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Hypothesentest – Münze, Annahmebereich angeben

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Hypothesentest – Münze, Annahmebereich angeben
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Hypothesentest – Münze, Annahmebereich angeben

Aufgabe: Eine Münze soll durch 200-maliges Werfen daraufhin getestet werden, ob sie fair ist. Gib den Annahmebereich bei einem Signifikanzniveau von 0,05 an. Im Video ziehen wir nur die nötigen Zahlen aus der Aufgabenstellung und wenden dann die Sigma-Regeln auf die entsprechende Binomialverteilung an. Die ausführliche Lösungsbeschreibung findest du im Folgenden: Lösung: Zunächst überlegen wir uns, was der zugrunde liegende Zufallsversuch ist: Es ist das einmalige Werfen einer Münze. Da nur die beiden Ergebnisse "Zahl" und "Kopf" eintreten können, ist dieser Zufallsversuch ein Bernoulli-Versuch. Eine Münze ist fair, wenn die Wahrscheinlichkeit für (z.B.) "Kopf" gleich ½ ist. Also ist unsere Hypothese: P(K) = ½. Durch das 200-maliege Werfen entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge 200 und jedes Ergebnis dieser Bernoulli-Kette ist ein 200er-Tupel mit den Einträgen "K" für "Kopf" oder "Z" für "Zahl". Wir definieren die Zufallsgröße X, die jedem Ergebnis die Anzahl der K's zuordnet. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ereignisse X=k (k ist hier eine Zahl zwischen 0 und 200) ist eine Binomialverteilung. Der Erwartungswert ist 200 * ½ = 100. Wir wollen die Hypothese ablehnen, wenn beim 200-maligen Werfen der Münze viel häufiger als 100 mal Kopf fällt und auch dann, wenn viel seltener als 100 mal Kopf fällt. Wir haben also einen zweiseitigen Hypothesentest. Weil das Signifikanzniveau gleich 0,05 ist, soll sich im oberen wie auch im unteren Ablehnbereich jeweils höchstens 2,5% der gesamten Wahrscheinlichkeit der Binomialverteilung befinden. Da hier die Laplace-Bedingung erfüllt ist, können wir die Sigma-Regeln anwenden und so den Annahme- und Ablehnbereich festlegen.

Transkript Hypothesentest – Münze, Annahmebereich angeben

Hallo, wir haben eine Grundaufgabe zum Hypothesentest. Eine Münze wird geworfen, um herauszufinden, ob sie fair ist. Und es soll bei gegebenem, Signifikanzniveau der Annahmebereich angegeben werden. Ja, geht sofort los. Eine Münze soll durch 200-maliges Werfen daraufhin getestet werden, ob sie fair ist. Gib den Annahmebereich bei gegebenem Signifikanzniveau von Alpha gleich Null komma Null fünf an. Wir ziehen zunächst die entscheidenden Angaben hier aus dem Aufgabentext. Wir wollen einen Hypothesentest durchführen, deshalb brauchen wir eine Hypothese, die heißt H Null. Und die Hypothese ist, dass die Münze fair ist, das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit zum Beispiel für Kopf, also für eine der beiden Seiten gleich ein halb ist. Wir wollen 200-mal werfen. Also ist der Stichprobenumfang gleich n 200. Und das Signifikanzniveau nennt sich Alpha, das ist gleich Null Komma Null fünf. Und das sind fünf Prozent. Um den Annahmebereich angeben zu können, brauchen wir eine Zufallsgröße. Und wir definieren wie üblich die Zufallsgröße X, die die Anzahl der Erfolge zählt. Ja, K soll jetzt Erfolg sein. Und rein zur Orientierung können wir uns mal die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße ansehen. Das ist ein bisschen klein und deshalb sieht man nichts. Und deshalb kommt das jetzt in größer. Hier haben wir dann die Wahrscheinlichkeit für 80 Erfolge nach oben hin abgetragen. Hier müsste dann ungefähr die Wahrscheinlichkeit für 90 Erfolge sein, für 100 Erfolge. Für 105 Erfolge ist die Wahrscheinlichkeit so groß. Die genauen Zahlen sind jetzt egal. Es geht nur um die Orientierung. Hier geht es natürlich noch weiter, das habe ich jetzt nicht weiter ausgedruckt, weil da nichts passiert. Und da passiert auch nichts weiter, da hat man einfach nur einen Strich. Wir wollen jetzt diese Wahrscheinlichkeitsverteilung in einen Annahmebereich und in zwei Ablehnbereiche unterteilen. Und da das Signifikanzniveau gleich fünf Prozent ist, sollen sich also im linken ablehnenden Bereich höchstens zwei Komma fünf Prozent der gesamten Wahrscheinlichkeit befinden. Und im rechten ablehnenden Bereich sollen sich auch höchstens zwei Komma fünf Prozent der gesamten Wahrscheinlichkeit befinden. Und unsere Aufgabe ist jetzt anzugeben, bis zu welcher Grenze der linke ablehnende Bereich geht. Und bis zu welcher Grenze der rechte ablehnende Bereich geht. Wenn wir einen Stichprobenumfang von 200 haben, dann haben wir gute Chancen die Sigma-Regeln anwenden zu können. Und dazu checken wir erstmal die Laplace-Bedingung und die ist Sigma gleich Wurzel aus n-mal p mal eins minus p größer als drei. Falls das der Fall ist, können wir die Sigma-Regeln verwenden. Sigma ist in unserem Fall Wurzel aus 200, ja, Stichprobenumfang mal Erfolgswahrscheinlichkeit p mal ein halb, ja, eins minus p ist auch ein halb, soll größer als drei sein. Wir haben hier die Wurzel aus 50. Die Wurzel aus 50 ist größer als die Wurzel aus 49. Die Wurzel aus 49 ist sieben. Und das ist größer als drei. Und weil also die Laplace-Bedingung gilt, können wir eine der Sigma-Regeln anwenden und die besagt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße x größer gleich Mü minus eins Komma neun sechs Mal Sigma ist. Und die Zufallsgröße X auch noch kleiner gleich Mü plus eins Komma neun sechs Sigma ist, ungefähr gleich Null Komma neun fünf ist. Das sind also 95 Prozent. Es sollen ja mindestens 95 Prozent der gesamten Wahrscheinlichkeit im Annahmebereich liegen, weil unser Signifikanzniveau fünf Prozent ist. So und dann können wir munter drauf los rechnen. Mü ist bei uns 100, ja. Der Erwartungswert ist n-mal p. N ist 200, p ist ein halb. Minus eins Komma neun sechs Mal Sigma. Sigma ist in unserem Fall ungefähr sieben Komma Null sieben. Und das ist ungefähr 86,14. Wir rechnen außerdem Mü, also 100 plus eins Komma neun sechs Mal Sigma, was ja in unserem Fall ungefähr sieben Komma Null sieben ist. Und das ist dann ungefähr gleich 113,86. Und nun gilt also, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zufallsgröße X größer gleich 86,14 und auch kleiner gleich 113,86 ist, ungefähr gleich 95 Prozent ist. Und deshalb haben wir einen Annahmebereich, der von 87 Erfolgen bis zu 113 Erfolgen geht. Und das hier, was wir hier stehen haben, hat nichts mit runden zu tun. Ja, man sagt ja, man rundet zur sicheren Seite oder so was. Machen wir hier aber nicht, sondern wir wenden einfach die Sigma-Regeln an, oder eine dieser Sigma-Regeln hier. Und da steht, dass die Zufallsgröße größer gleich 86,14 sein muss. Die Zufallsgröße, die die Anzahl der Erfolge zählt nimmt nur natürliche Zahlen als Werte an. Und die nächste natürliche Zahl, die größer gleich 86,14 ist, ist halt die 87. Und hier machen wir das Ganze in der anderen Richtung. So, da sind wir fertig. Das ist eine Grundaufgabe, die wir nach Schema f lösen können. Aber gut, auch das muss man sich erst mal drauf schaffen. Haben wir geschafft. Sehr, sehr gut, tschüss.

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