Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms

Flächeninhalt und Umfang des Parallelogramms Übung

• Beschreibe die Berechnung von Umfang und Flächeninhalt eines Parallelogramms.

  Tipps

  Der Umfang des Parallelogramms ist die Strecke, die du durchläufst, wenn du einmal alle Seiten des Parallelogramms abläufst.

  Bei einem Parallelogramm sind die sich gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang.

  Die Höhe eines Vierecks mit zwei parallelen Seiten ist der senkrechte Abstand dieser beiden Seiten.

  Lösung

  Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem je zwei gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind. Diese Seiten sind dann auch jeweils gleich lang. Die Seiten eines Vierecks bezeichnet man üblicherweise alphabetisch gegen den Uhrzeigersinn mit den Buchstaben $a$, $b$, $c$ und $d$. Bei einem Parallelogramm findest du daher für die Seiten die folgenden Formeln:

  $a=c$ und $b=d$.

  Der Umfang des Parallelogramms ist die Summe aller vier Seiten, also:

  $U = a+b+c+d = 2 a + 2b = 2 \cdot (a+b)$.

  Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist das Produkt aus einer Seite des Parallelogramms und der zugehörigen Höhe. Jedes Viereck mit zwei parallelen Seiten hat eine Höhe. Diese Höhe steht senkrecht auf diesen sich gegenüberliegenden parallelen Seiten. Die Höhe ist der senkrechte Abstand dieser parallelen Seiten. Bei einem Parallelogramm gibt es zwei Paare zueinander paralleler Seiten, nämlich $a$ und $c$ sowie $b$ und $d$. Zur Berechnung des Flächeninhalts kannst du jede Seite und die zugehörige Höhe verwenden.

  Die Höhe zur Seite $a$ bezeichnet man mit $h_a$, die zur Seite $b$ mit $h_b$. Da die Seiten $a$ und $c$ sowie $b$ und $d$ parallel und gleich lang sind, ist auch $h_a=h_c$ und $h_b = h_d$. Die Höhe $h_b$ steht senkrecht auf den Seiten $b$ und $d$, die Höhe $h_a$ steht senkrecht auf $a$ und $c$.

  Für den Flächeninhalt des Parallelogramms gelten dann die Formeln:

  $A =a \cdot h_a$ bzw. $A = b \cdot h_b$

  Die Formel für den Flächeninhalt kannst du geometrisch nachprüfen, indem du die Höhe von einer Ecke auf die gegenüberliegende Seite einzeichnest. Dadurch entsteht ein Dreieck. Wenn du dieses Dreieck abschneidest und an der anderen Seite wieder ansetzt, entsteht ein Rechteck, dessen eine Seite die Höhe und die andere die dazu senkrechte Viereckseite ist.

• Finde die passende Formel.

  Tipps

  Der Umfang eines Vierecks ist die Summe der Seitenlängen.

  Zur Berechnung des Flächeninhalts benötigst du die Höhe $h$ zu einer Seite des Parallelogramms.

  Ein Parallelogramm mit der Seite $a=50~\text{cm}$ und der zugehörigen Höhe $h_a = 40~\text{cm}$ hat den Flächeninhalt $A = a \cdot h_a = 2~000~\text{cm}^2$.

  Lösung

  Der Umfang eines Parallelogramms ist die Summe seiner Seitenlängen. Bezeichnest du die Seiten des Parallelogramms wie üblich alphabetisch gegen den Uhrzeigersinn mit den Buchstaben $a$, $b$, $c$ und $d$, so ist $U = a+b+c+d$. Da bei einem Parallelogramm die Seiten $a$ und $c$ sowie $b$ und $d$ parallel und gleich lang sind, kannst du auch Folgendes schreiben:

  $U = a+b+c+d = 2a + 2b = 2 \cdot (a+b)$

  Ein Parallelogramm mit den Seiten $a = 100~\text{cm}$ und $b = 120~\text{cm}$ hat daher den Umfang:

  $U = 2 \cdot (a+b) = 2 \cdot (100~\text{cm} + 120~\text{cm}) = 440~\text{cm}$

  Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist das Produkt aus einer Seite und der zugehörigen Höhe. Die Höhe zu der Seite $a$ bezeichnet man mit $h_a$, die zu der Seite $b$ mit $h_b$. Da $a=c$ und $b=d$ gilt, ist auch $h_a = h_c$ und $h_b = h_d$. Die Formeln für den Flächeninhalt sind daher:

  $A = a \cdot h_a$ bzw. $A = b \cdot h_b$

  Ein Parallelogramm mit der Seite $b = 120~\text{cm}$ und der zugehörigen Höhe $h_b = 94,\!2~\text{cm}$ hat also den Flächeninhalt:

  $A = b \cdot h_b = 120~\text{cm} \cdot 94,\!2~\text{cm} \approx 11\,300~\text{cm}^2$

• Bestimme den Umfang und Flächeninhalt.

  Tipps

  Bei einem Parallelogramm gilt für die Seiten:

  $a = c$ und $b = d$

  Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist das Produkt einer Seite und der zugehörigen Höhe. Es gilt z.B. $A = c \cdot h_a$, denn die Seiten $a$ und $c$ sind gleich lang.

  Ein Parallelogramm mit den Seiten $a=c=6~\text{cm}$ und $b=d=8~\text{cm}$ und den Höhen $h_a = 7~\text{cm}$ und $h_b=5,\!25~\text{cm}$ hat den Flächeninhalt:

  $A = a \cdot h_a = b \cdot h_b = 6~\text{cm} \cdot 7~\text{cm} = 8~\text{cm} \cdot 5,\!25~\text{cm} = 42~\text{cm}^2$.

  Lösung

  Der Umfang eines Parallelogramms ist die Summe seiner Seitenlängen. Da bei einem Parallelogramm die Seiten $a$ und $c$ sowie $b$ und $d$ jeweils gleich lang sind, gilt:

  $U = a+b+c+d = 2a + 2b = 2 \cdot (a+b)$.

  Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ist das Produkt einer Seite und der zugehörigen Höhe. Die Höhe zu der Seite $a$ bezeichnet man mit $h_a$, die zu der Seite $b$ mit $h_b$. Da $a=c$ und $b=d$ gilt, kannst du auch die Seite $a$ durch $c$ und $b$ durch $d$ ersetzen, um den Flächeninhalt zu berechnen.

  Für die in der Aufgabe gegebenen Größen erhältst du folgende Zuordnungen:

  $a = 6~\text{cm}$, $b=4~\text{cm}$, $h_b = 3,\!3~\text{cm}$:

  • $A = 13,2~\text{cm}^2$, denn $4~\text{cm} \cdot 3,\!3~\text{cm} = 13,\!2~\text{cm}^2$.
  • $U = 20~\text{cm}$, denn $2 \cdot (6~\text{cm} + 4~\text{cm}) =20~\text{cm}$.

  $c = 4~\text{cm}$, $b=7~\text{cm}$, $h_a = 4,\!7~\text{cm}$:

  • $A = 18,8~\text{cm}^2$, denn $4~\text{cm} \cdot 4,\!7~\text{cm} = 18,\!8~\text{cm}^2$.
  • $U = 22~\text{cm}$, denn $2 \cdot (4~\text{cm} + 7~\text{cm}) = 22~\text{cm}$.

  $d = 8~\text{cm}$, $c=7~\text{cm}$, $h_b = 5,\!5~\text{cm}$:

  • $A = 44~\text{cm}^2$, denn $8~\text{cm} \cdot 5,\!5~\text{cm} = 44~\text{cm}^2$.
  • $U = 30~\text{cm}$, denn $2 \cdot (7~\text{cm}+8~\text{cm}) = 30~\text{cm}$.

• Erschließe die passenden Größen.

  Tipps

  Kennst du den Umfang $U$ und die Seite $b$, so kannst du die Formel

  $U = 2 \cdot (a+b)$

  nach $a$ auflösen, um die Länge der Seite $a$ zu berechnen.

  Ist $h_a=b$, so ist das Parallelogramm ein Rechteck und der Flächeinhalt das Produkt der beiden Seiten.

  Aus der Seite $a$ und dem Umfang $U$ kannst du die Seite $b$ berechnen. Aus dem Flächeninhalt $A$ und der Höhe $h_b$ kannst du ebenfalls die Seite $b$ berechnen und mit dem anderen Egebnis vergleichen.

  Lösung

  Du kannst folgende Formel für die Berechnung des Umfangs verwenden:

  $U = a+b+c+d = 2\cdot (a+b)$.

  Den Flächeninhalt berechnest du mit folgender Formel:

  $A = a \cdot h_a = b \cdot h_b$.

  Du kannst beide Formeln nach jeder der darin vorkommenden Größen auflösen. Zusammen mit den Gleichungen $a=c$ und $b=d$ kannst du alle hier angegebenen Größen zuordnen:

  • Zu $a = 5~\text{cm}$, $U = 25~\text{cm}$ gehört $h_b = 4~\text{cm}$, $A = 30~\text{cm}^2$. Denn aus dem Umfang und der Seite $a$ kannst du zuerst die Seite $b$ berechnen: $b = \frac{1}{2} \cdot (U-2a) = 7,\!5~\text{cm}$. Damit erhältst du den Flächeninhalt $A = 4~\text{cm} \cdot 7,\!5~\text{cm} = 30~\text{cm}^2$.

  • Aus den Angaben $c = 11~\text{cm}$, $U = 41,\!2~\text{cm}$ kannst du die Seite $b=d$ berechnen: $d = \frac{1}{2} \cdot (U - 2c) = \frac{1}{2} \cdot (41,\!2~\text{cm} - 22~\text{cm}) = 9,\!6~\text{cm}$.

  • Die Größen $c = 7~\text{cm}$, $h_c = b = 9~\text{cm}$ liefern den Flächeninhalt $A = 7~\text{cm} \cdot 9~\text{cm} = 63~\text{cm}^2$ und den Umfang $U = 2 \cdot (7~\text{cm} + 9~\text{cm}) = 32~\text{cm}$.

  • Die Seiten $c = 6~\text{cm}$, $d = 6~\text{cm}$ allein lassen keine Berechnung des Flächeninhalts zu, sondern nur des Umfangs $U = 2 \cdot (4~\text{cm} + 6~\text{cm}) = 24~\text{cm}$.

• Beschrifte die Bilder.

  Tipps

  Die Seiten eines Vierecks werden alphabetisch gegen den Uhrzeigersinn mit den Buchstaben $a$, $b$ $c$ und $d$ bezeichnet.

  Die Höhe zu einer Seite steht senkrecht auf dieser Seite.

  Der Umfang eines Vierecks setzt sich aus seinen vier Seiten zusammen.

  Lösung

  • Der Umfang eines Parallelogramms ist die Summe seiner vier Seitenlängen.

  • Der Flächeninhalt ist das Maß für die Fläche, die das Parallelogramm ausfüllt.

  • Die Seiten eines Vierecks werden alphabetisch gegen den Uhrzeigersinn mit den Buchstaben $a$, $b$, $c$ und $d$ bezeichnet.

  • Die Höhe zu einer Seite steht senkrecht auf dieser Seite.

  • Die Höhe zur Seite $a$ wird mit $h_a$ bezeichnet, die Höhe zu der Seite $b$ mit $h_b$.

• Prüfe die Aussagen zum Umfang und Flächeninhalt eines Parallelogramms.

  Tipps

  Die Veränderung zwischen den beiden Parallelogrammen im Bild heißt Scherung. Dabei ändert sich der senkrechte Abstand zweier paralleler Seiten nicht.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind wahr:

  • „Ist der Flächeninhalt eines Parallelogramms das Produkt zweier Seiten, so ist das Parallelogramm ein Rechteck.“ Der Flächeninhalt ist das Produkt einer Seite und der zugehörigen Höhe. Die Höhe zu der Seite $a$ steht senkrecht auf $a$. Sie ist genau dann gleich lang wie die Seite $b$, wenn $b$ eine Höhe zu $a$ ist, d.h. wenn $b$ auf $a$ senkrecht steht. In diesem Fall ist das Parallelogramm ein Rechteck. Andernfalls ist $h_a$ kürzer als $b$.

  • „Der Flächeninhalt eines Parallelogramms ändert sich bei einer Scherung nicht.“ Eine Scherung ist eine Verschiebung zweier gegenüberliegender Seiten eines Parallelogramms. Dabei bleiben der Abstand und die Länge der beiden anderen Seiten gleich. Der senkrechte Abstand dieser beiden Seiten ist die zugehörige Höhe. Bei einer Scherung der Seiten $b$ und $d$ ändern sich also die Seiten $a$ und $c$ und die Höhe $h_a$ nicht. Der Flächeninhalt $A = a \cdot h_a$ bleibt daher unverändert.

  • „Ein Parallelogramm mit einer Seite $a$ und dem Flächeninhalt $a^2$ und dem Umfang $4a$ ist ein Quadrat.“ Der Flächeninhalt ist $A = a \cdot h_a$. Ist aber $A = a^2$, so muss also $h_a = a$ sein. Die Höhe $h_a$ ist aber mindestens so lang wie die Seite $b$, d.h. $h_a \leq b$. Ist aber $U = 2\cdot (a+b) = 4a$, so muss $a=b$ sein. Daher ist dann auch $h_a = b$. Dies bedeutet, dass die Seite $b$ eine Höhe zu $a$ ist, also auf $a$ senkrecht steht. Das Parallelogramm ist demnach ein Rechteck. Das einzige Rechteck mit vier gleich langen Seiten ist das Quadrat.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Der Umfang eines Parallelogramms ändert sich bei einer Scherung nicht.“ Die Scherung der Seiten $b$ und $d$ ändert die Länge dieser Seiten. Die Länge der Seiten $a$ und $c$ bleibt aber erhalten. Daher ändert sich der Umfang bei einer Scherung.

  • „Haben zwei Parallelogramme dieselbe Seite $a$ und denselben Flächeninhalt, so sind sie kongruent.“ Den Flächeninhalt haben zwei Parallelogramme z.B. dann gemeinsam, wenn sie dieselbe Seite $a$ und Höhe $h_a$ haben. Dazu müssen sie aber nicht kongruent sein, sondern können durch eine Scherung auseinander hervorgehen.