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Komplementärregel

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Martin Wabnik
Komplementärregel
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Grundlagen zum Thema Komplementärregel

Inhalt

Einführung: Was ist ein Komplementärereignis?

In der Wahrscheinlichkeitsrechnung bezeichnen wir die möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments als Ergebnisse. In der Ergebnismenge $\Omega$ werden alle Ergebnisse zusammengefasst. Ein Ereignis $E$ ist eine Teilmenge der Ergebnismenge: $E \subset \Omega$. Sie besteht aus allen Ergebnissen, die zu dem Ereignis gehören. Das Komplementärereignis oder Gegenereignis $\bar{E}$ zu einem Ereignis $E$ umfasst alle Ergebnisse, die nicht zu $E$ gehören.

Komplementärereignis: Beispiele beim Würfeln:

  • $E: \text{'gerade'} \rightarrow \bar{E}: \text{'ungerade'}$
  • $E: \text{'größer als } 4 \text{'} \rightarrow \bar{E}: \text{'kleiner gleich } 4\text{'}$

Das Gegenereignis kann dir auch helfen, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen. Dazu nutzen wir die Komplementärregel, die im Folgenden einfach erklärt wird.

Was ist die Komplementärregel?

Die Komplementärregel besagt, dass die Wahrscheinlichkeiten von einem Ereignis $E$ und seinem Gegenereignis $\bar{E}$ immer $1$ ergeben. Dies ergibt sich daraus, da das Gegenereignis $\bar{E}$ stets alle Ergebnisse umfasst, die nicht zum Ereignis $E$ gehören. Zusammen umfassen beide Ereignisse daher ganz $\Omega$. Es gilt:
$P(E) + P(\bar{E}) = 1$

Komplementärregel – Definition

$P(E_{1}) + P(E_{2}) = 1$, falls gilt: $E_{1} \cap E_{2} = \emptyset$ und $E_{1} \cup E_{2} = \Omega$

Ein Ereignis und sein Gegenereignis erfüllen immer diese Bedingungen. Ihre Schnittmenge ist die leere Menge: $E \cap \bar{E} = \emptyset$, wir sprechen auch von disjunkten Ereignissen. Und ihre Vereinigungsmenge ist die gesamte Ergebnismenge: $E \cup \bar{E} = \Omega$.

Komplementärregel – Beispiel

Betrachten wir am Beispiel einer Münze, die zweimal geworfen wird, wie wir mit der Komplementärregel Wahrscheinlichkeiten schneller bestimmen können.
Wir wollen die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $E: \text{mindestens einmal Sofa}$ berechnen.

Komplementärregel Mathe

Du siehst hier das Baumdiagramm zu unserem Zufallsversuch. Das Ereignis $E$ umfasst die drei Ergebnisse $(\text{Sofa, Sofa}), \text{(Sofa, Zahl})$ und $\text{(Zahl, Sofa})$. Wir könnten nun mit der Pfadregel die drei Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse berechnen und zur Wahrscheinlichkeit von $E$ addieren.

Schneller und einfacher können wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit ermitteln, indem wir das Gegenereignis $\bar{E}$ betrachten: Das wäre hier $\bar{E}: \text{keinmal Sofa}$. Im Baumdiagramm ist dies gut zu erkennen. Es besteht aus allen Pfaden, die nicht zu $E$ gehören. In unserem Beispiel umfasst $\bar{E}$ also nur das Ergebnis $\text{(Zahl, Zahl})$, dessen Wahrscheinlichkeit wir mit der Pfadregel direkt berechnen können:
$P(\bar{E}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Die Komplementärregel besagt, dass gilt:
$P(E) + P(\bar{E}) = 1$

Wir stellen die Gleichung nach $P(E)$ um und setzen die Wahrscheinlichkeit des Komplementärereignisses ein:
$P(E) + P(\bar{E}) = 1 \vert - P(\bar{E})$
$P(E) = 1 - P(\bar{E})$
$P(E) = 1 - \frac{1}{4}$
$P(E) = \frac{3}{4}$

Zusammenfassung: Komplementärregel

Die Komplementärregel in der Stochastik besagt, dass sich die Wahrscheinlichkeiten von zwei Ereignissen $E_{1}$ und $ E_{2}$ zu $1$ ergänzen, wenn für die beiden Ereignisse gilt:

  • Sie sind disjunkt, das heißt, sie haben keine Schnittmenge.
  • Die Vereinigung ergibt die gesamte Ergebnismenge $\Omega$.

Diese Bedingungen sind für ein Ereignis $E$ und das zugehörige Komplementär- oder Gegenereignis $\bar{E}$ immer erfüllt. Es gilt also:
$P(E) + P(\bar{E}) = 1$

Wir können durch Umstellen der Gleichung direkt die Wahrscheinlichkeit $P(E)$ berechnen, wenn wir $P(\bar{E})$ kennen:
$P(E) = 1 - P(\bar{E})$

Weitere Aufgaben zur Komplementärregel findest du bei den Übungen zu diesem Video: Komplementärregel – Aufgabe.

Transkript Komplementärregel

Hallo, es geht um die Komplementärregel, der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Und bevor ich die zeige, darf ich noch mal eben kurz die Definition eines Ereignisses zeigen. Ein Ereignis ist eine Menge von Ergebnissen. Komischerweise gibt es mit dieser Definition immer wieder Schwierigkeiten, warum weiß ich nicht genau. sie ist ja nicht so kompliziert, aber oft passiert es, dass Schüler bei Ereignis an irgendetwas anderes denken, als an eine Menge von Ergebnissen. Die Definition ist deshalb so wichtig, weil wir zum einen jetzt hier auch bei der Komplementärregel mit Ereignissen rechnen, wie mit Mengen. Weil es ja Mengen sind. Deshalb können wir damit so rechnen. 2. bestimmen ja die Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen, über die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zum Ereignis gehören. Und dazu ist es halt wichtig, dass man begreift, dass ein Ereignis aus Ergebnissen besteht. Gut, was kann die Komplementärregel jetzt hier? Es geht darum, dass wir 2 Ereignisse E1 und E2 haben, deren ø leer ist, das heißt, sie haben keine gemeinsamen Elemente. Das ist das Zeichen für die leere Menge. Und wir können auch sagen E1 und E2 sind disjunkt. Dann soll weiter gelten, dass E1 und E2 zusammen Ω ergeben. Ω ist normalerweise die Ergebnismenge, das heißt, die Menge aller Ergebnisse. Oft bezeichnet man diese auch als S von Summe vielleicht, oder so. Ich weiß es gar nicht genau. Oder auch G für Grundmenge des Zufallsversuchs, also die Ergebnismenge kann auch Grundmenge heißen. Oder eben auch Ω. Also, wenn wir solche Art Ereignisse haben, dann gilt, dass P(E1)+P(E2)=1. Das ist die Komplementärregel. Die gibt es auch in einer anderen Version, und zwar mit den Ereignissen E und nicht E. Wie kann man sich das vorstellen? Wenn wir eine Ergebnismenge haben und ein Ereignis bilden, also eine Menge von Ergebnissen, dann können wir dieses Ereignis E nennen. Und dann haben wir in der Regel auch ein Gegenereignis, also wir können alle die Ergebnisse, die nicht zu E gehören, auch zu einem Ereignis zusammenfassen. Nämlich zu nicht E, oder E¯ sagt man auch. Es könnte natürlich sein, dass das Ereignis E aus der gesamten Ergebnismenge besteht. Gesamte Ergebnismenge ist etwas doppelt gemoppelt, weil Ergebnismenge immer meint, alle Ergebnisse. Dann wäre das Gegenereignis hier die leere Menge. Dann gehört nämlich kein Element nicht zu E. Aber in der Regel hat man ja Ereignisse so ausgezeichnet, dass es Ergebnisse in E und welche in E¯ gibt, oder eben nicht E. Das ist das Komplementärereignis, kann man auch sagen. Gegenereignis habe ich schon gesagt, da gibt es also ganz schön viele Namen für. Und dann kann man einfach aufschreiben P(E)+P(E¯)=1. Ja, Begründung ist natürlich, dass hier in der Menge E und in der Menge E¯ zusammen alle Ergebnisse sind. Ja, entweder ist ein Ergebnis in E oder es ist in E¯. Und deshalb ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, oder die Summer der Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse, die zu den beiden Ereignissen gehören =1. Denn das ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse. Und wir haben ja schon definiert, dass Wahrscheinlichkeiten immer so vergeben werden, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse =1 ist. Ich möchte ein klitzekleines Beispiel dazu zeigen, dass jetzt nicht besonders interessant ist. Das kommt erst später, wenn man so zusammengesetzte Ereignisse hat, mehrstufige Zufallsversuche hat und so weiter, dann wird es etwas spannender. Nehmen wir mal an, wir nehmen einen ganz normalen Würfel und können die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6 Würfeln und wir können jetzt ein Ereignis definieren. Zum Beispiel das Ereignis, die Zahl, die gewürfelt wird, ist kleiner als 2. Dann gehören zu diesem Ereignis, sage ich mal E1, zu dem gehören die beiden Ergebnisse 1 und 2. Und dann können wir das Ereignis E2 definieren und das besteht dann aus allen anderen Zahlen. Oder wir könnten sagen, aus den Zahlen die ≥ 3 sind. Und jetzt gilt, dass die Wahrscheinlichkeit von E1+E2=1, denn zusammen haben wir hier alle möglichen Ergebnisse. Und die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse ist =1. Noch eine kleine Sache, auf die ich hier, in diesem Zusammenhang hinweisen möchte. Es ist eigentlich klar, macht aber deutlich, worauf die ganze Sache hier hinauslaufen soll. Ich kann ja jetzt hier auf beiden Seiten -P(E¯) rechnen und habe dann 1-P(E¯) oder 1-P von nicht E. Also 1- die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses. Und warum habe ich das aufgeschrieben? Normalerweise, wenn man diese Regel anwendet, macht man das, wenn man hier ein irgendwie kompliziert zusammengesetztes Ereignis hat. Ja, was jetzt aus mehreren Teilen besteht. Und dann müsste man vielleicht, um die Wahrscheinlichkeit hier zu bestimmen, viel aufaddieren und sich viele Gedanken machen. Möglicherweise kann man die Sache dadurch vereinfachen, in dem man sich überlegt, was gehört denn nicht zu diesem Ereignis. Und das kann dann gegebenenfalls sehr, sehr einfach sein. Und dann rechnet man einfach 1- die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses und dann hat man die Wahrscheinlichkeit, dieses komplizierten Ereignisses. Das ist der Sinn der Sache, es kommen noch einfache Beispiele dazu, wo sich die Kraft hier nicht ganz entfaltet. Wie gesagt, die richtige Schönheit dieses Gesetzes, dieser Komplementärregel kommt erst ein bisschen später. Bis dahin, viel Spaß, tschüss  

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. @B Voltmer:
    Ja, damit ist hier das gleiche gemeint.
    Also in der ersten Notation ist E2 das Gegenereignis zu E1. Und in der zweiten Notation ist E Strich das Gegenereignis zu E.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor fast 3 Jahren
  2. Also ist E2 auch gleichzeitig E-Strich (beim Würfelbeispiel)?

    Von B Voltmer, vor fast 3 Jahren
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