Lineare Funktionen – ganzzahlige Parameter m und b

Lineare Funktionen – ganzzahlige Parameter m und b Übung

• Bestimme die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt der Funktion.

  Tipps

  Die Steigung ist der Faktor vor dem $x$ und der $y$-Achsenabschnitt der Term, der alleine steht.

  Achte sowohl bei der Steigung als auch beim $y$-Achsenabschnitt auf das Vorzeichen.

  Häufig rechnest du zu einigen $x$-Werten die zugehörigen Funktionswerte $y$ aus und überträgst diese in ein Koordinatensystem.

  So kannst du den Graphen einer Funktion erstellen.

  Lösung

  Die allgemeine Gleichung einer linearen Funktion lautet

  $y=m\cdot x+b$.

  Dabei steht

  • $m$, also der Faktor vor dem $x$, für die Steigung und
  • $b$, also der Term, der alleine steht, für den $y$-Achsenabschnitt.

  Wenn man den Graphen einer linearen Funktion ohne Angabe einer Wertetabelle zeichnen möchte, benötigt man lediglich die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt.

  Bei der Funktion mit der Funktionsgleichung $y=2x-3$ ist $m=2$ die Steigung und $b=-3$ der $y$-Achsenabschnitt.

• Beschreibe, wie man den Graphen einer linearen Funktion zeichnen kann.

  Tipps

  Der Term, der ohne Variable alleine steht, ist der $y$-Achsenabschnitt. Daran kannst du erkennen, wo die Gerade die $y$-Achse schneidet.

  Der Faktor vor dem $x$ ist die Steigung. Diese wird mit Hilfe eines Steigungsdreiecks eingezeichnet.

  Wenn die Steigung als positive ganze Zahl gegeben ist, zeichnet man das Steigungsdreieck wie folgt

  Beispiel: $~m=4$

  • Man geht $1$ Einheit nach rechts und $4$ Einheiten nach oben.

  Oder:

  • Man geht $1$ Einheit nach links und $4$ Einheiten nach unten.

  Lösung

  Wenn man den Graphen einer linearen Funktion $y=m\cdot x+b$, also eine Gerade, zeichnen möchte, geht man wie folgt vor:

  Schritt 1

  Zunächst trägt man auf der $y$-Achse den $y$-Achsenabschnitt ein, hier $b=-3$.

  Schritt 2 und 3

  Nun zeichnet man ein Steigungsdreieck. Wir betrachten hier $2=\frac 21$ und müssen daher $1$ Einheit in positive $x$-Richtung und $2$ Einheiten in positive $y$-Richtung gehen:

  • Ausgehend von dem Punkt auf der $y$-Achse geht man parallel zur $x$-Achse eine Einheit nach rechts.
  • Von dort aus geht man parallel zur $y$-Achse zwei Einheiten nach oben.

  Würden wir stattdessen $2=\frac {-2}{-1}$ annehmen, dann müssten wir $1$ Einheit in negative $x$-Richtung und $2$ Einheiten in negative $y$-Richtung gehen. Aber das führt beides auf dieselbe Gerade.

  Schritt 4

  Wenn man den Punkt auf der $y$-Achse mit jenem verbindet, zu dem man durch das Steigungsdreieck gelangt ist, erhält man die gesuchte Gerade.

• Ordne den linearen Funktionsgleichungen die entsprechenden Steigungen und $y$-Achsenabschnitte zu.

  Tipps

  Achte auf die Vorzeichen.

  Bei einer Addition dürfen wir die Summanden vertauschen.

  Der $y$-Achsenabschnitt $b$ ist der Summand, der keine Variable enthält.

  Lösung

  Um Geraden anhand von linearen Funktionsgleichungen $y=m\cdot x+b$ zeichnen zu können, müssen wir wissen, wie groß die Steigung $m$ und der $y$-Achsenabschnitt $b$ sind.

  • Die Steigung ist der Faktor vor dem $x$ und
  • der $y$-Achsenabschnitt ist der Term, der ohne Variable alleine steht.

  Wichtig ist, zu beachten, dass jeweils das Vorzeichen dazu gehört.

  • $y=-2x+2$. Hier ist $m=-2$ und $b=2$.
  • $y=-2+2x$. Hier ist $m=2$ und $b=-2$.
  • $y=-2x-2$. Hier ist $m=-2$ und $b=-2$.
  • $y=2+2x$. Hier ist $m=2$ und $b=2$.

• Entscheide, welche der Geraden zu der gegebenen Gleichung gehört.

  Tipps

  Die allgemeine Geradengleichung lautet:

  • $y=mx+b$

  Dabei ist $m$ die Steigung und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Mit Hilfe des $y$-Achsenabschnittes kannst du schon einige Geraden ausschließen.

  Ausgehend vom $y$-Achsenabschnitt kannst du ein Steigungsdreieck einzeichnen. Dieses verrät dir die Steigung der Geraden. Hierzu teilst du die Längeneinheiten der vertikalen Seite durch die Längeneinheiten der horizontalen Seite des Steigungsdreiecks.

  Du kannst aber auch mit Hilfe zweier Punkte der Geraden die Steigung als Quotient aus der Differenz der $y$-Koordinaten und der Differenz der $x$-Koordinaten berechnen:

  • $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Lösung

  Wie kann man bei einer Geraden feststellen, ob sie zu einer Funktionsgleichung $y=x-2$ gehört?

  Zunächst kann man sich den $y$-Achsenabschnitt anschauen: Dies ist die Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet. Alle Geraden, die nicht den $y$-Achsenabschnitt $b=-2$ haben, also nicht durch den Punkt $(0\vert -2)$ verlaufen, können nicht zu der obigen Gleichung gehören. Es kommen also nur die zwei unteren Geraden in Frage.

  Dann schaut man sich die Steigung an:

  • Ist diese negativ, so ist die Gerade fallend,
  • andernfalls steigend.

  Die Steigung kann man mit Hilfe eines Steigungsdreiecks herleiten. Die Gerade zu $y=x-2$ hat die Steigung $1$. Das bedeutet, dass die Gerade steigt und die vertikale und horizontale Seite des jeweiligen Steigungsdreiecks gleich lang sein müssen. Das trifft auf die vorletzte Lösungsmöglichkeit zu.

• Schildere, wie man mit Hilfe des Steigungsdreiecks eine Gerade zeichnen kann.

  Tipps

  Wenn die Steigung als Bruch gegeben ist, zeichnet man das Steigungsdreieck wie folgt: $~m=\frac ab$

  • Man geht $b>0$ Einheiten nach rechts und
  • $|a|$ Einheiten nach oben, wenn $a>0$ ist, beziehungsweise nach unten, wenn $a<0$ ist.

  Oder:

  • Man geht $|b|$ Einheiten nach rechts, wenn $b>0$ ist, beziehungsweise nach links, wenn $b<0$ ist, und
  • $a>0$ Einheiten nach oben.

  Beachte:

  • Ist die Steigung negativ, fällt die Gerade.
  • Ist sie positiv, steigt die Gerade.

  Wenn man das Steigungsdreieck an dem $y$-Achsenabschnitt anlegt, kann man die rote Seite des Dreiecks verlängern und erhält so die Gerade.

  Lösung

  Wenn man den $y$-Achsenabschnitt einer linearen Funktion auf der $y$-Achse eingezeichnet hat, verwendet man ein Steigungsdreieck, um damit die Steigung einzuzeichnen.

  Wenn ganz allgemein die Steigung als Bruch $m=\frac ab$ gegeben ist, dann

  • geht man $b>0$ Einheiten nach rechts und
  • $|a|$ Einheiten nach oben, wenn $a>0$ ist, beziehungsweise nach unten, wenn $a<0$ ist.

  Oder:

  • Man geht $|b|$ Einheiten nach rechts, wenn $b>0$ ist, beziehungsweise nach links, wenn $b<0$ ist, und
  • $a>0$ Einheiten nach oben.

  Sei, wie in diesem Beispiel, die Steigung $m=2$, so kann man wie folgt vorgehen:

  • Wenn wir die Steigung $m=2=\frac{2}{1}$ betrachten, gehen wir von einem Punkt der Geraden aus $2$ Schritte nach oben und $1$ Schritt nach rechts.
  • Wenn wir die Steigung $m=2=\frac{-2}{-1}$ betrachten, gehen wir von einem Punkt der Geraden aus $2$ Schritte nach unten und $1$ Schritt nach links.

  Beide Möglichkeiten sind richtig und führen mit Hilfe des Steigungsdreiecks zur gesuchten Gerade.

  In dem abgebildeten Steigungsdreieck ist also die senkrechte Seite (blau) doppelt so lang wie die waagerechte (grün). Oder analog dazu ist die waagerechte Seite (grün) halb so groß wie die senkrechte (blau).

• Bestimme zu jeder der Geraden die lineare Funktionsgleichung.

  Tipps

  Eine lineare Funktion hat die Form $y=m\cdot x+b$, wobei $m$ für die Steigung und $b$ für den $y$-Achsenabschnitt steht.

  Den $y$-Achsenabschnitt kannst du jeweils ablesen: Das ist die Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet.

  Wenn du zusätzlich zu dem $y$-Achsenschnittpunkt noch einen weiteren Punkt betrachtest, kannst du mit Hilfe eines Steigungsdreiecks die Steigung bestimmen. Du teilst hierzu die Längeneinheiten der vertikalen Seite durch die Längeneinheiten der horizontalen Seite des Steigungsdreiecks.

  Du kannst aber auch mit Hilfe zweier Punkte der Geraden die Steigung als Quotient aus der Differenz der $y$-Koordinaten und der Differenz der $x$-Koordinaten berechnen:

  • $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

  Lösung

  Ganz allgemein lautet die Gleichung einer linearen Funktion wie folgt:

  $y=m\cdot x+b$

  Dabei ist

  • $m$ die Steigung und
  • $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

  Der $y$-Achsenabschnitt ist die $y$-Stelle, an der die Gerade die $y$-Achse schneidet.

  Die Steigung kann man mit Hilfe eines weiteren Punktes bestimmen. Dieser Punkt sollte gut abzulesen sein. In jedem der Beispiele wären dies die Schnittpunkte mit der $x$-Achse.

  Die Funktionsgleichungen aus der Aufgabe können wie folgt bestimmt werden:

  • Der $y$-Achsenabschnitt ist $-2$. Ausgehend vom $y$-Achsenschnittpunkt $S_y(0|-2)$ gehen wir $2$ Einheiten nach oben und $1$ Einheit nach rechts. Damit beträgt die Steigung $2$. Die Gleichung lautet $y=2x-2$.
  • Der $y$-Achsenabschnitt ist $-1$, d. h. der $y$-Achsenschnittpunkt ist $S_y(0|-1)$. Ein weiterer Punkt ist $Q(2|0)$, somit ist die Steigung $m=\frac{0-(-1)}{2-0}=0,5$. Die Gleichung lautet $y=0,5x-1$.
  • Der $y$-Achsenabschnitt ist $3$ und damit ist $S_y(0|3)$. Ein weiterer Punkt ist $Q(6|0)$. Zu diesem gelangen wir, wenn wir von $S_y(0|3)$ aus $3$ Einheiten nach unten und $6$ Einheiten nach rechts gehen. Die Geradengleichung lautet dann $y=-0,5+3$.