Gegenseitige Lage Punkt-Kreis in der Ebene
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Grundlagen zum Thema Gegenseitige Lage Punkt-Kreis in der Ebene
Hallo, mein Name ist Frank. Du weißt, wie eine Koordinatengleichung eines Kreises bestimmt wird? Diese Gleichung wird von jedem Punkt, welcher auf dem Kreisrand liegt, erfüllt. Wo liegt nun der Punkt, wenn die Koordinatengleichung nicht erfüllt ist? Diese Gleichung kann ja dadurch hergeleitet werden, dass jeder Punkt auf dem Kreisrand den gleichen Abstand zum Mittelpunkt des Kreises hat, den Radius. Das heißt, dass in dieser Gleichung dieser Abstand bereits enthalten ist. Du erfährst in diesem Video was es bedeutet, wenn der Abstand des Punktes zum Mittelpunkt größer oder kleiner als der Radius ist. Viel Spaß beim Schauen und bis zum nächsten Mal.
Transkript Gegenseitige Lage Punkt-Kreis in der Ebene
Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video betrachte ich die relative Lage eines Punktes beim Kreis in der Ebene. Das heißt ich beantworte die Frage: Wie kann ein Punkt, ein beliebiger Punkt P mit der x-Koordinate x0, y0 zu einem Kreis liegen? Was ich mal vorbereitet habe ist hier nochmal die Koordinatengleichung eines Kreises. Die ist gegeben durch (x-m1)2+(y-m2)2=r2, dabei sind x und y Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreisrand m1 und m2 die Koordinaten des Mittelpunktes und r der Radius des Kreises. Das habe ich an dem Beispiel schon mal vorbereitet: Also ein Kreis mit dem Mittelpunkt (2|1) und dem Radius 2. Und den kannst du links noch einmal sehen. Die entsprechende Koordinatengleichung lautet dann also: (x-2)2+ da ist ein Fehler, da gehört ein „y“ hin. Also (y-1)2=4 und das ist gerade der Radius im Quadrat. Und wenn wir jetzt überprüfen wie ein Punkt in Relation zu dem Kreis liegt setzen wir den Punkt, also die Koordinaten des Punktes für „x“ und „y“ ein. Und das mache ist jetzt. Mit dem ersten Punkt, das wäre der Punkt, den kannst du jetzt hier schon mal sehen P(2|3). Also wenn ich den Punkt P(2|3) koordinatenweise einsetze steht hier (2-2)2+(3-1)2. 2-2=0, 3-1=2, also da kommt tatsächlich 4 raus. Und das ist gerade, das was hier auf der rechten Seite der Koordinatengleichung steht, also r2. Und das heißt der Punkt liegt auf dem Kreisrand. Und das kannst in dieser Skizze auch sehen, also in diesem Koordinatensystem. Der Punkt (2|3) liegt auf dem Rand des Kreises. Nun schaue ich mir einen weiteren Punkt an, den Punkt Q(4|4). Auch da: Ich setzte diesen Punkt wieder koordinatenweise hier ein. Also für „x“: (4-2)2 und auch für „y“: (4-1)2. 4-2=2, 22=4, 4-1=3, 32=9 also käme hier 13 raus. Und 13 ist sicherlich größer als 4, also der quadrierte Radius. Und was heißt das? Wenn der Abstand des Punktes „Q“ zu dem Mittelpunkt größer ist als der Radius, oder anders ausgedrückt, der quadrierte Abstand größer als der quadrierte Radius, dann muss der Punkt „Q“ außerhalb des Kreises liegen. Und das kannst du auch hier links sehen. Der Punkt „Q“ hat einen Abstand zum Mittelpunkt, der größer ist als der Radius, also liegt er außerhalb. Und zu guter letzt nehme ich noch einen Punkt „R“ her. Und der sei (3|2). Und auch hier wieder: Ich setze hier in der Koordinatengleichen für „x“ 3 ein also (3-2)2 und für „y“: (2-1)2. 3-2=1, 12=1, 2-1=1, 12=1 und die Summe ist dann 2. Und das ist sicherlich kleiner als 4. Also das heißt der quadrierte Abstand zum Punkt „R“ zum Mittelpunkt ist 2 und das ist kleiner als der quadrierte Radius. Das heißt der Punkt „R“ muss innerhalb des Kreises liegen und auch das, kannst du hier links sehen. Gut es gibt also diese drei verschiedenen Lagen: Liegt auf dem Kreisrand bei Gleichheit. Liegt außerhalb des Kreises, wenn hier was rauskommt was größer ist der quadrierte Radius. Und liegt innerhalb des Kreises, wenn hier was rauskommt was kleiner als der quadrierte Radius ist. Im Folgenden werde ich mir das Ganze mal anhand eines Beispiels anschauen. Im ersten Teil dieses Videos habe ich dir gezeigt, wie ein Punkt zu einem Kreis liegen kann. Und wir hatten die drei Fälle, wenn der quadrierte Abstand des Punktes zum Mittelpunkt gerade dem quadrierten Radius entspricht, dann liegt der Punkt auf dem Kreisrand. Wenn der quadrierte Abstand größer ist als der quadrierte Radius, dann liegt der Punkt außerhalb des Kreises. Und im letzten Fall, dass der quadrierte Abstand kleiner dem quadrierten Radius ist, dann liegt der Punkt innerhalb des Kreises. Und das ganze schaue ich mir jetzt an einem Beispiel an, und zwar bei einem Flughafentower. Den kannst du hier links sehen. Der Flughafentower steht im Koordinatensystem im Ursprung, also x-Koordinaten, y-Koordinate sind 0. Und um den Flughafentower herum kann in einem Radius von hundert Kilometern jedes Flugzeug erfasst werden. Das ergibt also die Koordinatengleichung x2+y2=10000. Die ist deshalb so einfach, weil die Mittelpunktkoordinaten (0|0) sind und wenn du die hier einsetzt bekommst du eben diese Koordinatengleichung. Und nun schaue ich mir an, bei drei Flugzeugen A, B und C ob und wenn ja welches dieser Flugzeuge von dem Tower aus erfasst werden kann. Ich beginne mal mit Flugzeug A, also (-40|90) ist die Position dieses Flugzeuges. Also x = -40 und dann quadriere ich das plus 902. 1600+8100=9700. Und du siehst 9700 ist kleiner als 10000. Wir haben also diesen dritten Fall hier, das heißt der Punkt A oder das Flugzeug A befindet sich innerhalb dieses Kreises. Und das kannst du hier in dem Koordinatensystem auch schon sehen: der Punkt A liegt innerhalb. Nun schaue ich mir den Punkt B an, mit den Koordinaten (80|-70), also das Flugzeug B, wäre 802+(-70)2 also 6400+4900=11300 und 11300 ist größer als 10000 und das heißt wir haben diesen zweiten Fall: P liegt außerhalb des Kreises, in dem Fall, das Flugzeug B liegt außerhalb des Kreises. Und auch das kannst du in dem Koordinatensystem sehen. Das Flugzeug B ist andersfarbig markiert als A und nachher auch C, weil dieses Flugzeug außerhalb dieses Kreises liegt. Und zu guter letzt schaue ich mir das Flugzeug C an mit den Koordinaten (-60|-80), also (-60)2+(-80)2. 3600+6400=10000. Wird jetzt nicht überraschen, das ist der dritte Fall, den wir haben, viel mehr hier der erste Fall. Das stimmt gerade mit dem quadrierten Radius überein. Das heißt dieses Flugzeug befindet sich genau auf dem Kreisrand, auch das kannst du im Koordinatensystem sehen. Also wir können feststellen: Sowohl das Flugzeug A als auch das Flugzeug C werden von dem Tower aus erkannt. Das Flugzeug B liegt außerhalb dieses entsprechenden Bereiches und kann von dem Tower aus nicht erkannt werden. Gut. Ich fasse nochmal zusammen, was ich in diesem Video gemacht habe. Ich habe mir die relative Lage eines Punktes zu einem Kreis in der Ebene angeschaut. Dafür betrachte ich die Ebene in der Koordinatengleichung, die du hier nochmal sehen kannst. Und es gibt drei verschiedene Lagen eines Punktes zu einem Kreis. Entweder ist der Abstand, also der quadrierte Abstand des Punktes zum Mittelpunkt gerade dem quadrierten Radius, dann liegt der Punkt gerade auf dem Kreisrand. Im Fall, dass der quadrierte Abstand größer ist als der quadrierte Radius, liegt der Punkt außerhalb und bei kleiner liegt der Punkt innerhalb des Kreises. Das habe ich abschließend mit einem Beispiel nochmal gezeigt. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest. Und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Ich freue mich, wie immer, über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal. Dein Frank.
Gegenseitige Lage Punkt-Kreis in der Ebene Übung
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Beschreibe, welche verschiedenen Lagen ein Punkt zu einem Kreis haben kann.
TippsZeichne jeden der Punkte in das gleiche Koordinatensystem wie den Kreis. Dann kannst du die entsprechende Lage erkennen.
Setze die jeweiligen Koordinaten der Punkte in der Koordinatengleichung des Kreises ein.
Die Koordinatengleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M(m_1|m_2)$ und dem Radius $r$ sieht wie folgt aus
$k:(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$.
LösungHier sind die drei Punkte zu erkennen. Dabei ist auch schon zu sehen, dass
- $R$ innerhalb des Kreises,
- $P$ auf dem Kreisrand und
- $Q$ außerhalb des Kreises liegen.
$k:(x-2)^2+(y-1)^2=4$.
$\mathbf{P(2|3)}$
Es ist $(2-2)^2+(3-1)^2=2^2=4$.
Dieser Punkt liegt also auf dem Kreisrand.
Wenn der Abstand eines Punktes zum Kreismittelpunkt ebenso groß ist wie der Radius, liegt der Punkt auf dem Kreisrand.
$\mathbf{Q(4|4)}$
Es ist $(4-2)^2+(4-1)^2=13>4$.
Dieser Punkt liegt außerhalb des Kreises.
Wenn der Abstand eines Punktes zum Kreismittelpunkt größer ist als der Radius, liegt der Punkt außerhalb des Kreises.
$\mathbf{R(3|2)}$
Es ist $(3-2)^2+(2-1)^2=2<4$.
Dieser Punkt liegt innerhalb des Kreises.
Wenn der Abstand eines Punktes zum Kreismittelpunkt kleiner ist als der Radius, liegt der Punkt innerhalb des Kreises.
Übrigens: Alle obigen Aussagen gelten auch für den quadrierten Abstand und den quadrierten Radius.
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Bestimme die Positionen der Flugzeuge, welche von dem Tower aus beobachtet werden können.
TippsBeachte: Alle Flugzeuge innerhalb des Kreises oder auf dem Kreisrand können vom Tower aus beobachtet werden.
Sei $M(m_1|m_2)$ der Mittelpunkt des Kreises und $r$ der Radius. Dann ist die Kreisgleichung in Koordinatenform wie folgt gegeben
$k:(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$.
Es kann nur ein Flugzeug nicht vom Tower aus beobachtet werden.
LösungDer Tower befindet sich im Mittelpunkt eines Kreises mit dem Radius $r=100$, alle Angaben in Kilometer.
Dies führt zu der Kreisgleichung
$k:x^2+y^2=10000$.
Nun können die Koordinaten von jedem der drei Flugzeuge in dieser Gleichung eingesetzt werden:
$\mathbf{A(-40|90)}$
Es ist $(-40)^2+90^2=9700<10000$.
Das bedeutet, dass Flugzeug $A$ von dem Tower aus beobachtet werden kann.
$\mathbf{B(80|-70)}$
Es ist $80^2+(-70)^2=11300>10000$.
Dieses Flugzeug befindet sich außerhalb des Kreises und kann somit nicht vom Tower aus beobachtet werden.
$\mathbf{C(-60|80)}$
Es ist $(-60)^2+80^2=10000$.
Dieses Flugzeug befindet sich auf dem Kreisrand und kann also auch vom Tower aus beobachtet werden.
Insgesamt können also die Flugzeuge $A$ und $C$ vom Tower aus beobachtet werden.
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Entscheide, welche Punkte sich innerhalb des Kreises, auf dem Kreisrand oder außerhalb des Kreises befinden.
TippsStelle zunächst die Kreisgleichung in Koordinatenform auf.
Die Kreisgleichung in Koordinatenform lautet
$k:(x-2)^2+(y-3)^2=9$.
Setze nun für $x$ und $y$ die Koordinaten der jeweiligen Punkte ein.
Merke dir:
- Wenn der quadrierte Abstand eines Punktes zum Kreismittelpunkt ebenso groß ist wie der quadrierte Radius, liegt der Punkt auf dem Kreisrand.
- Wenn der quadrierte Abstand eines Punktes zum Kreismittelpunkt größer ist als der quadrierte Radius, liegt der Punkt außerhalb des Kreises.
- Wenn der quadrierte Abstand eines Punktes zum Kreismittelpunkt kleiner ist als der quadrierte Radius, liegt der Punkt innerhalb des Kreises.
LösungDie Kreisgleichung dieses Kreises in Koordinatenform lautet
$k:(x-2)^2+(y-3)^2=9$.
Nun kann für jeden der folgenden Punkte die x- sowie y-Koordinate in dieser Gleichung eingesetzt werden:
- $A(1|1)$ führt zu $(1-2)^2+(1-3)^2=5<9$, also liegt der Punkt $A$ innerhalb des Kreises.
- $B(5|1)$ führt zu $(5-2)^2+(1-3)^2=13>9$, also liegt der Punkt $B$ außerhalb des Kreises.
- $C(4|1)$ führt zu $(4-2)^2+(1-3)^2=8<9$, also liegt der Punkt $C$ innerhalb des Kreises.
- $D(2|0)$ führt zu $(2-2)^2+(0-3)^2=9$, also liegt der Punkt $D$ auf dem Kreisrand.
- $E(0|2)$ führt zu $(0-2)^2+(2-3)^2=5<9$, also liegt der Punkt $E$ innerhalb des Kreises.
- $F(1|6)$ führt zu $(1-2)^2+(6-3)^2=10>9$, also liegt der Punkt $F$ außerhalb des Kreises.
-
Leite jeweils die fehlende Koordinate des Punktes her.
TippsDie Kreisgleichung lautet
$k:x^2+y^2=10000$.
Setze die jeweils bekannte Größe in der Gleichung ein und forme nach der unbekannten Größe um.
Die Gerade $y=x$ ist die erste Winkelhalbierende: Wie oft schneidet diese den Kreis mit dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt?
LösungDie Kreisgleichung des Kreises mit dem Tower als Mittelpunkt und dem Radius $r=100$ lautet
$k:x^2+y^2=10000$.
Flugzeug A
Die x-Koordinate ist konstant $x=30$. Diese kann in der Koordinatengleichung eingesetzt werden:
$30^2+y^2=10000$.
Nun wird $900$ auf beiden Seiten subtrahiert zu
$y^2=9100$.
Das bedeutet:
- Für $-\sqrt{9100}<y<\sqrt{9100}$ befindet sich das Flugzeug innerhalb des Kreises.
- Für $-\sqrt{9100}=y$ oder $\sqrt{9100}=y$ befindet sich das Flugzeug auf dem Kreisrand.
- In diesen beiden Fällen kann das Flugzeug vom Tower aus beobachtet werden.
- Falls $y<-\sqrt{9100}$ oder $y>\sqrt{9100}$ ist, kann das Flugzeug nicht beobachtet werden.
Dieses Mal ist $y=50$ konstant. Dies führt zu
$x^2+2500=10000$
oder, äquivalent dazu, $x^2=7500$.
Das bedeutet:
Für $-\sqrt{7500}<x<\sqrt{7500}$ befindet sich das Flugzeug innerhalb des Kreises.
- Für $-\sqrt{7500}=y$ oder $\sqrt{7500}=y$ befindet sich das Flugzeug auf dem Kreisrand.
- In diesen beiden Fällen kann das Flugzeug vom Tower aus beobachtet werden.
- Falls $y<-\sqrt{7500}$ oder $y>\sqrt{7500}$ ist, kann das Flugzeug nicht beobachtet werden.
Dieses Mal wird $y=x$ in der Gleichung eingesetzt, was zu
$2x^2=10000$
führt. Division durch $2$ ergibt $x^2=5000$.
Nun kann wieder gefolgert werden:
Für $-\sqrt{5000}<y=x<\sqrt{5000}$ befindet sich das Flugzeug innerhalb des Kreises.
- Für $-\sqrt{5000}=y=x$ oder $\sqrt{5000}=y=x$ befindet sich das Flugzeug auf dem Kreisrand. Es gibt also zwei Schnittpunkte der Geraden mit dem Kreisrand.
- In diesen beiden Fällen kann das Flugzeug vom Tower aus beobachtet werden.
- Falls $y=x<-\sqrt{5000}$ oder $y=x>\sqrt{5000}$ ist, kann das Flugzeug nicht beobachtet werden.
-
Gib an, wie die Koordinatengleichung eines Kreises aussieht.
Tipps$x$ und $y$ sind die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreisrand.
Jeder Punkt auf dem Kreisrand hat den gleichen Abstand zu dem Kreismittelpunkt, nämlich $r$.
Der Abstand zweier Punkte wird wie folgt berechnet
$d=d(P;Q)=\sqrt{(p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2}$.
Bei der Kreisgleichung wird der quadrierte Abstand betrachtet.
LösungSei $M(m_1|_2)$ der Mittelpunkt und $r$ der Radius eines Kreises, dann ist die Kreisgleichung in Koordinatenform wie folgt gegeben
$k:(x-m_1)^2+(y-m_2)^2=r^2$.
Dabei sind $x$ und $y$ die Koordinaten eines beliebigen Punktes auf dem Kreisrand.
-
Gib die beiden Punkte der Geraden an, die sich auf dem Kreisrand befinden.
TippsDie Koordinatengleichung des Kreises lautet
$k:(x-2)^2+(y-3)^2=9$.
Wenn du in dieser Gleichung $y=x+4$ einsetzt, gelangst du zu einer quadratischen Gleichung in $x$, welche du mit Hilfe der p-q-Formel lösen kannst.
Zu jeder Lösung für $x$ erhältst du durch Einsetzen $y=x+4$.
Alle Koordinaten sind ganzzahlig.
LösungUm herauszufinden, welche Punkte der Geraden $y=x+4$ auf dem Kreisrand des abgebildeten Kreises liegen, muss man zunächst die Kreisgleichung in Koordinatenform aufstellen:
$k:(x-2)^2+(y-3)^2=9$.
Nun kann $y=x+4$ in dieser Gleichung eingesetzt werden:
$(x-2)^2+(x+4-3)^2=9$.
Diese Gleichung wird umgeformt zu
$x^2-4x+4+x^2+2x+1=9$.
Nun werden alle Terme zusammen gefasst und die Gleichung so umgeformt, dass auf der rechten Seite $0$ steht:
$2x^2-2x-4=0$.
Division durch $2$ führt zu $x^2-x-2=0$.
Diese Gleichung kann mit der p-q-Formel gelöst werden:
$x_{1,2}=0,5+\sqrt{2,25}$.
Also ist $x_1=0,5-1,5=-1$ und $x_2=0,5+1,5=2$.
Damit können auch die y-Koordinaten berechnet werden:
- $x_1=-1$ führt zu $y_1=-1+4=3$ also $S_1(-1|3)$.
- $x_2=2$ führt zu $y_2=2+4=6$ also $S_2(2|6)$.
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