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Formeln umstellen Teil 1

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Martin Wabnik

Formeln umstellen Teil 1

lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Formeln umstellen Teil 1

Formeln umstellen: Erklärung

Formeln sind ein essentieller Bestandteil der Mathematik. Zusammenhänge verschiedener Größen können durch Formeln ausgedrückt werden. Somit helfen Formeln direkt, eine gesuchte Größe zu berechnen, indem gegebene Werte zur Berechnung der Größe in die Formel eingesetzt werden. Dabei werden Formeln durch mathematische Symbole und Zahlen dargestellt. Bekannte Formeln sind zum Beispiel die $pq$-Formel oder auch die binomischen Formeln. Auch Zur Berechnung von Maßeinheiten werden Formeln verwendet. Charakteristisch für Formeln ist es, dass diese je nach gegebener und gesuchter Größe umgestellt werden können. Dies geschieht durch Äquivalenzumformungen. Mit Hilfe dieser Umformungen können Formeln gleichwertig umgestellt werden. Diese Umformungen werden folgend durch das Äquivalenzzeichen $\Leftrightarrow$ dargestellt.

Formeln umstellen: Übungen

Beispiel: Satz des Pythagoras
Für den Satz des Pythagoras ist die Formel $a^2+b^2=c^2$ allgemein geläufig. Diese können wir durch Äquivalenzumformungen beliebig nach $a^2$ oder auch $b^2$ umstellen. Soll die Formel nach $a^2$ umgestellt werden, wird wie folgt vorgegangen:

$\begin{array}{crclcl} &a^2+b^2&=&c^2&\vert&-b^2\\ \Leftrightarrow&a^2&=&c^2-b^2 \end{array}$

Beispiel: Oberfläche eines Kegels oder eine Pyramide
Vor allem in der Geometrie ist das Umstellen von Formeln unerlässlich, um gesuchten Größen in Abhängigkeit von gegebenen Größen zu ermitteln.
Die Oberfläche $O$ eines Kegels ist gegeben als Summe der Mantelfläche $M$ und Grundfläche $G$. Diese Formel kann sowohl nach $M$ als auch nach $G$ umgestellt werden:

$\begin{array}{crclcl} &O& = & M+G&|&-G\\ \Leftrightarrow&O-G& = &M+G-G\\ \Leftrightarrow&O-G& = &M \end{array} $

Ebenso kann nach $G$ umgestellt werden: $G=O-M$.

Beispiel: Volumen eines Zylinders
Die Formel $V=\pi\cdot r^2\cdot h$ kann sowohl nach $h$ als auch nach $r$ umgestellt werden:

Formel umstellen nach $h$

$\begin{array}{crclcl} &V& = & \pi\cdot r^2\cdot h&|&:\pi~|~:r^2\\ \Leftrightarrow&\frac{V}{\pi\cdot r^2}& = &\frac{\pi\cdot r^2\cdot h}{\pi\cdot r^2}\\ \Leftrightarrow&\frac{V}{\pi\cdot r^2}& = &h \end{array} $

Formel umstellen nach $r$

$\begin{array}{crclcl} &V& = & \pi\cdot r^2\cdot h&|&:\pi~|~:h\\ \Leftrightarrow&\frac{V}{\pi\cdot h}& = &\frac{\pi\cdot r^2\cdot h}{\pi\cdot h}\\ \Leftrightarrow&\frac{V}{\pi\cdot h}& = &r^2&|&\sqrt{~~~}\\ \Leftrightarrow&\sqrt{\frac{V}{\pi\cdot h}}&=&r \end{array} $

Beispiel: Volumen einer Kugel
Die Formel zur Berechnung des Kugelvolumens lautet: $V=\frac43\cdot \pi\cdot r^3$. Soll die Formel nach $r$ umgestellt werden, wird wie folgt vorgegangen:

$\begin{array}{crclcl} &V& = & \frac43\cdot \pi\cdot r^3&|&:\pi~|~:\frac43\\ \Leftrightarrow&\frac{3\cdot V}{4\cdot \pi}& = &r^3&|&\sqrt[3]{~~~}\\ \Leftrightarrow&\sqrt[3]{\frac{3\cdot V}{4\cdot \pi}}&=&r\end{array} $

Kontext: Physikalische Formeln umstellen

Nicht nur in der Mathematik ist das Umstellen von Formeln notwendig. Auch in der Physik müssen Formeln umgestellt werden. Die Geschwindigkeit $v$ ist das Verhältnis von Weg $s$ zur dafür benötigten Zeit $t$, also $v=\frac st$.
Sind der Weg und die Zeit gegeben, kann die Geschwindigkeit durch Einsetzen berechnet werden.

Formel umstellen nach $s$
Wenn die Geschwindigkeit und die Zeit gegeben sind, muss die Formel nach dem Weg umgestellt werden:

$\begin{array}{crclcl} &v& = & \frac st&|&\cdot t\\ \Leftrightarrow&v\cdot t& = &\frac st\cdot t\\ \Leftrightarrow&v\cdot t& = &s \end{array} $

Der Weg $s$ ist somit das Produkt aus Geschwindigkeit $v$ und Zeit $s$ kann die Geschwindigkeit durch Einsetzen berechnet werden.

Formel umstellen nach $t$
Die Formel kann auch nach $t$ umgestellt werden:

$\begin{array}{crclcl} &v& = & \frac st&|&\cdot t\\ \Leftrightarrow&v\cdot t& = &\frac st\cdot t\\ \Leftrightarrow&v\cdot t& = &s&|&:v\\ \Leftrightarrow&v\cdot t:v& = &\frac sv\\ \Leftrightarrow&t& = &\frac sv&\\ \end{array} $

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. echt super!

    Von Deleted User 644916, vor mehr als einem Jahr
  2. Tolles Video, echt suuuupi erklärt!!!!
    ;-)
    :-)

    Von Jonas Nelly b., vor mehr als 2 Jahren

Formeln umstellen Teil 1 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Formeln umstellen Teil 1 kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die jeweiligen Umformungen der Formel $O=M+G$ an.

    Tipps

    Du kannst eine Formel mittels Äquivalenzumformungen umstellen. Dabei führst du auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Operation durch.

    Die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises kannst du zum Beispiel wie folgt nach dem Radius $r$ umstellen:

    $\begin{array}{llll} A &=& \pi\cdot r^2 & \vert :\pi \\ \frac A\pi &=& r^2 & \vert \sqrt{~~} \\ \sqrt{\frac A\pi} &=& r & \end{array}$

    Obwohl das Ziehen der Quadratwurzel keine Äquivalenzumformung ist, kann es hier trotzdem durchgeführt werden, da die Oberfläche einen positiven Wert haben muss.

    Lösung

    Du kannst eine Formel mittels Äquivalenzumformungen umstellen. Dabei führst du auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Operation durch. Dein Ziel ist es, die Größe, die du berechnen möchtest, allein auf einer Seite der Gleichung stehen zu haben. Dies kannst du auf unterschiedliche Weise erreichen. Es ist allerdings sinnvoll die Variante zu wählen, bei der du am wenigsten rechnen und schreiben musst. Damit erhalten wir für $O=M+G$ die folgenden Umformungen:

    Nach $M$ umstellen

    $\begin{array}{llll} O &=& M+G & \vert -G \\ O\color{#669900}{-G} &=& M+G\color{#669900}{-G} & \\ O-G &=& M & \end{array}$

    Nach $G$ umstellen

    $\begin{array}{llll} O &=& M+G & \vert -M \\ O\color{#669900}{-M} &=& M+G\color{#669900}{-M} & \\ O-M &=& G & \end{array}$

  • Bestimme die Umformungen nach dem Radius $r$.

    Tipps

    Teilst du eine Zahl durch einen Bruch, so musst du die Zahl mit dem Kehrwert des Bruchs multiplizieren.

    Wenn du nach einer Größe umstellen möchtest, die in der Formel zur zweiten Potenz erhoben ist, so musst du auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel ziehen. Allerdings muss hierzu die jeweilige Größe, die quadriert wird, allein auf einer Seite der Gleichung stehen. Dies kannst du aber nur machen, weil wir wissen, dass das Ergebnis positiv sein muss. Das Ziehen der Quadratwurzel ist keine Äquivalenzumformung.

    So stellst du folgende Formel nach der Seite $a$ um:

    $\begin{array}{llll} V &=& a^3 & \vert \sqrt[3]{~~} \\ \sqrt[3]{V} &=& a & \end{array}$

    Lösung

    Du kannst eine Formel mittels Äquivalenzumformungen umstellen. Dabei führst du auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Operation durch. Dein Ziel ist es, die Größe, die du berechnen möchtest, allein auf einer Seite der Gleichung stehen zu haben. Dies kannst du auf unterschiedliche Weise erreichen. Es ist allerdings sinnvoll, die Variante zu wählen, bei der du am wenigsten rechnen und schreiben musst.

    Wenn du nach einer Größe umstellen möchtest, die in der Formel zu einer Potenz erhoben ist, so musst du auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel mit dem entsprechenden Wurzelexponenten ziehen. Ist die Größe also zur zweiten Potenz erhoben, so ziehst du auf beiden Seiten die Quadratwurzel. Allerdings muss hierzu die jeweilige Potenz allein auf einer Seite der Gleichung stehen. Diesen Schritt kannst du aber nur machen, weil wir wissen, dass das Ergebnis positiv sein muss. Das Ziehen der Quadratwurzel ist keine Äquivalenzumformung.

    Wir erhalten folgende Umformungen nach dem Radius $r$:

    Umfang eines Kreises: $~U=2\pi r$

    $\begin{array}{llll} \\ U &=& 2\pi r & \vert :(2\pi) \\ \dfrac U{2\pi} &=& r & \\ \\ \end{array}$

    Volumen eines Zylinders: $~V=\pi r^2h$

    $\begin{array}{llll} \\ V &=& \pi r^2h & \vert :(\pi h) \\ \dfrac V{\pi h} &=& r^2 & \vert \sqrt{~~} \\ \sqrt{\dfrac V{\pi h}} &=& r & \\ \\ \end{array}$

    Volumen einer Kugel: $~V=\dfrac 43\pi r^3$

    $\begin{array}{llll} \\ V &=& \dfrac 43\pi r^3 & \vert :(\dfrac 43\pi) \\ \dfrac {3V}{4\pi} &=& r^3 & \vert \sqrt[3]{~~} \\ \sqrt[3]{\dfrac {3V}{4\pi}} &=& r & \\ \\ \end{array}$

  • Ermittle die nach dem Radius $r$ umgestellten Formeln.

    Tipps

    Nutze die jeweiligen Umkehroperationen, um alle Größen bis auf den Radius $r$ auf eine Seite der Gleichung zu bringen. Die Umkehroperation zur ...

    • ... Addition ist die Subtraktion.
    • ... Subtraktion ist die Addition.
    • ... Multiplikation ist die Division.
    • ... Division ist die Multiplikation.

    Sieh dir an, wie du die Formel für das Volumen eines Kegels nach der Kegelhöhe umstellen kannst:

    $\begin{array}{llll} V &=& \dfrac 13 \pi r^3h & \vert :(\dfrac 13\pi r^3) \\ \dfrac{3V}{\pi r^3} &=& h & \end{array}$

    Lösung

    Wir stellen nun die Formeln mittels Äquivalenzumformungen um. Hierzu nutzen wir die jeweiligen Umkehroperationen, um so alle Größen bis auf den Radius $r$ auf eine Seite der Gleichung zu bringen.

    Wenn in einer Formel der Radius $r$ zu einer Potenz erhoben ist, so müssen wir auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel mit dem entsprechenden Wurzelexponenten ziehen. Ist die Größe also zur zweiten Potenz erhoben, so ziehen wir auf beiden Seiten die Quadratwurzel. Allerdings muss hierzu die jeweilige Potenz allein auf einer Seite der Gleichung stehen.

    Wir erhalten die folgenden Umformungen:

    Mantelfläche Zylinder:

    $\begin{array}{llll} M &=& 2\pi rh & \vert :(2\pi h) \\ \dfrac{M}{2\pi h} &=& r & \end{array}$

    Volumen Kegel:

    $\begin{array}{llll} V &=& \dfrac 13 \pi r^3h & \vert :(\dfrac 13 \pi h) \\ \dfrac{3V}{\pi h} &=& r^3 & \vert \sqrt[3]{~~} \\ \sqrt[3]{\dfrac{3V}{\pi h}} &=& r & \end{array}$

    Oberfläche Kugel:

    $\begin{array}{llll} O &=& 4\pi r^2 & \vert :4\pi \\ \dfrac{O}{4\pi} &=& r^2 & \vert \sqrt{~~} \\ \sqrt{\dfrac{O}{4\pi}} &=& r & \end{array}$

    Flächeninhalt Kreis:

    $\begin{array}{llll} A &=& \pi r^2 & \vert :\pi \\ \dfrac A\pi &=& r^2 & \vert \sqrt{~~} \\ \sqrt{\dfrac A\pi} &=& r & \end{array}$

  • Erschließe die gesuchten Umformungen.

    Tipps

    Du kannst eine Quadratwurzel auch als eine Potenz mit dem Exponenten $\frac 12$ schreiben.

    Beispiel: $\sqrt{a} = a^{\frac 12}$

    Möchtest du einen Faktor von einer Seite der Gleichung auf die andere bringen, so musst du beide Seiten der Gleichung durch diesen Faktor teilen.

    Das Teilen durch einen Bruch ist dasselbe wie die Multiplikation mit dem Kehrwert. Musst du beispielsweise durch $\frac 13$ teilen, so führst du diese Rechung aus, indem du mit $\frac 31 = 3$ multiplizierst.

    Lösung

    Wir stellen die Formel um, indem wir alle Größen bis auf die, nach der wir umstellen möchten, auf eine Seite der Gleichung bringen. Dabei gehen wir wie folgt vor:

    • Möchten wir einen Faktor von einer Seite der Gleichung auf die andere bringen, so müssen wir beide Seiten der Gleichung durch diesen Faktor teilen.
    • Ist die Größe, nach der wir umstellen möchten, zur zweiten Potenz erhoben, müssen wir im letzten Umformungsschritt die Quadratwurzel ziehen.
    • Eine Quadratwurzel können wir auch als Potenz mit dem Exponenten $\frac 12$ schreiben.
    Unter Berücksichtigung dieser Punkte erhalten wir:

    Umstellung nach $a$:

    $\begin{array}{lllll} & s &=& \frac 12 \cdot a\cdot t^2 & \vert \cdot 2 \\ & 2s &=& a\cdot t^2 & \vert :t^2 \\ & \dfrac{2s}{t^2} &=& a & \end{array}$

    Umstellung nach $t$:

    $\begin{array}{lllll} & s &=& \frac 12 \cdot a\cdot t^2 & \vert \cdot 2 \\ & 2s &=& a\cdot t^2 & \vert :a \\ & \dfrac{2s}{a} &=& t^2 & \vert \sqrt{~~} \\ & \sqrt{\dfrac{2s}{a}} &=& t & \end{array}$

  • Gib die Umformung der Formel für den Umfang eines Rechtecks nach der Seite $b$ an.

    Tipps

    Hier siehst du, wie du die Formel für den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks $\Delta_{ABC}$ mit den Katheten $a$ und $b$ nach der Seite $a$ umstellen kannst:

    $\begin{array}{llll} A &=& \dfrac {a\cdot b}{2} & \vert \cdot 2 \\ A\cdot 2 &=& a\cdot b & \vert :b \\ \dfrac{A\cdot 2}{b} &=& a & \end{array}$

    Es gilt:

    • $\dfrac {(a+b)}{2}=(a+b):2$
    • $2ab=2\cdot a\cdot b$
    Lösung

    Du kannst eine Formel mittels Äquivalenzumformungen umstellen. Dabei führst du auf beiden Seiten einer Gleichung dieselbe Operation durch. Es handelt sich hierbei um Umkehroperationen, das heißt zum Beispiel, dass du eine Größe addierst, wenn diese auf der Seite der Gleichung, auf der sie „verschwinden“ soll, subtrahiert wird. Dein Ziel ist es, auf diese Weise diejenige Größe, die du berechnen möchtest, allein auf einer Seite der Gleichung stehen zu haben. Dies kannst du auf unterschiedliche Weise erreichen. Es ist allerdings sinnvoll, die Variante zu wählen, bei der du am wenigsten rechnen und schreiben musst.

    Die Formel für den Umfang $U$ eines Rechtecks mit den Seiten $a$ und $b$ kannst du wie folgt nach $b$ umstellen:

    $\begin{array}{llll} U &=& 2a+2b & \vert -2a \\ U-2a &=& 2b & \vert :2 \\ (U-2a):2 &=& b & \end{array}$

  • Leite die Umformungen nach den Längen $a$, $b$ und $c$ her.

    Tipps

    Wenn du einen Summanden von einer Seite der Gleichung auf die andere bringen möchtest, so musst du diesen von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.

    Ist die Größe, nach der du umstellen möchtest, zur zweiten Potenz erhoben, so musst du im letzten Umformungsschritt auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel ziehen.

    Ist die Größe, nach der du umstellen möchtest, in zwei Summanden enthalten, so kannst du diesen ausklammern. Es gilt zum Beispiel:

    • $ab+ac=a(b+c)$

    Du kannst Rechenoperationen unterschiedlich darstellen. Eine Division kann auch in Form eines Bruchs geschrieben werden. Eine Quadratwurzel entspricht ebenso einer Potenz mit dem Exponenten $\frac 12$.

    Lösung

    Wir können beim Umstellen dieser Gleichungen unterschiedlich vorgehen. Auch können wir die Endversion der Gleichung auf mehrere Weisen angeben. Es gibt nämlich verschiedene Möglichkeiten eine Rechenoperation anzugeben: Eine Division kann auch in Form eines Bruchs geschrieben werden. Eine Quadratwurzel entspricht ebenso einer Potenz mit dem Exponenten $\frac 12$. Beim Umstellen der Gleichungen führst du immer die entsprechende Umkehroperation zu der Größe, die du auf die andere Seite der Gleichung bringen möchtest, durch:

    • Wenn du also einen Summanden von einer Seite der Gleichung auf die andere bringen möchtest, so musst du diesen von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren.
    • Ist die Größe, nach der du umstellen möchtest, zur zweiten Potenz erhoben, so musst du im letzten Umformungsschritt auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel ziehen.
    • Ist die Größe, nach der du umstellen möchtest, in zwei Summanden enthalten, so kannst du sie ausklammern.
    So erhalten wir die folgenden Umformungen:

    Satz des Pythagoras: $~c^2=a^2+b^2$

    Ziehen wir auf beiden Seiten die Quadratwurzel, so erhalten wir bereits die Umstellung nach $c$:

    • $c=\sqrt{a^2+b^2}$
    Wir können die Quadratwurzel auch als Potenz mit dem Exponenten $\frac 12$ schreiben:

    • $c=(a^2+b^2)^\frac 12$
    Für $a$ und $b$ erhalten wir folgende Umformungen:

    $\begin{array}{llllll} && c^2 &=& a^2+b^2 & \vert -b^2 \\ && c^2-b^2 &=& a^2 & \vert \sqrt{~~} \\ && \sqrt{c^2-b^2} &=& a & \\ && (c^2-b^2)^\frac 12 &=& a & \\ \\ \end{array}$

    $\begin{array}{llllll} && c^2 &=& a^2+b^2 & \vert -a^2 \\ && c^2-a^2 &=& b^2 & \vert \sqrt{~~} \\ && \sqrt{c^2-a^2} &=& b & \\ && (c^2-a^2)^\frac 12 &=& b & \\ \\ \end{array}$

    Umfang eines Dreiecks: $~u=a+b+c$

    Wir erhalten hier die folgenden Umformungen:

    • Subtrahieren wir auf beiden Seiten $(a+b)$, erhalten wir: $~c=u-(a+b)$. Eine Minusklammer kannst du auflösen, indem du alle Zeichen in der Klammer umdrehst und das Minuszeichen vor der Klammer sowie die Klammern weglässt. Dann folgt: $~c=u-a-b$
    • Eine Subtraktion von $(a+c)$ auf beiden Seiten der Gleichung liefert uns: $~b=u-(a+c)=u-a-c$
    • Analog erhalten wir $a$: $~ a=u-(b+c)=u-b-c$
    Oberfläche eines Quaders: $~O = 2(ab + ac + bc)$

    Wir stellen die Gleichung zunächst nach $a$ um:

    $\begin{array}{llllll} && O &=& 2(ab + ac + bc) & \vert :2 \\ && \dfrac O2 &=& ab + ac + bc & \vert -bc \\ && \dfrac O2-bc &=& ab + ac & \\ \end{array}$

    An dieser Stelle klammern wir $a$ aus:

    $\begin{array}{llllll} && \dfrac O2-bc &=& a(b + c) & \vert :(b+c) \\ && (\dfrac O2-bc):(b+c) &=& a & \\ \end{array}$

    Wir können diesen Term auch wie folgt vereinfachen:

    • $(\dfrac O2-bc):(b+c) = (\dfrac O2-\dfrac {2bc}{2}):(b+c)=\dfrac {O-2bc}{2}:(b+c)=\dfrac {O-2bc}{2(b+c)} $
    Analog erhalten wir:

    • $b=(\dfrac O2-ac):(a+c)=\dfrac {O-2ac}{2(a+c)} $
    • $c=(\dfrac O2-ab):(a+b)=\dfrac {O-2ab}{2(a+b)} $
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