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Kumulierte Häufigkeiten 07:32 min

Textversion des Videos

Transkript Kumulierte Häufigkeiten

Hallo, in der Statistik geht es um Daten, die wir irgendwo erheben und diese Daten sind für uns Menschen relativ wertlos, wenn sie einfach nur auf einem Haufen herumliegen. Deshalb gibt es in der Statistik viele Möglichkeiten solche Daten zu ordnen und zu beschreiben. Und dazu gehören auch die kumulierten Häufigkeiten und die schauen wir uns in diesem Video mal an.Es geht um die kumulierten absoluten Häufigkeiten, um die kumulierten relativen Häufigkeiten und um die kumulierten prozentualen Häufigkeiten. Los geht's. Wir haben hier mehrere Zahlen stehen. In der ersten Spalte haben wir die Merkmalsausprägungen eines nicht näher bezeichneten Merkmals. Das könnten die Schulnoten von 1 - 5 sein, wir könnten uns vorstellen, dass ein Unternehmen die Kunden nach ihrer Zufriedenheit fragt und man könnte jetzt die Note 1 geben, wenn man sehr zufrieden ist oder die Note 5 geben, wenn man sehr unzufrieden ist. Wenn wir kumulierte Häufigkeiten betrachten, die jetzt also hier stehen, hier stehen noch gar keine kumulierten Häufigkeiten, dann brauchen wir ein Merkmal, das sinnvollerweise angeordnet werden kann, ansonsten machen kumulierte Häufigkeiten keinen Sinn. Also, wir haben hier die absoluten Häufigkeiten stehen, also das ist letzten Endes das, was gemessen wurde, wie man so sagt. Also, man fragt Leute, wie sind sie mit dem Unternehmen zufrieden, wie sind sie mit der Leistung zufrieden. Drei Leute sagen, ich bin sehr zufrieden, ich gebe die Schulnote 1. 12 Leute sagen ich gebe die Schulnote 2. 22 Leute vergeben die 3. 7 die 4 und 6 Leute vergeben die Schulnote 5. Hier bei fk stehen die relativen Häufigkeiten. Und eine relative Häufigkeit kommt zustande, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl aller Messergebnisse teilt. In unserem Fall sind das 50. Um also hier die relative Häufigkeit angeben zu können, rechnen wir 3/50 und das ist 0,06. Hier rechnen wir 12/50, das ist 0,24. 22/50, und so weiter. Was hier jetzt steht, sind pk, die prozentualen Häufigkeiten. Naja, und da hat man einfach das Komma um zwei Stellen nach rechts verschoben. Warum? - Prozente sind ja hundertstel. Erste Stelle nach dem Komma sind die Zehntel, zweite Stelle nach dem Komma sind hundertstel, hier stehen also 6/100 und hier steht die Zahl 6, weil es sich um 6/100 handelt. Hier haben wir dann 24/100, da haben wir 44/100 hundertstel, also 44 Prozent, und so weiter. Die Prozentzeichen stehen hier nicht, das ist gut so, denn bei den prozentualen Häufigkeiten handelt es sich eben um die Zahlen, die vor dem Prozentzeichen stehen. Dann geht es hier weiter mit, nun, den kumulierten Häufigkeiten. Wir haben drei Leute, die mit 1 bewerten, das steht hier ganz genauso. Wir haben 15 Leute, die mit 2 oder besser bewertet haben, das steht hier. Um also diese kumulierte Häufigkeit bei der zweiten Merkmalsausprägung zu bekommen, addieren wir die absolute Häufigkeit für die erste Merkmalsausprägung und die absolute Häufigkeit für die zweite Merkmalsausprägung, in diesem Fall also 3 + 12. Das geht hier so weiter. Um hier auf diese 37 zu kommen addieren wir alle absoluten Häufigkeiten von hier bis da. Also 3 + 12 + 22 ist 37. Dann addieren wir noch 7 hinzu, erhalten 44. Wir addieren 6 hinzu und erhalten 50. Und hier steht dann die Anzahl aller befragten Personen in unserem Fall oder einfach die Anzahl aller Messergebnisse.Das geht mit den kumulierten relativen Häufigkeiten genauso weiter. Oben stimmt wieder alles überein, ja, wir haben nur eine relative Häufigkeit hier für die Schulnote 1, aber bis hier haben wir schon zwei relative Häufigkeiten, die werden beide addiert und 0,06 + 0,24 ist eben 0,3. Dann addieren wir noch 0,44 hinzu und erhalten 0,74. Hier wird noch 0,14 hinzuaddiert und da noch 0,12 und am Ende sind wir bei 1. Denn, überlegen wir kurz, was wir gerechnet haben, um zu diesem Wert zu kommen: Rechnen wir 3/50 + 12/50 + 22/50 + 7/50 + 6/50, alles was jetzt hier in den Zählern steht, sind ja 50 Messwerte. Wir teilen letzten Endes 50 durch 50, naja, und das ist 1. Das ist übrigens immer so, ja, wenn wir alle relativen Häufigkeiten, die hier anfallen, addieren, kommen wir immer zu 1. Dann haben wir hier noch die prozentualen relativen Häufigkeiten. Und, naja, das ist alles 100 Mal größer, was hier steht, als das was in der entsprechenden Zeile davorsteht. Und deshalb ist die Addition hier 100. Naja, ist auch kein Hexenwerk, wenn wir alle Prozentzahlen, die hier anfallen, addieren, weil alles zusammen letzten Endes immer 100% ist. So, das war's zur Erklärung und jetzt kommt die Frage, wozu braucht man das? Ja, zum Beispiel haben wir gesehen, dass ein Unternehmen Kunden befragt und das Unternehmen möchte wissen, wie zufrieden die Kunden sind. Und dann könnte es möglicherweise interessant sein, wie viele der Kunden das Unternehmen mit 3 oder besser bewertet haben und so einen Wert kann man dann direkt aus so einer kumulierten Häufigkeit ablesen. In dem Fall wäre es dann die kumulierte absolute Häufigkeit. Es kommt auch häufig vor, dass man solche kumulierten Häufigkeiten verwendet bei Merkmalen mit sehr vielen Merkmalsausprägungen. Zum Beispiel bei der Laufleistung von Autoreifen. Ja, da ist dann nicht so interessant, wie viele Autoreifen bei Kilometer 55628 kaputt gegangen sind und wie viele Autoreifen bei Kilometer 55629 kaputt gegangen sind, sondern man möchte vielleicht wissen, wie groß ist der Prozentsatz der Reifen, die bis zu 60000 Kilometer gehalten haben. Und so einen Wert kann man dann direkt oder mit einer kleinen Rechnung aus solchen kumulierten Häufigkeiten ablesen. Dafür sind die da. Das war's dazu. Viel Spaß damit. Tschüss.

1 Kommentar
  1. Zu leise gesprochen... (-.-)

    Von Xmina Xp, vor mehr als einem Jahr

Kumulierte Häufigkeiten Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Kumulierte Häufigkeiten kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die richtigen Aussagen über die geschrieben Schulnoten der Klassenarbeit.

    Tipps

    Die Gesamtzahl der Schüler, die die Klassenarbeit geschrieben haben, ergibt sich aus der Summe der absoluten Häufigkeiten der Noten $1$ bis $5$.

    $12$ Schüler haben eine $2$ in der Klassenarbeit geschrieben, das entspricht einer relativen Häufigkeit von $0,24$ oder $24~\%$.

    Die prozentuale Häufigkeit, die in der Tabelle steht, ist die Zahl vor dem $\%$.

    $15$ entspricht der Summe der absoluten Häufigkeit der Note $1$ und der absoluten Häufigkeit der Note $2$. Somit handelt es sich um die kumulierte absolute Häufigkeit der Merkmalsausprägung der Note $2$.

    Die zugehörige kumulierte relative Häufigkeit beträgt $0,3$ und die kumulierte prozentuale Häufigkeit ist $30$.

    Lösung

    Folgende Aussagen sind korrekt:

    • „$37$ Schülerinnen und Schüler haben eine $3$ oder eine bessere Note in der Klassenarbeit geschrieben.“ In der Spalte $\text{hc}_\text{k}$ können wir die kumulierten Häufigkeiten für die Note $3$ ablesen, also wie viele Schülerinnen und Schüler diese oder eine bessere Note geschrieben haben. Es ergibt sich aus der Summe der absoluten Häufigkeiten der Noten $1$, $2$ und $3$. Das sind insgesamt $37$ Schülerinnen und Schüler.
    • $88\%$ der Schülerinnen und Schüler haben eine $4$ oder eine bessere Note in der Klassenarbeit geschrieben.“ Anhand der Aussage können wir erkennen, dass auch hier wieder von einer kumulierten Häufigkeit ausgegangen wird, denn es wird nach der prozentualen Häufigkeit der Note $4$ und besser gefragt. Das bezieht somit auch die Noten $3$, $2$ und $1$ ein. Die Prozentzahlen für die kumulierten Häufigkeiten ergibt sich dann ebenfalls aus der Addition aller relevanten Prozentzahlen. Wir können den Wert in der Spalte $\text{pc_k}$ ablesen und dort steht $88$. Also haben $88\%$ die Note $4$ oder besser geschrieben.
    Folgende Aussagen nicht nicht korrekt:
    • $44$ Schülerinnen und Schüler haben eine $3$ oder $4$ in der Klassenarbeit geschrieben.“ In der Spalte $\text{h}_\text{k}$ können wir die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Noten ablesen. Dort sehen wir, dass $22$ Schülerinnen und Schüler die Note $3$ und $7$ Schülerinnen und Schüler die Note $4$ geschrieben haben. Das sind insgesamt $29$ Schülerinnen und Schüler, die somit die Note $3$ oder $4$ geschrieben haben.
    • $30\%$ der Schülerinnen und Schüler haben eine $2$ in der Klassenarbeit geschrieben.“ In der Spalte $\text{p}_\text{k}$ können wir ablesen, wie viel Prozent der Schülerinnen und Schüler die jeweilige Note geschrieben haben. Dort lesen wir $24$ und somit haben $24\%$ die Note $2$ geschrieben.
    • $12$ Schülerinnen und Schüler haben eine $5$ in der Klassenarbeit geschrieben.“ Auch hier können wir in der Spalte $\text{h}_\text{k}$ ablesen, dass die absolute Häufigkeit der Note $5$ bei $6$ Schülerinnen und Schülern liegt.
    • Insgesamt $100$ Schülerinnen und Schüler haben diese Arbeit geschrieben.“ in der Spalte $\text{hc}_\text{k}$ können wir die kumuliert absolute Häufigkeit ablesen. In der letzten Zeile lesen wir, wie viele Schülerinnen und Schüler die Note $5$ und besser geschrieben haben. Das ist gleichbedeutend mit allen Schülerinnen und Schülern. Dort können wir ablesen, dass insgesamt $50$ Schülerinnen und Schüler die Arbeit geschrieben haben.

  • Beschreibe die tabellarischen Ergebnisse einer Klassenarbeit.

    Tipps

    Das Merkmal Schulnote nimmt hier die Merkmalsausprägungen $1$ bis $5$ an.

    Beispielsweise haben $22$ Schüler die Note $3$ erreicht.

    Die kumulierte absolute Häufigkeit der Schulnote $3$ berechnet sich wie folgt:

    $hc_{3}=h_{1}+h_{2}+h_{3} = 3 + 12 +22= 37$.

    Lösung

    In der Tabelle wird das Ergebnis einer Klassenarbeit dargestellt. Die Merkmale (Noten) haben zugehörige Merkmalsausprägungen ($1$ bis $5$) und einige Kennzahlen.

    Die erste Spalte zeigt also an, welche Merkmalsausprägungen möglich sind. Die zweite Spalte zeigt an, wie die zugehörige Note (Merkmalsausprägung) erreicht wurde.

    Da jede Person eine Note erhalten hat, musst du alle Personen aus der Spalte $h_k$ zusammen addieren, um die Anzahl aller Personen zu erhalten. Das ergibt:

    $3 + 12 + 22 + 7 + 6 = 50$.

    Diese Zahl steht ebenfalls in der letzten Zeile der Spalte $hc_k$. Dies ist kein Zufall. Bei dieser Spalte handelt es sich um die aufaddierten (kumulierten) absoluten Häufigkeiten.

    Die relativen Häufigkeiten in der Spalte $f_k$ lassen sich durch Division ermitteln. Schau dir beispielsweise $f_6 = 0,12$ an. Dieser Wert ergibt sich durch $\frac6{50} = \frac{3}{25} = 0,12$.

  • Vervollständige die Werte und Bezeichnungen der Häufigkeiten in der Notentabelle.

    Tipps

    In dieser Klassenarbeit haben $3$ Schüler eine $1$ und $12$ Schüler eine $2$ geschrieben. Das erkennst du in der Spalte $h_k$.

    Also haben $12+3 = 15$ Schüler eine $2$ oder eine bessere Note geschrieben.

    Die $15$ erkennst du bei den kumulierten (aufaddierten) absoluten Häufigkeiten in der Spalte $hc_k$.

    Lösung

    Merkmale können verschiedene Werte oder Zustände annehmen, diese werden auch als Merkmalsausprägung bezeichnet. Das Merkmal Schulnote kann hier die Merkmalsausprägungen $1$ bis $5$ annehmen.

    Die Reihenfolge, wie du die Lücken in der Tabelle füllst, muss nicht mit der hier dargestellten übereinstimmen.

    Die beiden Spalten, bei denen die „Überschrift“ fehlt, werden von links nach rechts mit $h_k$ (absolute Häufigkeit) und $f_k$ (relative Häufigkeit) bezeichnet. Dies erkennst du daran, dass absolute Häufigkeiten eine Anzahl sind, während relative Häufigkeiten einen Wert zwischen $0$ und $1$ annehmen.

    Die beiden anderen Spalten stellen die entsprechenden kumulierten (aufaddierten) Häufigkeiten dar.

    Nun siehst du für jede Spalte ein Beispiel, wie sich die fehlenden Werte ermitteln lassen:

    Spalte $h_k$
    Der Wert $h_3$ lässt sich zum Beispiel durch die Subtraktion $37-15=22$ aus der Spalte $hc_k$ ermitteln.

    Spalte $f_k$
    Ebenso lässt sich der Wert $f_2$ aus der Subtraktion der Werte $0,30 - 0,06 = 0,24$ aus der Spalte $fc_k$ ermitteln.

    Spalte $hc_k$
    In dieser Spalte fehlt nur ein Wert. Da diese Spalte die absoluten Häufigkeiten aufaddiert und dies der erste Eintrag ist, gilt $hc_1 = h_1 = 3$.

    Spalte $fc_k$
    Auch in dieser Spalte fehlt nur ein Wert. Der zugehörige Wert in der Spalte $f_3$ ist $0,44$. Also gilt $fc_k = 0,30 + 0,44 = 0,74$.

  • Ordne die Werte in die Häufigkeitstabelle des Boxvereines ein.

    Tipps

    Die relative Häufigkeit ergibt sich aus den Quotienten zweier Parameter, die eine direkte Anzahl angeben.

    Die letzte kumulierte prozentuale Häufigkeit beträgt $100$.

    Die letzte kumulierte absolute Häufigkeit gibt die Gesamtzahl aller Messergebnisse an.

    Die prozentuale Häufigkeit wird wie folgt berechnet: $p_{k}=\dfrac{h_{k}}{\text{Umfang der Stichprobe}}\cdot 100$

    Lösung

    Es ergibt sich folgende Lösung:

    Bei dem folgenden Lösungsweg handelt es sich um eine exemplarische Lösung. Die einzelnen Lösungen können in unterschiedlicher Reihenfolge bestimmt werden.

    $1.$ Zeile: ${k}$ entspricht den geordneten Merkmalsausprägungen der einzelnen Gewichtsklassen. Die absolute Häufigkeit $h_{k}$ ist gegeben. In der zweiten Spalte sind die Werte nicht aufsteigend (siehe letzte und vorletzte Zeile), daher kann es sich nicht um eine der beiden kumulierten Häufigkeiten handeln. Es bleibt nur noch die prozentuale Häufigkeit als mögliche Lösung. Der letzte Wert der $3.$ Spalte ist die $75$, damit muss es sich um die kumulierte absolute Häufigkeit $hc_{k}$ handeln. Da die letzte kumulierte prozentuale Häufigkeit $100$ beträgt, ist $pc_{k}$ damit der $4.$ Spalte zu zuordnen und in deren letzte Zeile der Wert $100$.

    $2.$ Zeile: Der Wert der kumulierten absoluten Häufigkeit entspricht in der $1.$ Zeile dem Wert der absoluten Häufigkeit. Der absoluten Häufigkeit ist also der Wert $9$ zu zuweisen. Das gleiche Argument gilt für den Wert der kumulierten prozentualen Häufigkeit und der prozentualen Häufigkeit. Also ist der prozentualen Häufigkeit der Wert $12$ zu zuordnen.

    $3.$ Zeile: Gegeben ist der Wert der kumulierten absoluten Häufigkeit mit $hc_{2}=39$. Die kumulierte absolute Häufigkeit berechnet sich aus der Summe der beiden absoluten Häufigkeiten wie folgt: $hc_{2}=h_{1}+h_{2}=9+h_{2}=39$.
    Wird die Gleichung nach $h_{2}$ umgestellt, ergibt sich der Wert der absoluten Häufigkeit $h_{2}=39-h_{1}=39-9=30$. Um nun die prozentuale Häufigkeit zu bestimmen, wird der Wert der absoluten Häufigkeit $h_{2}$ durch die Gesamtzahl der Messergebnisse beziehungsweise den Umfang der Stichprobe $n$ geteilt und mit $100$ multipliziert.
    $p_{2}=\dfrac{h_{2}}{\text{Umfang der Stichprobe}}\cdot 100=\dfrac{h_{2}}{n}\cdot 100=\frac{30}{75}\cdot 100=\frac{3000}{75}=40$.
    Die kumulierte prozentuale Häufigkeit wird über die Summe der beiden prozentualen Häufigkeiten berechnet mit $pc_{2}=p_{1}+p_{2}=12+40=52$.

    $4.$ Zeile: Die gesuchte kumulierte absolute Häufigkeit lässt sich über die Summe der Merkmalsausprägung Mittelgewicht und vorherige wie folgt berechnen: $hc_{3}=h_{1}+h_{2}+h_{3}=9+30+15=54$. Alternativ lässt sich die kumulierte absolute Häufigkeit auch über die Summe der vorangegangen kumulierte absolute Häufigkeit und der absoluten Häufigkeit der betrachteten Merkmalsausprägung bestimmen: $hc_{3}=hc_{2}+h_{3}=39+15=54$.
    Diese Rechnung ist gleichwertig, da für $hc_{2}=h_{1}+h_{2}$ gilt. Die gleiche Überlegung kann für die kumulierte prozentuale Häufigkeit angewandt werden. Im Folgenden wurden beide Varianten zusammengefasst: $pc_{3}=p_{1}+p_{2}+p_{3}=pc_{2}+p_{3}=52+20=72$.

    $5.$ Zeile: Bei der kumulierten prozentualen Häufigkeit handelt es sich um die letzte kumulierte prozentuale Häufigkeit und diese beträgt immer $100$. Die gesuchte fehlende absolute Häufigkeit lässt sich zum Beispiel über Umstellen der Formel der prozentualen Häufigkeit bestimmen:
    $p_{4}=\dfrac{h_{4}}{n}\cdot 100 \rightarrow h_{4}=\dfrac{p_{4}}{100}\cdot n=\dfrac{28}{100}\cdot 75=21$.
    Schneller geht es jedoch über die Differenz der Gesamtzahl aller Messergebnisse mit der kumulierten absoluten Häufigkeit: $h_{4}=n-hc_{3}=75-54=21$, da $hc_{3}=h_{1}+h_{2}+h_{3}$.

  • Ermittle die passenden Paarungen von Kenngröße und deren zugehörigem Anwendungsbeispiel.

    Tipps

    Die absolute und die kumulierte absolute Häufigkeit beschreibt jeweils eine Anzahl keinen Anteil.

    Wird eine Zufriedenheit und besser betrachtet, so wird eine kumulierte Größe gesucht.

    Lösung
    • absolute Häufigkeit: Die $534$ Kunden entsprechen, der Anzahl der Kunden mit der einzelnen Merkmalsausprägung („zufrieden“). Demnach wurde die absoluten Häufigkeit der Ausprägung „zufrieden“ gesucht.
    • prozentuale Häufigkeit: Es handelt sich um eine prozentuale Häufigkeit, da $12$ dem prozentualen Anteil der Kunden entspricht, welche eine einzelne Merkmalsausrägung („unzufrieden“) aufweisen.
    • kumulierte prozentuale Häufigkeit: Es handelt sich bei $69\%$ um einen prozentuale Häufigkeit für mehrere Merkmalsausprägungen( "sehr zufrieden","zufrieden" und "neutral"). Deshalb ist das eine kumulierte prozentuale Häufigkeit.
    • relative Häufigkeit: Hier wurde die Anzahl (absolute Häufigkeit) einer Merkmalsausprägung („zufrieden“) durch die Gesamtanzahl aller befragten Kunden dividiert.
    • absolute kumulierte Häufigkeit: Bei der Umfragen entsprachen $623$ Kunden der Anzahl der Kunden die mindestens „eher zufrieden“ mit den Service waren. Es wird also eine Summe von absoluten Häufigkeiten für mehrere Merkmalsausprägungen („eher zufrieden“, „zufrieden“ und „sehr zufrieden“) gebildet.
  • Bestimme in den angegebenen Beispielen die umschriebenen Kenngrößen.

    Tipps

    Eine relative und eine kumulierte relative Häufigkeit kann maximal den Wert $1$ annehmen.

    Umfasst eine relative und/oder absolute Häufigkeit mehrere Merkmale, dann ist von einer kumulierten relativen beziehungsweise absoluten Häufigkeit auszugehen.

    Lösung
    1. Bei den $18$ Schülern handelt es sich um eine Anzahl, welche mehrere Merkmalsausprägungen („relativ gut“ oder besser) beschreibt, also eine kumulierte absolute Häufigkeit. Die $6$ beziehen sich auf eine Anzahl bezüglich der einen Merkmalsausprägung „gar nicht“ und sind deshalb eine absolute Häufigkeit.
    2. Der Anteil gibt dir den Hinweis auf eine relative Häufigkeit. Es wurden die beiden niedrigsten Altersgrenzen (unter $20$ und zwischen $20$ und $30$) betrachtet. Demnach handelt es sich um eine kumulierte relative Häufigkeit. Im zweiten Teil wurde der Anteil einer spezifischen Altersgrenze betrachtet, also eine relative Häufigkeit. Auch die letzte Größe bezieht sich auf eine spezifische Altersgrenze jedoch wurde hier eine konkrete Anzahl angegeben. Es liegt also eine absolute Häufigkeit vor.
    3. Die Anzahl von Absolventen mit einem Notendurchschnitt von genau $2,0$ entspricht der absoluten Häufigkeit, wohingegen die Anzahl der Schüler mit einem Durchschnitt von $2,0$ und besser einer kumulierten absoluten Häufigkeit entspricht. Die zugehörigere Anteilsgröße bezüglich aller Abiturienten ist durch die kumulierte relative Häufigkeit $0,26$ gegeben.
    4. Als Spitzenreiter sind die Giraffen die größten Tiere des Zoos. Es wird also ein einzelner Größenbereich betrachtet. Da eine genaue Anzahl der Tiere angegeben wurde, handelt es sich um eine absolute Häufigkeit. Im Gegensatz dazu wurden mit $20~\text{cm}$ und kleiner mehrere Größenbereiche und deren Anteil bezüglich der Gesamtanzahl der Zootiere bestimmt. Es handelt sich deshalb um eine kumulierte relative Häufigkeit.