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Kurvendiskussion mit Sachbezug (1) 09:16 min

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Transkript Kurvendiskussion mit Sachbezug (1)

Hallo, es ist eine Funktion gesucht, eine ganzrationale Funktion dritten Grades. Und gegeben sind vier Punkte. Gemeint ist natürlich, dass dieser Funktionsgraph durch diese vier Punkte verlaufen soll. Da gibt es eine einzige Funktion, die eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist und durch diese Punkte verläuft. Diese Funktion findet man, indem man die x-Werte der Punkte jeweils für x in den Funktionsterm einsetzt. Und der dann entstandene Term wird dem jeweiligen y-Wert gleichgesetzt. Also zum Beispiel, wenn ich den Punkt D hier verwenden möchte, setze ich für x hier jeweils zwei ein. Dann entsteht hier ein neuer Term und dieser Term wird dem y Wert gleichgesetzt, also der Wert gleich -5 gesetzt. Und das sieht dann, wenn man das aufschreibt folgendermaßen aus. Wir erhalten vier Gleichungen, wir hatten ja auch vier Punkte. Und ich habe einfach stumpf jetzt die x-Werte für x eingesetzt und dann jeweils hier den y-Wert hingeschrieben. Das lässt man so nicht stehen, dass ist ja unanständig. Also zum Beispiel schreibt man ja nicht a×(-1)3. Sondern man schreibt dann -a. Rechnet aus soweit es geht, 23 rechnet man auch aus. Das ist 8. Und die Koeffizienten, die Summanden, die 0 sind, die kann man auch weglassen. Und dann ergibt sich hier gleich, dass d = 1 ist. Wenn wir das schon so geliefert bekommen, dann können wir selbstverständlich auch in die weiteren Gleichungen hier für d jeweils 1 einsetzen. Dann haben wir also noch drei Gleichungen. Ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen zu lösen. Das wird dann auch einfacher. Und dann kann man durch Äquivalenzumformungen die Zahlen hier noch auf die rechte Seite bringen, dann stehen auf der linken Seite nur noch Summanden mit Variablen und auf der rechten Seite stehen dann die Zahlen. Wenn man das macht, dann kommt folgendes heraus. Wir erhalten drei Gleichungen. Die erste lasse ich jetzt weg. Und die sehen dann so aus. Ich glaube muss ich nicht weiter erklären, was da passiert ist. Das sind ganz elementare Rechnungen, da würde ich dich sonst langweilen, wenn ich alles erzähle. Vielleicht hier noch zur Nummerierung, ich habe einfach eine Nummerierung verwendet, die auch gebräuchlich ist. Es sind auch andere Nummerierungen gebräuchlich, vielleicht wenn dein Lehrer oder deine Lehrerin das anders haben möchte, dann schreibst du es halt anders. Das ist jetzt nur ein Vorschlag, wie man das auseinanderhalten kann. Ja, was können wir jetzt machen? Wir haben ein Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen und möchten das gerne lösen. Das können wir dann machen, wenn wir durch Umformungen des Gleichungssystems zwei Gleichungen enthalten, die kein a mehr haben. In denen nur noch b und c vorkommt. Wenn das nämlich der Fall ist, wenn zwei solcher Gleichungen bekommen, dann haben wir ein Gleichungssystem, mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Und dann können wir das lösen wie in der Mittelstufe. Ja du erinnerst dich, Gleichsetzungsverfahren, Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren. Das ist grundsätzlich die Taktik dabei, du kannst auch einfach den Gauß-Algorithmus verwenden oder das Gauß-Verfahren, wie immer das heißt. Und dann kommst du zu den gleichen Ergebnissen wie ich jetzt. Falls du das nicht gemacht hast, es geht auch so. Das ist eigentlich das gleiche was man macht. Heißt dann nur anders. Also wie kriegen wir zwei Gleichungen hier, die kein a mehr haben? Wir können die erste Gleichung zur Zweiten hinzuaddieren, das ändert ja die Lösungsmenge nicht, wenn wir das machen. Dann haben wir a - a und das ist zusammen 0. Und das passt schonmal. Und wir können die erste Gleichung, also die erste, die hier steht, die hat natürlich eine andere Nummer, aber die verwende ich jetzt nicht. Römisch zwei, eins, das ist mir zu umständlich, Ich sage einfach, die erste Gleichung, die hier steht. Wir können die erste Gleichung also mit -8 multiplizieren. Das geht auch. Das verändert die Lösungsmenge nicht. Und diese mit -8 multiplizierte Gleichung zur dritten addieren. Dann haben wir ja hier -8a+8a und das ist zusammen auch 0. Und die beiden Gleichungen, die dann so entstehen haben eben kein a mehr. Und das sieht dann folgendermaßen aus. Das sind die beiden Gleichungen, die entstanden sind. Die ist entstanden, indem man die erste Gleichung zur zweiten addiert hat. Und du siehst, die hat auch kein c mehr. Das ist jetzt ein besonders praktischer Fall, den wir auch gleich schamlos ausnutzen werden. Normalerweise steht dann hier auch noch ein c, aber dann hast du halt hier ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen und kannst vorgehen, wie du das in der Mittelstufe gelernt hast. So, die Gleichung ist glaube ich auch klar wie die entstanden ist. Erste Gleichung mit -8 multiplizieren, dann zur dritten dazu addieren. Dann kommt das halt raus. Alles ganz elementare Rechnungen, muss ich auch nicht alles erzählen. So, aus dieser komfortablen ersten Gleichung können wir jetzt ermitteln, wie groß b ist. b ist nämlich gleich 1. Und jetzt können wir 1, also für b 1 in diese Gleichung einsetzen. Ja, das ist immer das gleiche Verfahren. Man bestimmt erst den Wert einer Variablen, setzt diesen Wert dann in die anderen Gleichungen ein, dann hat man weniger Variablen und hat dann eine Gleichung hoffentlich, die dann nur noch eine Variable enthält. Die löst man dann auf und setzt diese gelöste Variable, also die Zahl, die man für diese Variable einsetzen muss, dann auch in die restlichen Gleichungen ein und so weiter. Und dann kann man letzten Endes das ganze System lösen. Wenn man jetzt für b 1 in diese Gleichung einsetzt, dann erhält man diese Gleichung. Und daraus kann man jetzt das c ermitteln. Das ist also gleich -1. Und wenn ich jetzt b und c in, wo habe ich es eingesetzt, in diese Gleichung einsetze. In die, die hier oben steht, dann erhalte ich diese Gleichung und daraus kann man erkennen, dass a = -1. Und jetzt muss man die gefundenen Lösungen noch in, das wollte ich eigentlich nicht. Noch in diesen Term einsetzen. Also für a -1, für b 1, für c, wo ist es? Für c -1 und für d, was war es? 1 war das. Und wenn man das dann also alles eingesetzt hat, dann bekommt man einen solchen Funktionsterm. Da ist der Funktionsterm. Das Ganze ist hier natürlich eine Gleichung. Hier steht die Bezeichnung für den Funktionsterm. Der Name des Funktionsterms quasi. Ja und damit ist die Aufgabe gelöst. Du kannst das natürlich noch überprüfen, ob du wirklich die Punkte erhältst, die gegeben waren. Ob du zum Beispiel 1 erhältst, wenn du für x 0 einsetzt. Ob du 0 erhältst, wenn du für x 1 einsetzt. Ob du 4 erhältst, wenn du für x -1 einsetzt. Und so weiter. DU kannst auch den Graphen zeichnen oder zeichnen lassen vom Computer. Dann kann man das alles schön überprüfen, weiß Bescheid, dass man richtig gerechnet hat und ist hinterher zufrieden und glücklich, weil man diese Aufgabe erfolgreich hinter sich gebracht hat. Viel Spaß damit. Tschüss.