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Formeln umstellen Teil 1

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Formeln umstellen Teil 1
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Grundlagen zum Thema Formeln umstellen Teil 1

Inhalt

Formeln umstellen – Erklärung

Formeln sind ein essenzieller Bestandteil der Mathematik. Zusammenhänge verschiedener Größen können durch Formeln ausgedrückt werden. Somit helfen Formeln direkt, eine gesuchte Größe zu berechnen, indem gegebene Werte zur Berechnung der Größe in die Formel eingesetzt werden. Dabei werden Formeln durch mathematische Symbole und Zahlen dargestellt. Bekannte Formeln sind zum Beispiel die $pq$-Formel oder auch die binomischen Formeln. Auch zur Berechnung von Maßeinheiten werden Formeln verwendet. Charakteristisch für Formeln ist es, dass diese je nach gegebener und gesuchter Größe umgestellt werden können. Dies geschieht durch Äquivalenzumformungen.

Äquivalenzumformungen sind Umformungen von Gleichungen, die die Lösungsmenge der Gleichung unverändert lassen.

Mithilfe dieser Umformungen können Formeln gleichwertig umgestellt werden.

Entscheidend ist, dass auf beiden Seiten der Formel immer dasselbe gerechnet wird. Das heißt: Wird auf der einen Seite addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert, so muss die jeweilige Rechenoperation gleichermaßen auf der anderen Seite durchgeführt werden.

Die Umformungen werden im Folgenden durch das Äquivalenzzeichen $\Leftrightarrow$ dargestellt.

Formeln umstellen – Übungen

Beispiel: Satz des Pythagoras Für den Satz des Pythagoras ist die Formel $a^2+b^2=c^2$ allgemein geläufig. Diese können wir durch Äquivalenzumformungen beliebig nach $a^2$ oder auch $b^2$ umstellen. Soll die Formel nach $a^2$ umgestellt werden, wird wie folgt vorgegangen:

$\begin{array}{crclcl} &a^2+b^2&=&c^2&\vert&-b^2\\ \\ \Leftrightarrow&a^2&=&c^2-b^2 \end{array}$

Beispiel: Oberfläche eines Kegels oder einer Pyramide Vor allem in der Geometrie ist das Umstellen von Formeln unerlässlich, um gesuchte Größen in Abhängigkeit von gegebenen Größen zu ermitteln. Die Oberfläche $O$ eines Kegels ist gegeben als Summe der Mantelfläche $M$ und Grundfläche $G$. Diese Formel kann sowohl nach $M$ als auch nach $G$ umgestellt werden:

$\begin{array}{crclcl} &O& = & M+G&|&-G\\ \\ \Leftrightarrow&O-G& = &M \end{array} $

Ebenso kann nach $G$ umgestellt werden: $G=O-M$.

Beispiel: Volumen eines Zylinders Die Formel $V=\pi\cdot r^2\cdot h$ kann sowohl nach $h$ als auch nach $r$ umgestellt werden:

Formel umstellen nach $h$

$\begin{array}{crclcl} &V& = & \pi\cdot r^2\cdot h&|&:\pi~|~:r^2\\ \\ \Leftrightarrow&\frac{V}{\pi\cdot r^2}& = &\frac{\pi\cdot r^2\cdot h}{\pi\cdot r^2}\\ \\ \Leftrightarrow&\frac{V}{\pi\cdot r^2}& = &h \end{array} $

Formel umstellen nach $r$

$\begin{array}{crclcl} &V& = & \pi\cdot r^2\cdot h&|&:\pi~|~:h\\ \\ \Leftrightarrow&\frac{V}{\pi\cdot h}& = &\frac{\pi\cdot r^2\cdot h}{\pi\cdot h}\\ \\ \Leftrightarrow&\frac{V}{\pi\cdot h}& = &r^2&|&\sqrt{~~~}\\ \\ \Leftrightarrow&\sqrt{\frac{V}{\pi\cdot h}}&=&r \end{array} $

Beispiel: Volumen einer Kugel Die Formel zur Berechnung des Kugelvolumens lautet: $V=\frac43\cdot \pi\cdot r^3$. Soll die Formel nach $r$ umgestellt werden, wird wie folgt vorgegangen:

$\begin{array}{crclcl} &V& = & \frac43\cdot \pi\cdot r^3&|&:\pi~|~:\frac43\\ \\ \Leftrightarrow&\frac{3\cdot V}{4\cdot \pi}& = &r^3&|&\sqrt[3]{~~~}\\ \\ \Leftrightarrow&\sqrt[3]{\frac{3\cdot V}{4\cdot \pi}}&=&r \end{array} $

Stelle die Formel nach $G$ um: $O = 2G+M$
Stelle die Formel nach $c$ um: $A = \frac{a+c}{2} \cdot h$

Kontext – Physikalische Formeln umstellen

Nicht nur in der Mathematik ist das Umstellen von Formeln notwendig. Auch in der Physik müssen Formeln umgestellt werden. Die Geschwindigkeit $v$ ist das Verhältnis von Weg $s$ zur dafür benötigten Zeit $t$, also $v=\frac st$. Sind der Weg und die Zeit gegeben, kann die Geschwindigkeit durch Einsetzen berechnet werden.

Formel umstellen nach $s$ Wenn die Geschwindigkeit und die Zeit gegeben sind, muss die Formel nach dem Weg umgestellt werden:

$\begin{array}{crclcl} &v& = & \frac st&|&\cdot t\\ \\ \Leftrightarrow&v\cdot t& = &\frac st\cdot t\\ \\ \Leftrightarrow&v\cdot t& = &s \end{array} $

Der Weg $s$ ist somit das Produkt aus Geschwindigkeit $v$ und Zeit $s$. Sind die Geschwindigkeit und die Zeit gegeben, kann der Weg durch Einsetzen berechnet werden.

Formel umstellen nach $t$ Die Formel kann auch nach $t$ umgestellt werden:

$\begin{array}{crclcl} &v& = & \frac st&|&\cdot t\\ \\ \Leftrightarrow&v\cdot t& = &\frac st\cdot t\\ \\ \Leftrightarrow&v\cdot t& = &s&|&:v\\ \\ \Leftrightarrow&v\cdot t:v& = &\frac sv\\ \\ \Leftrightarrow&t& = &\frac sv&\\ \end{array} $

Stelle die Formel nach $h$ um: $v = \sqrt{2\cdot h \cdot g}$

Häufige Fragen zum Thema Formeln umstellen

Wie stellt man eine Formel richtig um?
Was versteht man unter Formeln umstellen?
Welche Formeln kann man umstellen?
In welcher Klasse lernt man Formeln umstellen?

Transkript Formeln umstellen Teil 1

Hi! In diesem Video geht es um das Umstellen von Formeln. Dazu werden wir uns einfach einen Haufen Formeln ansehen und auch wie wir diese umstellen. Ohne das im Einzelnen politisch, philosophisch zu begründen. Los geht es mit oh mein Gott. Hier haben wir die Formel für die Oberfläche einer Pyramide oder eines Kegels. Die Oberfläche ist gleich der Summe aus Mantelfläche und Grundfläche. Wenn wir nun die Oberfläche gegeben haben und die Grundfläche gegeben haben und die Mantelfläche suchen, dann können wir diese Formel nach M umstellen. Und so die Mantelfläche ausrechnen. Nach M umstellen, bedeutet, dass M einzeln auf einer Seite stehen soll und alles andere soll auf der anderen Seite der Gleichung stehen. Das machen wir mit Äquivalenzumformungen. Wir können hier, da diese beiden addiert werden, subtrahieren. Und zwar rechnen wir minus G auf beiden Seiten. Dann steht auf der linken Seite Oberfläche minus Grundfläche ist gleich Mantelfläche plus Grundfläche minus Grundfläche. Und normalerweise schreibt man das nicht hin, weil ja plus G minus G zusammen null ergibt. Also, schreiben wir einfach hin O minus G gleich M. Manche möchten, dass das M dann auf der linken Seite steht. Man kann dann natürlich hier die Gleichung noch umdrehen. Das hat aber hier nur ästhetische Wirkung. Mathematisch sind wir hier eigentlich fertig. So wie auch manche Menschen, die Gleichheitszeichen untereinander stehen haben möchten. Aber das ist dann auch Geschmackssache. Wenn wir diese oh mein Gott Formel nach G auflösen möchten, gehen wir etwas anders vor. Ja, das könnte dann der Fall sein, wenn wir also die Oberfläche und die Mantelfläche gegeben haben und nun die Grundfläche ausrechnen wollen. Dann rechnen wir minus M auf beiden Seiten und erhalten dann links Oberfläche minus Mantelfläche, also O minus M. Und auf der rechten Seite haben wir dann einfach nur noch G stehen. Und wir könnten natürlich M und minus M einfach hinschreiben, aber da es sich zu null addiert schreiben wir es gar nicht erst hin. Diese Formel ist jetzt nach G aufgelöst. Wir können, wenn wir für die Oberfläche und die Mantelfläche Zahlen einsetzen, G ausrechnen. Und wir können auch noch die Formel umstellen, dass das G links steht. Ist aber mathematisch hier nicht mehr erforderlich. Wir haben die Formel u gleich zwei a plus zwei b. Das ist die Umfangsformel eines Rechtecks. Wenn das die Seiten a sind und das hier die Seiten b sind, dann rechnen wir zwei a plus zwei b und erhalten den Umfang des Rechtecks. Wenn wir zum Beispiel den Umfang gegeben haben und die Länge einer Seite a wissen, wollen wir vielleicht die andere Seite ausrechnen und die Formel nach b umstellen. Wir rechnen dann minus zwei a, weil ja hier zwischen diesen beiden ein Plus steht. Deshalb rechnen wir hier das Gegenteil davon und das ist eben minus zwei a. Dann erhalten wir u minus zwei a auf der linken Seite und auf der rechten Seite steht dann nur noch zwei b. Jetzt wollen wir nicht wissen, wie groß zwei b ist, sondern wir wollen wissen wie groß ein b ist, deshalb teilen wir durch zwei. Ja, hier rechnen wir zwei mal b. Hier rechnen wir das Gegenteil davon, also geteilt durch zwei. Und dann haben wir auf der linken Seite stehen u minus zwei a geteilt durch zwei. Und das ist dann gleich b. Damit ist die Formel nach b umgestellt. Übrigens wenn wir nach a umstellen wollen, machen wir das im Prinzip genauso, nur dass dann hier eben nicht a sondern b steht. Wir haben die Formel für den Umfang eines Kreises. U gleich zwei Pi mal r. Pi ist eine ganz normale Zahl wie du und ich, deshalb lösen wir sowieso nicht nach Pi auf. Wenn überhaupt lösen wir die Formel nach r auf. Und weil hier multipliziert wird, machen wir hier das Gegenteil. Wir teilen nämlich durch alles, was nicht nach r aussieht. Und das ist zwei pi. Dann haben wir auf der linken Seite stehen u geteilt durch zwei Pi. Und auf der rechten Seite steht r einzeln. Hier ist die Formel das Volumen eines Zylinders. Dieses Volumen. Und wir können diese Formel nach h auflösen. Da hier multipliziert wird, machen wir hier das Gegenteil. Teilen durch alles was nicht nach h aussieht und das ist Pi mal r Quadrat. Und dann steht auf der linken Seite v geteilt durch Pi r Quadrat. Und auf der rechten Seite steht h. Wir können aber auch die Formel v gleich Pi mal r Quadrat mal h nach r auflösen. Dann teilen wir durch alles, was nicht nach r Quadrat aussieht zunächst mal. Und das ist Pi mal h. Dann steht auf der linken Seite v geteilt durch pi mal h. Und auf der rechten Seite steht r Quadrat. Jetzt wollen wir nicht wissen wie groß r Quadrat ist, sondern wir wollen wissen wie groß r ist. Und können jetzt auf beiden Seiten die Wurzel ziehen. Das Wurzelziehen ist keine Äquivalenzumformung im Allgemeinen.Wir können das hier aber verwenden, weil für solche Größen, die real existieren nur positive Längen zugelassen sind oder diese auch nur positive Längen haben und keine Negativen. Deshalb können wir hier einfach die Wurzel ziehen. Wir haben dann auf der linken Seite Wurzel aus v geteilt durch Pi mal h. Und auf der rechten Seite steht einfach r, weil wir ja aus r Quadrat die Wurzel gezogen haben und uns nur für den positiven Teil interessieren. Wir haben die Formel für das Volumen einer Kugel. Sie lautet v gleich vier Drittel Pi mal r hoch drei. Wir können nach r auflösen und dafür teilen wir erst mal durch das, womit r hoch drei multipliziert wird. Nämlich wir teilen durch vier Drittel Pi. Dann erhalten wir auf der linken Seite drei Viertel v durch Pi. Ja, man teilt durch einen Bruch indem man mit dem Kehrwert multipliziert. Und auf der rechten Seite haben wir noch r hoch drei. Nun wollen wir ja nach r auflösen und nicht r hoch drei. Deshalb ziehen wir noch die dritte Wurzel auf beiden Seiten. Dann haben wir auf der linken Seite drei V. Ja, das kann man auch so auf einen Bruchstrich schreiben hier. Geteilt durch vier Pi. Daraus die dritte Wurzel. Und auf der rechten Seite steht noch r einzeln, und das wollten wir erreichen.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. echt super!

    Von Deleted User 644916, vor etwa 3 Jahren
  2. Tolles Video, echt suuuupi erklärt!!!!
    ;-)
    :-)

    Von Jonas Nelly b., vor etwa 4 Jahren

Formeln umstellen Teil 1 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Formeln umstellen Teil 1 kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die jeweiligen Umformungen der Formel $O=M+G$ an.

    Tipps

    Du kannst eine Formel mittels Äquivalenzumformungen umstellen. Dabei führst du auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Operation durch.

    Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises kannst du zum Beispiel wie folgt nach dem Radius $r$ umstellen:

    $\begin{array}{llll} A &=& \pi\cdot r^2 & \vert :\pi \\ \frac A\pi &=& r^2 & \vert \sqrt{~~} \\ \sqrt{\frac A\pi} &=& r & \end{array}$

    Obwohl das Ziehen der Quadratwurzel keine Äquivalenzumformung ist, kann es hier trotzdem durchgeführt werden, da die Oberfläche einen positiven Wert haben muss.

    Lösung

    Du kannst eine Formel mittels Äquivalenzumformungen umstellen. Dabei führst du auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Operation durch. Dein Ziel ist es, die Größe, die du berechnen möchtest, allein auf einer Seite der Gleichung stehen zu haben. Dies kannst du auf unterschiedliche Weise erreichen. Es ist allerdings sinnvoll die Variante zu wählen, bei der du am wenigsten rechnen und schreiben musst. Damit erhalten wir für $O=M+G$ die folgenden Umformungen:

    Nach $M$ umstellen

    $\begin{array}{llll} O &=& M+G & \vert -G \\ O\color{#669900}{-G} &=& M+G\color{#669900}{-G} & \\ O-G &=& M & \end{array}$

    Nach $G$ umstellen

    $\begin{array}{llll} O &=& M+G & \vert -M \\ O\color{#669900}{-M} &=& M+G\color{#669900}{-M} & \\ O-M &=& G & \end{array}$

  • Bestimme die Umformungen nach dem Radius $r$.

    Tipps

    Teilst du eine Zahl durch einen Bruch, so musst du die Zahl mit dem Kehrwert des Bruchs multiplizieren.

    Wenn du nach einer Größe umstellen möchtest, die in der Formel zur zweiten Potenz erhoben ist, so musst du auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel ziehen. Allerdings muss hierzu die jeweilige Größe, die quadriert wird, allein auf einer Seite der Gleichung stehen. Dies kannst du aber nur machen, weil wir wissen, dass das Ergebnis positiv sein muss. Das Ziehen der Quadratwurzel ist keine Äquivalenzumformung.

    So stellst du folgende Formel nach der Seite $a$ um:

    $\begin{array}{llll} V &=& a^3 & \vert \sqrt[3]{~~} \\ \sqrt[3]{V} &=& a & \end{array}$

    Lösung

    Du kannst eine Formel mittels Äquivalenzumformungen umstellen. Dabei führst du auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Operation durch. Dein Ziel ist es, die Größe, die du berechnen möchtest, allein auf einer Seite der Gleichung stehen zu haben. Dies kannst du auf unterschiedliche Weise erreichen. Es ist allerdings sinnvoll, die Variante zu wählen, bei der du am wenigsten rechnen und schreiben musst.

    Wenn du nach einer Größe umstellen möchtest, die in der Formel zu einer Potenz erhoben ist, so musst du auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel mit dem entsprechenden Wurzelexponenten ziehen. Ist die Größe also zur zweiten Potenz erhoben, so ziehst du auf beiden Seiten die Quadratwurzel. Allerdings muss hierzu die jeweilige Potenz allein auf einer Seite der Gleichung stehen. Diesen Schritt kannst du aber nur machen, weil wir wissen, dass das Ergebnis positiv sein muss. Das Ziehen der Quadratwurzel ist keine Äquivalenzumformung.

    Wir erhalten folgende Umformungen nach dem Radius $r$:

    Umfang eines Kreises: $~U=2\pi r$

    $\begin{array}{llll} \\ U &=& 2\pi r & \vert :(2\pi) \\ \dfrac U{2\pi} &=& r & \\ \\ \end{array}$

    Volumen eines Zylinders: $~V=\pi r^2h$

    $\begin{array}{llll} \\ V &=& \pi r^2h & \vert :(\pi h) \\ \dfrac V{\pi h} &=& r^2 & \vert \sqrt{~~} \\ \sqrt{\dfrac V{\pi h}} &=& r & \\ \\ \end{array}$

    Volumen einer Kugel: $~V=\dfrac 43\pi r^3$

    $\begin{array}{llll} \\ V &=& \dfrac 43\pi r^3 & \vert :(\dfrac 43\pi) \\ \dfrac {3V}{4\pi} &=& r^3 & \vert \sqrt[3]{~~} \\ \sqrt[3]{\dfrac {3V}{4\pi}} &=& r & \\ \\ \end{array}$

  • Ermittle die nach dem Radius $r$ umgestellten Formeln.

    Tipps

    Nutze die jeweiligen Umkehroperationen, um alle Größen bis auf den Radius $r$ auf eine Seite der Gleichung zu bringen. Die Umkehroperation zur ...

    • ... Addition ist die Subtraktion.
    • ... Subtraktion ist die Addition.
    • ... Multiplikation ist die Division.
    • ... Division ist die Multiplikation.

    Sieh dir an, wie du die Formel für das Volumen eines Kegels nach der Kegelhöhe umstellen kannst:

    $\begin{array}{llll} V &=& \dfrac 13 \pi r^3h & \vert :(\dfrac 13\pi r^3) \\ \dfrac{3V}{\pi r^3} &=& h & \end{array}$

    Lösung

    Wir stellen nun die Formeln mittels Äquivalenzumformungen um. Hierzu nutzen wir die jeweiligen Umkehroperationen, um so alle Größen bis auf den Radius $r$ auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

    Wenn in einer Formel der Radius $r$ zu einer Potenz erhoben ist, so müssen wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel mit dem entsprechenden Wurzelexponenten ziehen. Ist die Größe also zur zweiten Potenz erhoben, so ziehen wir auf beiden Seiten die Quadratwurzel. Allerdings muss hierzu die jeweilige Potenz allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

    Wir erhalten die folgenden Umformungen:

    Mantelfläche Zylinder:

    $\begin{array}{llll} M &=& 2\pi rh & \vert :(2\pi h) \\ \dfrac{M}{2\pi h} &=& r & \end{array}$

    Volumen Kegel:

    $\begin{array}{llll} V &=& \dfrac 13 \pi r^3h & \vert :(\dfrac 13 \pi h) \\ \dfrac{3V}{\pi h} &=& r^3 & \vert \sqrt[3]{~~} \\ \sqrt[3]{\dfrac{3V}{\pi h}} &=& r & \end{array}$

    Oberfläche Kugel:

    $\begin{array}{llll} O &=& 4\pi r^2 & \vert :4\pi \\ \dfrac{O}{4\pi} &=& r^2 & \vert \sqrt{~~} \\ \sqrt{\dfrac{O}{4\pi}} &=& r & \end{array}$

    Flächeninhalt Kreis:

    $\begin{array}{llll} A &=& \pi r^2 & \vert :\pi \\ \dfrac A\pi &=& r^2 & \vert \sqrt{~~} \\ \sqrt{\dfrac A\pi} &=& r & \end{array}$

  • Erschließe die gesuchten Umformungen.

    Tipps

    Du kannst eine Quadratwurzel auch als eine Potenz mit dem Exponenten $\frac 12$ schreiben.

    Beispiel: $\sqrt{a} = a^{\frac 12}$

    Möchtest du einen Faktor von einer Seite der Gleichung auf die andere bringen, so musst du beide Seiten der Gleichung durch diesen Faktor teilen.

    Das Teilen durch einen Bruch ist dasselbe wie die Multiplikation mit dem Kehrwert. Musst du beispielsweise durch $\frac 13$ teilen, so führst du diese Rechung aus, indem du mit $\frac 31 = 3$ multiplizierst.

    Lösung

    Wir stellen die Formel um, indem wir alle Größen bis auf die, nach der wir umstellen möchten, auf eine Seite der Gleichung bringen. Dabei gehen wir wie folgt vor:

    • Möchten wir einen Faktor von einer Seite der Gleichung auf die andere bringen, so müssen wir beide Seiten der Gleichung durch diesen Faktor teilen.
    • Ist die Größe, nach der wir umstellen möchten, zur zweiten Potenz erhoben, müssen wir im letzten Umformungsschritt die Quadratwurzel ziehen.
    • Eine Quadratwurzel können wir auch als Potenz mit dem Exponenten $\frac 12$ schreiben.
    Unter Berücksichtigung dieser Punkte erhalten wir:

    Umstellung nach $a$:

    $\begin{array}{lllll} & s &=& \frac 12 \cdot a\cdot t^2 & \vert \cdot 2 \\ & 2s &=& a\cdot t^2 & \vert :t^2 \\ & \dfrac{2s}{t^2} &=& a & \end{array}$

    Umstellung nach $t$:

    $\begin{array}{lllll} & s &=& \frac 12 \cdot a\cdot t^2 & \vert \cdot 2 \\ & 2s &=& a\cdot t^2 & \vert :a \\ & \dfrac{2s}{a} &=& t^2 & \vert \sqrt{~~} \\ & \sqrt{\dfrac{2s}{a}} &=& t & \end{array}$

  • Gib die Umformung der Formel für den Umfang eines Rechtecks nach der Seite $b$ an.

    Tipps

    Hier siehst du, wie du die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks $\Delta_{ABC}$ mit den Katheten $a$ und $b$ nach der Seite $a$ umstellen kannst:

    $\begin{array}{llll} A &=& \dfrac {a\cdot b}{2} & \vert \cdot 2 \\ A\cdot 2 &=& a\cdot b & \vert :b \\ \dfrac{A\cdot 2}{b} &=& a & \end{array}$

    Es gilt:

    • $\dfrac {(a+b)}{2}=(a+b):2$
    • $2ab=2\cdot a\cdot b$
    Lösung

    Du kannst eine Formel mittels Äquivalenzumformungen umstellen. Dabei führst du auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Operation durch. Es handelt sich hierbei um Umkehroperationen, das heißt zum Beispiel, dass du eine Größe addierst, wenn diese auf der Seite der Gleichung, auf der sie „verschwinden“ soll, subtrahiert wird. Dein Ziel ist es, auf diese Weise diejenige Größe, die du berechnen möchtest, allein auf einer Seite der Gleichung stehen zu haben. Dies kannst du auf unterschiedliche Weise erreichen. Es ist allerdings sinnvoll, die Variante zu wählen, bei der du am wenigsten rechnen und schreiben musst.

    Die Formel für den Umfang $U$ eines Rechtecks mit den Seiten $a$ und $b$ kannst du wie folgt nach $b$ umstellen:

    $\begin{array}{llll} U &=& 2a+2b & \vert -2a \\ U-2a &=& 2b & \vert :2 \\ (U-2a):2 &=& b & \end{array}$

  • Leite die Umformungen nach den Längen $a$, $b$ und $c$ her.

    Tipps

    Wenn du einen Summanden von einer Seite der Gleichung auf die andere bringen möchtest, so musst du diesen von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

    Ist die Größe, nach der du umstellen möchtest, zur zweiten Potenz erhoben, so musst du im letzten Umformungsschritt auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel ziehen.

    Ist die Größe, nach der du umstellen möchtest, in zwei Summanden enthalten, so kannst du diesen ausklammern. Es gilt zum Beispiel:

    • $ab+ac=a(b+c)$

    Du kannst Rechenoperationen unterschiedlich darstellen. Eine Division kann auch in Form eines Bruchs geschrieben werden. Eine Quadratwurzel entspricht ebenso einer Potenz mit dem Exponenten $\frac 12$.

    Lösung

    Wir können beim Umstellen dieser Gleichungen unterschiedlich vorgehen. Auch können wir die Endversion der Gleichung auf mehrere Weisen angeben. Es gibt nämlich verschiedene Möglichkeiten eine Rechenoperation anzugeben: Eine Division kann auch in Form eines Bruchs geschrieben werden. Eine Quadratwurzel entspricht ebenso einer Potenz mit dem Exponenten $\frac 12$. Beim Umstellen der Gleichungen führst du immer die entsprechende Umkehroperation zu der Größe, die du auf die andere Seite der Gleichung bringen möchtest, durch:

    • Wenn du also einen Summanden von einer Seite der Gleichung auf die andere bringen möchtest, so musst du diesen von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
    • Ist die Größe, nach der du umstellen möchtest, zur zweiten Potenz erhoben, so musst du im letzten Umformungsschritt auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel ziehen.
    • Ist die Größe, nach der du umstellen möchtest, in zwei Summanden enthalten, so kannst du sie ausklammern.
    So erhalten wir die folgenden Umformungen:

    Satz des Pythagoras: $~c^2=a^2+b^2$

    Ziehen wir auf beiden Seiten die Quadratwurzel, so erhalten wir bereits die Umstellung nach $c$:

    • $c=\sqrt{a^2+b^2}$
    Wir können die Quadratwurzel auch als Potenz mit dem Exponenten $\frac 12$ schreiben:

    • $c=(a^2+b^2)^\frac 12$
    Für $a$ und $b$ erhalten wir folgende Umformungen:

    $\begin{array}{llllll} && c^2 &=& a^2+b^2 & \vert -b^2 \\ && c^2-b^2 &=& a^2 & \vert \sqrt{~~} \\ && \sqrt{c^2-b^2} &=& a & \\ && (c^2-b^2)^\frac 12 &=& a & \\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{llllll} && c^2 &=& a^2+b^2 & \vert -a^2 \\ && c^2-a^2 &=& b^2 & \vert \sqrt{~~} \\ && \sqrt{c^2-a^2} &=& b & \\ && (c^2-a^2)^\frac 12 &=& b & \\ \\ \end{array}$

    Umfang eines Dreiecks: $~u=a+b+c$

    Wir erhalten hier die folgenden Umformungen:

    • Subtrahieren wir auf beiden Seiten $(a+b)$, erhalten wir: $~c=u-(a+b)$. Eine Minusklammer kannst du auflösen, indem du alle Zeichen in der Klammer umdrehst und das Minuszeichen vor der Klammer sowie die Klammern weglässt. Dann folgt: $~c=u-a-b$
    • Eine Subtraktion von $(a+c)$ auf beiden Seiten der Gleichung liefert uns: $~b=u-(a+c)=u-a-c$
    • Analog erhalten wir $a$: $~ a=u-(b+c)=u-b-c$
    Oberfläche eines Quaders: $~O = 2(ab + ac + bc)$

    Wir stellen die Gleichung zunächst nach $a$ um:

    $\begin{array}{llllll} && O &=& 2(ab + ac + bc) & \vert :2 \\ && \dfrac O2 &=& ab + ac + bc & \vert -bc \\ && \dfrac O2-bc &=& ab + ac & \\ \end{array}$

    An dieser Stelle klammern wir $a$ aus:

    $\begin{array}{llllll} && \dfrac O2-bc &=& a(b + c) & \vert :(b+c) \\ && (\dfrac O2-bc):(b+c) &=& a & \\ \end{array}$

    Wir können diesen Term auch wie folgt vereinfachen:

    • $(\dfrac O2-bc):(b+c) = (\dfrac O2-\dfrac {2bc}{2}):(b+c)=\dfrac {O-2bc}{2}:(b+c)=\dfrac {O-2bc}{2(b+c)} $
    Analog erhalten wir:

    • $b=(\dfrac O2-ac):(a+c)=\dfrac {O-2ac}{2(a+c)} $
    • $c=(\dfrac O2-ab):(a+b)=\dfrac {O-2ab}{2(a+b)} $
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