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Gauß-Algorithmus - Erklärung 14:28 min

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Gauß-Algorithmus - Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gauß-Algorithmus - Erklärung kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe das Vorgehen beim Gauß-Algorithmus für ein LGS mit drei Gleichungen und drei Variablen $x$, $y$ und $z$.

    Tipps

    Zunächst muss das Gleichungssystem in die hier abgebildete Form überführt werden.

    Wenn das Gleichungssystem in die jeweilige Form überführt wurde, kann „rückwärts“ eingesetzt werden. Hierzu beginnst du mit der untersten Gleichung und arbeitest dich nach oben.

    Lösung

    Das Ziel beim Gauß-Algorithmus besteht darin, ein Gleichungssystem zu erzeugen, bei dem in der ersten Gleichung alle Variablen enthalten sind und in jeder weiteren Gleichung darunter je eine Variable eliminiert wurde. Für ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten $x$, $y$ und $z$ gehst du wie folgt vor:

    1. Es wird zunächst die Variable $x$ in der zweiten und dritten Gleichung eliminiert.
    2. Anschließend wird in der dritten Gleichung $y$ eliminiert, sodass diese nur noch die Variable $z$ enthält.
    3. Um den Wert für $z$ zu bestimmen, wird in der dritten Gleichung $z$ isoliert und bestimmt.
    4. Der Wert für $z$ wird in die zweite Gleichung eingesetzt und $y$ berechnet.
    5. Die Werte für $y$ und $z$ werden in die erste Gleichung eingesetzt und $x$ berechnet.
  • Bestimme die Lösung des linearen Gleichungssystems mittels Gauß-Algorithmus.

    Tipps

    Forme die Gleichungen so um, dass die erste Gleichung drei Variablen, die zweite zwei Variablen und die dritte eine Variable enthält.

    Nutze das Additionsverfahren, um Variablen zu eliminieren.

    Lösung

    Wir lösen das folgende Gleichungssystem mittels Gauß-Algorithmus:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 3x+2y+z &=& 7 \\ \text{II}: & 4x+3y-z &=& 2 \\ \text{III}: & -x-2y+2z &=& 6 \end{array}$

    Hierzu wird zunächst $~4\cdot \text{I}-3\cdot \text{II}=\text{IIa}~$ bestimmt.

    Für die Gleichung $\text{IIa}$ folgt:

    $\begin{array}{rll} 4\cdot (3x+2y+z)-3\cdot (4x+3y-z) &=& 4\cdot 7-3\cdot 2 \\ 12x+8y+4z-12x-9y+3z &=& 28-6 \\ -y+7z &=& 22 \\ \end{array}$

    Dann bestimmen wir $~-1\cdot \text{I}-3\cdot \text{III}=\text{IIIa}~$.

    Wir erhalten die Gleichung $\text{IIIa}$:

    $\begin{array}{rll} -1\cdot (3x+2y+z)-3\cdot (-x-2y+2z) &=& -1\cdot 7-3\cdot 6 \\ -3x-2y-z+3x+6y-6z &=& -7-18 \\ 4y-7z &=& -25 \\ \end{array}$

    Das neue Gleichungssystem lautet:

    $\begin{array}{lrcc} \text{I}: & 3x+2y+z &=& 7 \\ \text{IIa}: & -y+7z &=& 22 \\ \text{IIIa}: & 4y-7z &=& -25 \end{array}$

    Nun wird noch die Variable $y$ aus der dritten Gleichung eliminiert.

    Wir rechnen $4\cdot \text{IIa}-(-\text{IIIa})=\text{IIIb}$:

    $\begin{array}{rcl} 4\cdot ( -y+7z)+4y-7z &=& 4\cdot 22-25 \\ -4y+28z+4y-7z &=& 88-25 \\ 21z &=& 63\\ \end{array}$

    Nun haben wir die angestrebte Form für das LGS erreicht:

    $\begin{array}{lrcc} \text{I}: & 3x+2y+z &=& 7 \\ \text{IIa}: & -y+7z &=& 22 \\ \text{IIIa}: & 21z &=& 63 \end{array}$

    Damit kann man nun alle Variablen berechnen:

    $\begin{array}{rcll} 21z &=& 63 & \vert :21 \\ z &=& 3 & \end{array}$

    $z=3$ eingesetzt in $\text{IIa}$ liefert:

    $\begin{array}{rcll} -y+7\cdot 3 &=& 22 & \\ -y+21 &=& 22 & \vert -21 \\ -y &=& 1 & \vert \cdot (-1) \\ y &=& -1 & \end{array}$

    $z=3$ und $y=-1$ eingesetzt in $\text{I}$ folgt:

    $\begin{array}{rcll} 3x+2\cdot (-1)+3 &=& 7 & \\ 3x+1 &=& 7 & \vert -1\\ 3x &=& 6 & \vert :3 \\ x &=& 2 & \end{array}$

  • Ermittle mittels Gauß-Algorithmus die Lösungen der linearen Gleichungssysteme.

    Tipps

    Eliminiere zunächst aus der 2. und 3. Gleichung jeweils die Variable $x$. Eliminiere dann aus der 3. Gleichung die Variable $y$.

    Für das erste Gleichungssystem kannst du folgende Gleichungen bestimmen:

    • $2\cdot \text{I}-3\cdot \text{II}=\text{IIa}$
    • $\text{I}-(-3)\cdot \text{III}=\text{IIIa}$
    • $4\cdot \text{IIa}-5\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$
    Lösung

    Beispiel 1

    Wir lösen das erste Gleichungssystem Schritt für Schritt mittels Gauß-Algorithmus. Das zweite Gleichungssystem kannst du auf die gleiche Weise lösen.

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 3x-2y+3z &=& 11 \\ \text{II}: & 2x-3y-z &=& 3 \\ \text{III}: & -x+2y+2z &=& 1 \end{array}$

    Zunächst wird $~2\cdot \text{I}-3\cdot \text{II}=\text{IIa}~$ bestimmt.

    Für die Gleichung $\text{IIa}$ folgt:

    $\begin{array}{rcl} 2\cdot (3x-2y+3z)-3\cdot (2x-3y-z) &=& 2\cdot 11-3\cdot 3 \\ 6x-4y+6z-6x+9y+3z &=& 22-9 \\ 5y+9z &=& 13 \\ \end{array}$

    Dann bestimmen wir $~\text{I}-(-3)\cdot \text{III}=\text{IIIa}~$.

    Wir erhalten die Gleichung $\text{IIIa}$:

    $\begin{array}{rcl} 3x-2y+3z- (-3)\cdot (-x+2y+2z) &=& 11+3\cdot 1 \\ 3x-2y+3z-3x+6y+6z &=& 14 \\ 4y+9z &=& 14 \\ \end{array}$

    Das neue Gleichungssystem lautet:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 3x-2y+3z &=& 11 \\ \text{IIa}: & 5y+9z &=& 13 \\ \text{IIIa}: & 4y+9z &=& 14 \end{array}$

    Nun wird noch die Variable $y$ aus der dritten Gleichung eliminiert.

    Wir rechnen $4\cdot \text{IIa}-5\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$:

    $\begin{array}{rcl} 4\cdot (5y+9z)-5\cdot (4y+9z) &=& 4\cdot 13-5\cdot 14 \\ 20y+36z-20y-45z &=& 52-70 \\ -9z &=& -18 \\ \end{array}$

    Nun haben wir die angestrebte Form für das LGS erreicht:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 3x-2y+3z &=& 11 \\ \text{IIa}: & 5y+9z &=& 13 \\ \text{IIIb}: & -9z &=& -18 \end{array}$

    Damit kann man nun alle Variablen berechnen:

    $\begin{array}{rcll} -9z &=& -18 & \vert :(-9) \\ z &=& 2 & \end{array}$

    $z=2$ eingesetzt in $\text{IIa}$ liefert:

    $\begin{array}{rcll} 5y+9\cdot 2 &=& 13 & \\ 5y+18 &=& 13 & \vert -18 \\ 5y&=& -5 & \vert :5 \\ y &=& -1 & \end{array}$

    $z=2$ und $y=-1$ eingesetzt in $\text{I}$ folgt:

    $\begin{array}{rcll} 3x-2\cdot (-1)+3\cdot 2 &=& 11 & \\ 3x+8 &=& 11 & \vert -8\\ 3x &=& 3 & \vert :3 \\ x &=& 1 & \end{array}$

    Beispiel 2

    Hier bestimmst du folgende Gleichungen:

    • $5\cdot \text{I}-\text{II}=\text{IIa}$
    • $\text{I}-(-1)\cdot \text{III}=\text{IIIa}$
    • $5\cdot \text{IIa}-11\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$
    Damit ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & x+2y-3z &=& -1 \\ \text{IIa}: & 11y-17z &=& -16 \\ \text{IIIb}: & -8z &=& 8 \end{array}$

    Damit erhalten wir folgende Lösungen:

    • $x=2$
    • $y=-3$
    • $z=-1$
  • Erschließe die Lösungen der Gleichungssysteme.

    Tipps

    Bestimme im ersten Beispiel folgende Gleichungen:

    • $-2\cdot \text{I}-\text{II}=\text{IIa}$
    • $\text{I}-\text{III}=\text{IIIa}$
    • $-3\cdot \text{IIa}-5\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$

    Beginne bei der letzten Gleichung mit der Bestimmung der Variablen:

    • Erst $z$ mit der dritten Gleichung.
    • Dann $y$, indem du den Wert für $z$ in die zweite Gleichung einsetzt.
    • Dann $x$, indem du die Werte für $x$ und $y$ in die erste Gleichung einsetzt.

    Lösung

    Beispiel 1

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & x-2y-4z &=& -9 \\ \text{II}: & -2x-y-z &=& -4 \\ \text{III}: & x+y+5z &=& 15 \\ \\ \end{array}$

    Hier bestimmst du folgende Gleichungen:

    • $-2\cdot \text{I}-\text{II}=\text{IIa}$
    • $\text{I}-\text{III}=\text{IIIa}$
    • $-3\cdot \text{IIa}-5\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$
    Damit ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & x-2y-4z &=& -9 \\ \text{IIa}: & 5y+9z &=& 22 \\ \text{IIIb}: & 18z &=& 54 \end{array}$

    Damit erhalten wir folgende Lösungen:

    • $x=1$
    • $y=-1$
    • $z=3$
    Beispiel 2

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & -3x+2y-3z &=& -7 \\ \text{II}: & -2x+2y-7z &=& -1 \\ \text{III}: & -3x-6y+4z &=& 2 \\ \\ \end{array}$

    Hier bestimmst du folgende Gleichungen:

    • $-2\cdot \text{I}-(-3)\cdot \text{II}=\text{IIa}$
    • $\text{I}-\text{III}=\text{IIIa}$
    • $8\cdot \text{IIa}-2\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$
    Damit ergibt sich das folgende Gleichungssystem:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & -3x+2y-3z &=& -7 \\ \text{IIa}: & 2y-15z &=& 11 \\ \text{IIIb}: & -106z &=& 106 \end{array}$

    Damit erhalten wir folgende Lösungen:

    • $x=2$
    • $y=-2$
    • $z=-1$
  • Bestimme, wie du in der zweiten und dritten Gleichung die Variable $x$ eliminieren kannst.

    Tipps

    Es ist wichtig, dass beim Subtrahieren vor dem $x$ jeweils der gleiche Koeffizient steht. Andernfalls hebt sich $x$ bei der Subtraktion nicht auf.

    Betrachte das folgende Gleichungssystem:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 3x+2y &=& 7 \\ \text{II}: & 4x+3y-z &=& 10 \end{array}$

    Wenn sich $x$ bei der Subtraktion der Gleichungen aufheben soll, so musst du die erste Gleichung mit $4$ und die zweite Gleichung mit $3$ multiplizieren.

    Lösung

    Wir betrachten das folgende Gleichungssystem:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 3x+2y+z &=& 7 \\ \text{II}: & 4x+3y-z &=& 2 \\ \text{III}: & -x-2y+2z &=& 6 \end{array}$

    Wir möchten, dass sich in der zweiten und dritten Gleichung jeweils die Variable $x$ aufhebt. Hierzu nutzen wir das Additionsverfahren. Hierbei kannst du

    • entweder die Gleichungen mit dem Koeffizienten des $x$ aus der jeweils anderen Gleichung multiplizieren und sie dann subtrahieren
    • oder gemäß dem Additionsverfahren die Gleichungen mit minus mal dem Koeffizienten des $x$ aus der jeweils anderen Gleichung multiplizieren und dann addieren.
    Beide Wege liefern das gleiche Ergebnis.

    Wir möchten nun von der ersten Gleichung die zweite Gleichung so subtrahieren, dass die resultierende Gleichung kein $x$ mehr enthält. Hierzu muss die Variable $x$ in beiden Gleichungen jeweils den gleichen Koeffizienten besitzen. Also können wir die erste Gleichung zum Beispiel mit $4$ und die zweite mit $3$ multiplizieren. Dann steht in beiden Gleichungen nämlich $12$ vor dem $x$. Wir rechnen also:

    • $4\cdot \text{I}-3\cdot \text{II}$
    Möchten wir von der ersten Gleichung die dritte Gleichung subtrahieren, um $x$ zu eliminieren, müssen wir wieder so umformen, dass wir den gleichen Koeffizienten erhalten. Wir multiplizieren hierzu die erste Gleichung mit $-1$ und die zweite mit $3$:

    • $-1\cdot \text{I}-3\cdot \text{III}$
  • Ermittle die Lösung des Gleichungssystems.

    Tipps

    Vereinfache zunächst die Gleichungen. Überführe sie in die folgende Form:

    $ax+by+cz=d$

    Lösung

    Wir vereinfachen zunächst die Gleichungen:

    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 2x-4y-\frac 12z &=& -11 \\ \text{II}: & -4x+3y-z &=& 9 \\ \text{III}: & x+y+z &=& 2 \end{array}$

    Nun bestimmen wir folgende Gleichungen:

    • $-4\cdot \text{I}-2\cdot \text{II}=\text{IIa}$
    • $\text{I}-2\cdot \text{III}=\text{IIIa}$
    • $-6\cdot \text{IIa}-10\cdot \text{IIIa}=\text{IIIb}$
    $\begin{array}{cccc} \text{I}: & 2x-4y-\frac 12z &=& -11 \\ \text{IIa}: & 10y+4z &=& 26 \\ \text{IIIb}: & z &=& -6 \end{array}$

    Die Lösungen sind also:

    • $x=3$
    • $y=5$
    • $z=-6$