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Kugeloberfläche – Formel, Beispiel und Herleitung

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Martin Wabnik
Kugeloberfläche – Formel, Beispiel und Herleitung
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Kugeloberfläche – Formel, Beispiel und Herleitung

Die Formel der Kugeloberfläche ist: O = 4pir². (Manchmal wird die Oberfläche aber auch mit A bezeichnet.) Im Video kannst du sehen, wie du diese Formel anwenden kannst und wie sie hergeleitet wird. Für die Herleitung setzen wir die Formel des Kugelvolumens voraus. Indem wir das Volumen der Kugel in kleine Pyramiden einteilen, können wir dann die Formel für die Oberfläche herleiten. Ricarda zeigt das im Video an einer großen Diskokugel, deren Oberfläche mit kleinen quadratischen Spiegeln bedeckt ist.

Transkript Kugeloberfläche – Formel, Beispiel und Herleitung

Hi! Das hier neben mir ist eine Kugel. Wenn wir wissen wollen, welche Oberfläche die hat, brauchen wir den Radius. Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers. Also, Durchmesser, Radius. Und dann können wir mit der Formel die Oberfläche bestimmen. Die Formel für die Kugeloberfläche OK lautet: 4 * π * r². Oder man kann das Ganze auch vom Durchmesser abhängig machen und dann haben wir: π * d². Wenn wir für r 25 einsetzen, also 25cm. Dann haben wir die Kugeloberfläche OK, in diesem Fall mit: 4 * π * 25² cm². Und das ist ungefähr = 7853,98cm².Und jetzt können wir uns noch überlegen, wie wir auf die Formel kommen. Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Formel herzuleiten. Und wir nehmen die Herleitung, für die wir die Volumenformel und diese Diskokugel brauchen. Auf der Oberfläche sind kleine quadratische Spiegel und wir können uns vorstellen, dass die Kugel aus lauter Pyramiden besteht. Deren Grundflächen die Spiegelquadrate sind und deren Spitzen alle im Mittelpunkt zusammenlaufen. Das bedeutet die Pyramide hier, wäre so angeordnet. Und die Pyramide hier, wäre so angeordnet. Das Volumen der Pyramide ist Grundfläche * Höhe / 3. Und die Höhe jeder Pyramide ist gleich dem Radius der Kugel. Die Gesamtheit aller Grundflächen ist die Kugeloberfläche. Das Volumen der Kugel ist demnach Oberfläche * Radius / 3. Der Rest ist dann nur noch Formalkram.Das Volumen einer Pyramide ist Grundseite * Höhe. Die Höhe ist bei uns r, also der Radius. Und wenn wir jetzt die Volumina mehrerer Pyramiden addieren, die alle die gleiche Höhe haben, dann sieht das ungefähr so aus und wir können etwas ausklammern. Nämlich r/3. Und haben hier in der Klammer dann die Summe aller Grundflächen. Wir haben gesehen, dass die Summe aller Grundflächen, also die Summen der Flächen aller Spiegel, fast genau so groß ist wie die Oberfläche der Kugel und das legt die Behauptung nahe, dass das Volumen der Kugel = r / 3 * Oberfläche der Kugel ist. Diese Formel ist richtig. Um diese aber zu beweisen, müssten wir zeigen, dass der Grenzwert, also der Limes für n gegen Unendlich der Summen der Pyramidengrundflächen tatsächlich gleich der Oberfläche der Kugel ist. Dazu brauchen wir aber die Mittel der Analysis, die sind in diesem Video jetzt nicht vorausgesetzt worden und deshalb lassen wir das jetzt mit dem Beweis. Wir gehen also jetzt davon aus, dass r / 3 * Oberfläche der Kugel = Volumen der Kugel ist und können das dann gleichsetzen mit: 4/3 * π * r³. Das kennen wir schon, das ist die Formel für das Kugelvolumen. Jetzt können wir auf beiden Seiten durch r/3 teilen und erhalten dann: OK = 4 * π * r². Ja und das wollten wir zeigen. Das ist die Formel für die Kugeloberfläche.So, dann sind wir fertig. Wir haben die Kugeloberflächenformel, haben eine Oberfläche ausgerechnet und haben auch die Herleitung gesehen. Ciao!

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