Menge der Zahlen, die man für $x$ einsetzen kann, damit die Gleichung richtig wird, ist die Lösungmenge. Die Lösungsmenge schreibt man als letztes auf.

    Eine Termumformung $T$ ist auch eine Äquivalenzumformung, weil man durch eine Termumformung eine Gleichung erhält, die die gleiche Lösungsmenge hat.

    Lösung

    $\begin{array}{lllll} & 2x-4 &=& 6 & \vert~:2\\ \Leftrightarrow~& \dfrac{2x}{2}-\dfrac{4}{2} &=& \dfrac{6}{2} & \vert~T\\ \Leftrightarrow~& x-2 &=& 3 & \vert~+2\\ \Leftrightarrow~& x-2+2 &=& 3+2 & \vert~T\\ \Leftrightarrow~& x &=& 5 & \\ & \mathbb{L} &=& \lbrace5\rbrace & \end{array}$

    Mithilfe von Äquivalenzumformungen können wir also die Lösungsmenge einer Gleichung bestimmen. Um zu überprüfen, ob $\mathbb{L}=\lbrace5\rbrace$ die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung $2x-4=6$ ist, können wir $5$ für $x$ einsetzen und erhalten:

    $2\cdot 5-4=6$

    Mit einer Termumformung haben wir nun:

    $6=6$

    Durch das Einsetzen ist die Ausgangsgleichung zu einer richtigen Aussage geworden. Also ist $\mathbb{L}=\lbrace5\rbrace$ die Lösungsmenge von $2x-4=6$.

  • Bestimme die Lösungsmenge der jeweiligen Gleichung.

    Tipps

    Du kannst die Gleichung nach $x$ auflösen, um die Lösungsmenge zu erhalten.

    Wenn eine Gleichung so umgeformt werden kann, dass die Variable verschwindet, so sind alle rationalen Zahlen in der Lösungsmenge enthalten. Somit enthält die Lösungsmenge unendlich viele Elemente.

    Wenn eine Gleichung nicht richtig werden kann, indem man eine Zahl für $x$ einsetzt, so ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\varnothing$.

    Lösung

    Die Lösungsmenge der Gleichung $x+1=x$ ist: $\mathbb{L}=\varnothing$, das heißt, es ist die leere Menge.

    Diese Lösung erhalten wir mithilfe einer Äquivalenzumformung.

    $\begin{array}{lllll} & x+1 &=& x & \vert -x\\ \Leftrightarrow & 1 &=& 0 & \end{array}$

    Wir erhalten eine falsche Aussage. Die Lösungsmenge ist somit die leere Menge.

    Die Lösungsmenge der Gleichung $2x-x=x$ ist: $\mathbb{L}=\mathbb{Q}$. Somit können alle rationalen Zahlen für $x$ so eingesetzt werden, dass die Gleichung richtig wird.

    Diese Lösung erhalten wir mithilfe einer Äquivalenzumformung.

    $\begin{array}{lllll} & 2x-x &=& x & \vert +x \\ \Leftrightarrow &2x &=& 2x & \end{array}$

    Die Lösungsmenge ist gleich der Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$, weil auf beiden Seiten der Gleichung identische Terme stehen.

    Die Lösungsmenge der Gleichung $2x+5=3+2$ ist: $\mathbb{L}=\lbrace0\rbrace$. Die Lösungsmenge ist somit nicht leer, sondern enthält die $0$.

    Diese Lösung erhalten wir mithilfe von Äquivalenzumformungen.

    $\begin{array}{lllll} & 2x+5 &=& 3+2 & \vert -5 \\ \Leftrightarrow &2x &=& 0 & \vert : 2 \\ \Leftrightarrow &x &=& 0 & \end{array}$

    Die Gleichung ist demnach nur dann richtig, wenn wir für $x$ die Zahl $0$ einsetzen.

    Zusatz: Die Mengenklammern entfallen bei $\mathbb{Q}$ und $\varnothing$, da diese bereits Mengen sind. Haben wir einzelne Zahlen in der Lösungsmenge, so werden diese mit Mengenklammern erst zu einer Menge zusammengefasst.

  • Beschreibe den Vorgang des Bestimmens einer Lösungsmenge.

    Tipps

    Auch eine lineare Gleichung wie $x=x+1$ hat eine Lösungsmenge. Diese Menge ist aber leer.

    In der linearen Gleichung $x-5=-1$ ist das $x$ eine Variable.

    Ersetzt man in der Gleichung $1=x+2$ die Variable $x$ durch die Zahl $3$, entsteht eine falsche Aussage, denn $1$ ist nicht gleich $2+2$. Ersetzt man $x$ durch $-1$, entsteht eine richtige Aussage, denn $1$ ist gleich $-1+2$.

    Lösung

    Jede lineare Gleichung hat eine Lösungsmenge. Diese Menge besteht (wenn sie nicht leer ist), aus den Zahlen, die man für die Variable $x$ einsetzen kann, sodass die Gleichung richtig wird. Um die Lösungsmenge einer Gleichung zu bestimmen, wird die Gleichung meistens umgeformt. Dabei verwendet man nur solche Umformungen, die die Lösungsmenge erhalten. Das bedeutet: Die durch die Umformung entstandene Gleichung hat die gleiche Lösungsmenge wie die Ausgangsgleichung. Eine Gleichung wird meistens umgeformt, um eine einfachere Gleichung zu erreichen. Gleichungen wie $x=2$ oder $x=0$ sind so einfach, dass die Lösungsmenge direkt abgelesen werden kann.

  • Bestimme die Lösungsmengen der Gleichungen

    Tipps

    Die Lösungsmenge einer Gleichung kann auch die Leere Menge $\varnothing$ sein. Wenn $\mathbb{L}=\varnothing$ (auch $\mathbb{L}=\lbrace\rbrace$ geschrieben) die Lösungsmenge einer Gleichung ist, so gibt es keine Zahl, die man in die Gleichung einsetzen kann, sodass die Gleichung richtig wird.

    Kann die Variable $x$ gekürzt werden und entsteht dann eine richtige Gleichung ohne Variablen, enthält die Lösungsmenge alle Zahlen außer der $0$.

    Nur Termumformungen können auf einer Seite einer Gleichung verwendet werden, ohne deren Lösungsmenge zu verändern.

    Lösung

    $\begin{array}{lllll} & 3-x &=& 12 & \vert +x\\ \Leftrightarrow & 3 &=& 12+x & \vert -12\\ \Leftrightarrow & -9 &=& x & \end{array}$

    Die Lösungsmenge der Gleichung $3-x=12$ ist also $\mathbb{L}=\lbrace-9\rbrace$.

    $\begin{array}{lllll} & 4x+2 &=& 3x-1 & \vert -3x\\ \Leftrightarrow & x+2 &=& -1 & \vert -2 \\ \Leftrightarrow & x &=& -3 & \end{array}$

    Die Lösungsmenge der Gleichung $4x+2=3x-1$ ist also $\mathbb{L}=\lbrace-3\rbrace$.

    $\begin{array}{lllll} & 2x+6 &=& 2x+8 & \vert -2x\\ \Leftrightarrow & 6 &=& 8 & \end{array}$

    Die Lösungsmenge der Gleichung $2x+6=2x+8$ ist also $\mathbb{L}=\varnothing$, denn es existiert keine Zahl, die die Gleichung richtig werden lässt.

    $\begin{array}{lllll} & \dfrac{6x}{3x}+2 &=& 4 & \vert T \\ \Leftrightarrow & 2+2 &=& 4 & \vert T \\ \Leftrightarrow & 4 &=& 4 & \end{array}$

    Die Lösungsmenge der Gleichung $\dfrac{6x}{3x}+2 = 4$ ist also $\mathbb{L}=\text{alle Zahlen außer 0}$, denn alle Zahlen können für $x$ in die Gleichung eingesetzt werden und diese ist immer richtig. Die Null muss ausgeschlossen werden, da man in der ursprünglichen Bruchgleichung nicht durch Null teilen darf.

    $\begin{array}{lllll} & x-3x &=& 4-3x & \vert +3x\\ \Leftrightarrow & x &=& 4 & \end{array}$

    Die Lösungsmenge der Gleichung $x-3x=4-3x$ ist also $\mathbb{L}=\lbrace4\rbrace$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

2.666

sofaheld-Level

6.201

vorgefertigte
Vokabeln

10.811

Lernvideos

43.922

Übungen

38.639

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden