Lineare Funktionen – ganzzahlige Parameter m und b

Grundlagen zum Thema Lineare Funktionen – ganzzahlige Parameter m und b
Eine lineare Funktion hat eine Funktionsgleichung der Form y = m*x+b. "b" ist der y-Achsenabschnitt und "m" ist die Steigung. Wenn wir m und b kennen, kennen wir bereits alle Wertepaare der Funktion und können den Graphen zeichnen. Weil der Funktionsgraph einer linearen Funktion eine Gerade ist, brauchen wir nur zwei Punkte des Graphen, um den Graphen zeichnen zu können. Den ersten Punkt haben wir schon, weil der y-Achsenabschnitt bekannt ist. Den zweiten Punkt erhalten wir, indem wir die Steigung in ein Steigungsdreieck übersetzen. Im Video kannst du sehen, wie das genau geht.
Transkript Lineare Funktionen – ganzzahlige Parameter m und b
Hi. Eine lineare Funktion hat immer eine Funktionsgleichung der Form y gleich m-mal x plus b. Wenn wir m und b kennen, können wir den Graphen zeichnen, ohne eine Wertetabelle anzulegen. Und das machen wir jetzt auch. Wir haben eine Funktionsgleichung, nämlich y gleich zwei x minus drei. Das ist eine Funktionsgleichung der Form y gleich m-mal x plus b. Und m ist hier gleich zwei und b ist gleich minus drei. Wir wissen schon, dass m die Steigung ist und dass b der y-Achsenabschnitt ist. Und mit diesen Informationen können wir nun den Graphen der Funktion zeichnen, ohne eine Wertetabelle anlegen zu müssen. Wenn der y-Achsenabschnitt gleich minus drei ist, bedeutet das, wenn wir für x null einsetzen, erhalten wir den y-Wert minus drei. Das ist hier. Hier können wir also schon mal ein Kreuzchen einzeichnen und wir wissen, dass hier ein Punkt des Graphen ist. Wir wissen auch, dass die Steigung gleich zwei ist. Und das bedeutet, wir können von einem Punkt des Graphen einen Schritt nach rechts gehen und dann doppelt so viele Schritte nach oben gehen und kommen dann zu einem weiteren Punkt des Graphen. Gut, hier ist das jetzt groß genug und wir könnten jetzt den Funktionsgraphen zeichnen, meistens ist das aber ein bisschen klein. Und deshalb können wir auch von diesem Punkt des Graphen aus zwei Schritte nach rechts gehen und dann doppelt so viele Schritte nach oben und kommen dann auch zu einem weiteren Punkt des Graphen. Und jetzt können wir bequem den Graphen zeichnen, nämlich indem wir beide Punkte durch eine Grade verbinden. Jetzt ist es im Alltag vielleicht ganz witzig, den Graphen zeichnen zu können, ohne eine Wertetabelle anlegen zu müssen. Es steckt aber noch eine weitere Erkenntnis in der Sache. Wir kennen alle Funktionswerte, wenn wir nur die Parameter m und b kennen. Das ist also quasi die Message des Videos. Tschau.
Lineare Funktionen – ganzzahlige Parameter m und b Übung
-
Bestimme die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt der Funktion.
TippsDie Steigung ist der Faktor vor dem $x$ und der $y$-Achsenabschnitt der Term, der alleine steht.
Achte sowohl bei der Steigung als auch beim $y$-Achsenabschnitt auf das Vorzeichen.
Häufig rechnest du zu einigen $x$-Werten die zugehörigen Funktionswerte $y$ aus und überträgst diese in ein Koordinatensystem.
So kannst du den Graphen einer Funktion erstellen.
LösungDie allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet
$y=m\cdot x+b$.
Dabei steht
- $m$, also der Faktor vor dem $x$, für die Steigung und
- $b$, also der Term, der alleine steht, für den $y$-Achsenabschnitt.
Bei der Funktion mit der Funktionsgleichung $y=2x-3$ ist $m=2$ die Steigung und $b=-3$ der $y$-Achsenabschnitt.
-
Beschreibe, wie man den Graphen einer linearen Funktion zeichnen kann.
TippsDer Term, der ohne Variable alleine steht, ist der $y$-Achsenabschnitt. Daran kannst du erkennen, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet.
Der Faktor vor dem $x$ ist die Steigung. Diese wird mit Hilfe eines Steigungsdreiecks eingezeichnet.
Wenn die Steigung als positive ganze Zahl gegeben ist, zeichnet man das Steigungsdreieck wie folgt
Beispiel: $~m=4$
- Man geht $1$ Einheit nach rechts und $4$ Einheiten nach oben.
- Man geht $1$ Einheit nach links und $4$ Einheiten nach unten.
LösungWenn man den Graphen einer linearen Funktion $y=m\cdot x+b$, also eine Gerade, zeichnen möchte, geht man wie folgt vor:
Schritt 1
Zunächst trägt man auf der $y$-Achse den $y$-Achsenabschnitt ein, hier $b=-3$.
Schritt 2 und 3
Nun zeichnet man ein Steigungsdreieck. Wir betrachten hier $2=\frac 21$ und müssen daher $1$ Einheit in positive $x$-Richtung und $2$ Einheiten in positive $y$-Richtung gehen:
- Ausgehend von dem Punkt auf der $y$-Achse geht man parallel zur $x$-Achse eine Einheit nach rechts.
- Von dort aus geht man parallel zur $y$-Achse zwei Einheiten nach oben.
Schritt 4
Wenn man den Punkt auf der $y$-Achse mit jenem verbindet, zu dem man durch das Steigungsdreieck gelangt ist, erhält man die gesuchte Gerade.
-
Ordne den linearen Funktionsgleichungen die entsprechenden Steigungen und $y$-Achsenabschnitte zu.
TippsAchte auf die Vorzeichen.
Bei einer Addition dürfen wir die Summanden vertauschen.
Der $y$-Achsenabschnitt $b$ ist der Summand, der keine Variable enthält.
LösungUm Geraden anhand von linearen Funktionsgleichungen $y=m\cdot x+b$ zeichnen zu können, müssen wir wissen, wie groß die Steigung $m$ und der $y$-Achsenabschnitt $b$ sind.
- Die Steigung ist der Faktor vor dem $x$ und
- der $y$-Achsenabschnitt ist der Term, der ohne Variable alleine steht.
- $y=-2x+2$. Hier ist $m=-2$ und $b=2$.
- $y=-2+2x$. Hier ist $m=2$ und $b=-2$.
- $y=-2x-2$. Hier ist $m=-2$ und $b=-2$.
- $y=2+2x$. Hier ist $m=2$ und $b=2$.
-
Entscheide, welche der Geraden zu der gegebenen Gleichung gehört.
TippsDie allgemeine Geradengleichung lautet:
- $y=mx+b$
Mit Hilfe des $y$-Achsenabschnittes kannst du schon einige Geraden ausschließen.
Ausgehend vom $y$-Achsenabschnitt kannst du ein Steigungsdreieck einzeichnen. Dieses verrät dir die Steigung der Geraden. Hierzu teilst du die Längeneinheiten der vertikalen Seite durch die Längeneinheiten der horizontalen Seite des Steigungsdreiecks.
Du kannst aber auch mit Hilfe zweier Punkte der Geraden die Steigung als Quotient aus der Differenz der $y$-Koordinaten und der Differenz der $x$-Koordinaten berechnen:
- $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
LösungWie kann man bei einer Geraden feststellen, ob sie zu einer Funktionsgleichung $y=x-2$ gehört?
Zunächst kann man sich den $y$-Achsenabschnitt anschauen: Dies ist die Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet. Alle Geraden, die nicht den $y$-Achsenabschnitt $b=-2$ haben, also nicht durch den Punkt $(0\vert -2)$ verlaufen, können nicht zu der obigen Gleichung gehören. Es kommen also nur die zwei unteren Geraden in Frage.
Dann schaut man sich die Steigung an:
- Ist diese negativ, so ist die Gerade fallend,
- andernfalls steigend.
-
Schildere, wie man mit Hilfe des Steigungsdreiecks eine Gerade zeichnen kann.
TippsWenn die Steigung als Bruch gegeben ist, zeichnet man das Steigungsdreieck wie folgt: $~m=\frac ab$
- Man geht $b>0$ Einheiten nach rechts und
- $|a|$ Einheiten nach oben, wenn $a>0$ ist, beziehungsweise nach unten, wenn $a<0$ ist.
- Man geht $|b|$ Einheiten nach rechts, wenn $b>0$ ist, beziehungsweise nach links, wenn $b<0$ ist, und
- $a>0$ Einheiten nach oben.
Beachte:
- Ist die Steigung negativ, fällt die Gerade.
- Ist sie positiv, steigt die Gerade.
Wenn man das Steigungsdreieck an dem $y$-Achsenabschnitt anlegt, kann man die rote Seite des Dreiecks verlängern und erhält so die Gerade.
LösungWenn man den $y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion auf der $y$-Achse eingezeichnet hat, verwendet man ein Steigungsdreieck, um damit die Steigung einzuzeichnen.
Wenn ganz allgemein die Steigung als Bruch $m=\frac ab$ gegeben ist, dann
- geht man $b>0$ Einheiten nach rechts und
- $|a|$ Einheiten nach oben, wenn $a>0$ ist, beziehungsweise nach unten, wenn $a<0$ ist.
- Man geht $|b|$ Einheiten nach rechts, wenn $b>0$ ist, beziehungsweise nach links, wenn $b<0$ ist, und
- $a>0$ Einheiten nach oben.
Sei, wie in diesem Beispiel, die Steigung $m=2$, so kann man wie folgt vorgehen:
- Wenn wir die Steigung $m=2=\frac{2}{1}$ betrachten, gehen wir von einem Punkt der Geraden aus $2$ Schritte nach oben und $1$ Schritt nach rechts.
- Wenn wir die Steigung $m=2=\frac{-2}{-1}$ betrachten, gehen wir von einem Punkt der Geraden aus $2$ Schritte nach unten und $1$ Schritt nach links.
In dem abgebildeten Steigungsdreieck ist also die senkrechte Seite (blau) doppelt so lang wie die waagerechte (grün). Oder analog dazu ist die waagerechte Seite (grün) halb so groß wie die senkrechte (blau).
-
Bestimme zu jeder der Geraden die lineare Funktionsgleichung.
TippsEine lineare Funktion hat die Form $y=m\cdot x+b$, wobei $m$ für die Steigung und $b$ für den $y$-Achsenabschnitt steht.
Den $y$-Achsenabschnitt kannst du jeweils ablesen: Das ist die Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet.
Wenn du zusätzlich zu dem $y$-Achsenschnittpunkt noch einen weiteren Punkt betrachtest, kannst du mit Hilfe eines Steigungsdreiecks die Steigung bestimmen. Du teilst hierzu die Längeneinheiten der vertikalen Seite durch die Längeneinheiten der horizontalen Seite des Steigungsdreiecks.
Du kannst aber auch mit Hilfe zweier Punkte der Geraden die Steigung als Quotient aus der Differenz der $y$-Koordinaten und der Differenz der $x$-Koordinaten berechnen:
- $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
LösungGanz allgemein lautet die Gleichung einer linearen Funktion wie folgt:
$y=m\cdot x+b$
Dabei ist
- $m$ die Steigung und
- $b$ der $y$-Achsenabschnitt.
Die Steigung kann man mit Hilfe eines weiteren Punktes bestimmen. Dieser Punkt sollte gut abzulesen sein. In jedem der Beispiele wären dies die Schnittpunkte mit der $x$-Achse.
Die Funktionsgleichungen aus der Aufgabe können wie folgt bestimmt werden:
- Der $y$-Achsenabschnitt ist $-2$. Ausgehend vom $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0|-2)$ gehen wir $2$ Einheiten nach oben und $1$ Einheit nach rechts. Damit beträgt die Steigung $2$. Die Gleichung lautet $y=2x-2$.
- Der $y$-Achsenabschnitt ist $-1$, d. h. der $y$-Achsenschnittpunkt ist $S_y(0|-1)$. Ein weiterer Punkt ist $Q(2|0)$, somit ist die Steigung $m=\frac{0-(-1)}{2-0}=0,5$. Die Gleichung lautet $y=0,5x-1$.
- Der $y$-Achsenabschnitt ist $3$ und damit ist $S_y(0|3)$. Ein weiterer Punkt ist $Q(6|0)$. Zu diesem gelangen wir, wenn wir von $S_y(0|3)$ aus $3$ Einheiten nach unten und $6$ Einheiten nach rechts gehen. Die Geradengleichung lautet dann $y=-0,5+3$.

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