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Flächeninhalt eines Rechtecks 08:32 min

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Transkript Flächeninhalt eines Rechtecks

Hallo, willkommen zum Thema Flächeninhalt eines Rechtecks. Wir schauen uns nochmal an, welche Eigenschaften das Rechteck hat und wie wir herausfinden, wie groß seine Fläche ist.

Eigenschaften eines Rechtecks

Kannst Du Dich an die Eigenschaften des Rechtecks erinnern? Es ist ein Viereck bei dem die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel sind. Außerdem ist jeder Innenwinkel ein rechter Winkel.

Flächeninhalt mit Einheitsquadraten berechnen

Schauen wir uns mal eine Tafel Schokolade an. Sie ist rein mathematisch gesehen ein Quader. Ein Quader ist ein Körper mit 6 rechteckigen Flächen, deren Winkel alle rechte sind. Im folgenden Abschnitt betrachten wir die rechteckige Deckseite des Quaders.

Stell dir vor, wir haben eine Schokoladentafel, deren Seitenlängen einmal 4 und einmal 6 cm betragen.

Zur besseren Betrachtung stellen wir uns die obere Seite der Schokoladentafel jetzt abstrakt als einfaches Rechteck vor. Wir setzen die eine Seitenlänge mit a = 6 cm und die andere mit b = 4cm.

Wie bei unserer Schokoladentafel unterteilen wir das ganze Rechteck in kleine Quadrate, die jeweils eine Seitenlänge von 1cm besitzen. Wir wissen bereits, dass Quadrate mit der Seitenlänge 1 auch als Einheitsquadrate bezeichnet werden und den Flächeninhalt 1 haben.

Auf der Seite a sind 6 Kästchen zu erkennen, auf der Seite b 4. Du siehst, dass ein Quadrat wirklich einem cm entspricht. Jetzt zählen wir mal alle Kästchen durch... zählst du mit? 1, 2, 3... 22, 23, 24 – Wir haben 24 Einheitsquadrate! Wir wissen somit, dass der Flächeninhalt 24 Quadratzentimeter ist.

Flächeninhalt mit Formel berechnen

Mmh, eine Seite ist 6 cm, die andere 4 cm lang... Gibt es eine einfachere Möglichkeit den Flächeninhalt eines Rechteckes zu bestimmen? Müssen wir jedes Mal die Einheitsquadrate auszählen?

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Wir denken uns ein Fußballspielfeld. Auch hier können wir uns das Spielfeld als Rechteck denken und es in kleine Quadrate unterteilen. Diesmal beträgt die Seitenlänge der Quadrate einen Meter.

Wie gerade bei der Schokolade sind auf der Seite a, entsprechend der Seitenlänge, 28 Kästchen und auf der Seite b, 15 Kästchen zu erkennen. Du siehst, dass hier ein Quadrat einem Meter entspricht.

Wie viele Kästchen erhalten wir, wenn man alle Kästchen durchzählen würde? 1, 2, 3, 4... 418, 419, 420 – Wir haben 420 Kästchen! Mmh, eine Seite ist 28 m, die andere 15m lang.

Hast du etwas bemerkt? Eine Regel? Eine weitere Möglichkeit, wie man den Flächeninhalt von Rechtecken bestimmen kann? Im ersten Beispiel hatten wir a gleich 6cm und b gleich 4cm. Der Flächeninhalt in diesem Beispiel war 24 Quadratzentimeter.

Im zweiten Beispiel hatten wir a gleich 28m und b gleich 15m und der Flächeninhalt ergab 420 Quadratmeter, auch hier ist es die genaue Anzahl der ausgezählten Kästchen.

Erkennst Du da eine Regelmäßigkeit, vielleicht sogar eine Regel? Was konnte man feststellen? Haben wir ein Rechteck mit einer Seitenlänge von a und einer Seitenlänge von b, können wir durch Multiplikation beider Seitenlängen den Flächeninhalt berechnen.

Schauen wir es uns kurz an. Wie war es bei unserer Schokoladentafel? Die Seitenlänge a der Tafel beträgt 6 cm und die Seitenlänge b ist 4 cm lang. Wenn wir die 6cm mit den 4 cm multiplizieren erhalten wir 24 Quadratzentimeter. Dies ist genau die Fläche, welche wir durch das Auszählen der Einheitsquadrate erhalten haben.

Wie sieht es mit dem Fußballspielfeld aus? Wir multiplizieren erneut die Seitenlängen a gleich 28m und b gleich 15 m miteinander. Hierzu verwenden wir die schriftliche Multiplikation und erhalten 420 Quadratmeter. Beim Auszählen der Einheitsquadrate haben wir dasselbe Ergebnis erhalten.

Wir haben somit eine neue und schnellere Methode zur Bestimmung des Flächeninhalts eines Rechteckes erhalten. Der Flächeninhalt wird meist mit “A” bezeichnet. So ergibt sich die allgemeine Formel für den Flächeninhalt: A = a · b

Achte bei dem Anwenden der Formel auf die Einheiten. Die Seiten a und b müssen immer in derselben Einheit vorliegen.

Schauen wir noch einmal auf unsere Rechenbeispiele. Bei der Tafel Schokolade haben die Seiten die Maßeinheit cm und beim Fußballspielfeld die Maßeinheit m. Achte also immer auf die Einheiten

Sonderform Quadrat

Zum Schluss möchte ich Dich noch auf das Quadrat aufmerksam machen. Das Quadrat ist eine besondere Form des Rechtecks. Es besitzt nämlich vier gleichlange Seiten. Das heißt a ist gleich b.

So ergibt sich für unsere allgemeine Formel A = a · a, also A = a², man kann dazu auch sagen a hoch 2.

Zusammenfassung

Was haben wir nun heute gelernt? Wir können den Flächeninhalt eines Rechteckes ausrechnen, indem wir dessen Seitenlängen a und b miteinander multiplizieren. Dies erspart dir gegenüber dem Auszählen der Einheitsquadrate zukünftig viel Zeit.

Das Quadrat ist eine besondere Form des Rechteckes und folglich berechnet sich dessen Flächeninhalt A = a · a.

Ich hoffe es hat Dir so viel Spaß gemacht wie mir. Bis bald!

32 Kommentare
  1. Mega gut

    Von Diese Fotografie, vor 2 Monaten
  2. Super erklärt:) Weiter so!

    Von Anastasia Markela, vor 12 Monaten
  3. Echt super toll DANKE

    Von Kmacgowan, vor 12 Monaten
  4. Ganz hervorragend erklärt. Danke

    Von Kmacgowan, vor 12 Monaten
  5. sehr gut erklärt ;)

    Von Tachenrechner, vor mehr als einem Jahr
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Flächeninhalt eines Rechtecks Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Flächeninhalt eines Rechtecks kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen kann.

    Tipps

    Einheitsquadrate sind, wie der Name schon sagt, Quadrate. Quadrate sind spezielle Rechtecke. Was ist das Besondere bei Quadraten.

    Man berechnet den Flächeninhalt eines Rechtecks, indem man die Seitenlängen miteinander multipliziert.

    Lösung
    1. Bei Rechtecken sind die gegenüberliegenden Seiten gleich lang und parallel. Jeder Innenwinkel ist ein rechter Winkel. Die beiden Seiten bezeichnet man mit $a$ und $b$. Die Länge der Seiten kann zum Beispiel $a=6~cm$ und $b=4~cm$ sein. Man kann das Rechteck mit Einheitsquadraten mit der Seitenlänge $1~cm$ ausfüllen. Man kann in dem Beispiel dann entlang der Seitenlänge $a=6~cm$ genau $6$ Einheitsquadrate und entlang der Seitenlänge $b=4~cm$ genau $4$ Einheitsquadrate anlegen.
    2. Man kann die Einheitsquadrate auszählen und erhält so den Flächeninhalt des Rechtecks. Das ist besonders bei vielen Einheitsquadraten sehr mühselig. Deswegen ist es manchmal einfacher die Formel zu verwenden $A=a\cdot b$. Man sagt auch $A=$ Länge $\cdot$ Breite.
    3. Da die Seitenlängen bei einem Quadrat gleich lang sind, sind die Seitenlängen bei einem Einheitsquadrat auch gleich lang. Bei der Seitenlänge von $1~cm$ beträgt der Flächeninhalt $A = 1~cm \cdot 1~cm = 1~cm^2$.
  • Berechne die Flächeninhalte.

    Tipps

    Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die beiden Seitenlängen miteinander multipliziert.

    Lösung

    Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man, indem man die Seitenlängen miteinander multipliziert. Wenn wir die beiden Seiten $a$ und $b$ nennen, kann man schreiben: $A=a\cdot b$.

    Der Flächeninhalt der Tafel Schokolade erhältst du, indem du die Seitenlängen der Schokolade miteinander multiplizierst. Wir rechnen $A=6~cm\cdot 4~cm=24~cm^2$. Denke an die Einheiten. Es gilt $cm\cdot cm=cm^2$. Man sagt dann Quadratzentimeter oder Zentimeter zum Quadrat.

    Das Fußballfeld ist auch ein Rechteck. Wir verfahren genauso wie bei der Schokolade. Wir rechnen $A=28~m\cdot 15~m=420~m^2$. Bei dem Fußballfeld ist die Einheit $m \cdot m=m^2$. Man sagt dann Quadratmeter.

  • Bilde die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks.

    Tipps

    Wie nennt man die Bestandteile eines Rechtecks?

    Hier siehst du ein Rechteck. Der Flächeninhalt beträgt $A = 12~m^2$.

    Lösung

    Den Flächeninhalt eines Rechtecks bezeichnet man als $A$. Die unterschiedlichen Seitenlängen eines Rechtecks bezeichnet man mit $a$ und $b$.

    Unser Fußballfeld hat die Form eines Rechtecks. Das erkennt du daran, dass es vier Ecken und vier Seiten hat, von denen die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Die Innenwinkel sind zusätzlich alle $90°$ groß.

    Um den Flächeninhalt des Fußballfeldes zu bestimmen, müssen wir also die Formel zur Bestimmung des Flächeninhaltes eines Rechtecks nutzen. Diese Formel lautet $A = a \cdot b$ oder in Worten ausgedrückt $A= \text{Seitenlänge} \cdot \text{Seitenlänge}$ oder auch $A= \text{Länge} \cdot \text{Breite}$.

    Für ein Fußballfeld mit den maximalen Seitenlängen $120~m$ und $90~m$ ergibt sich daraus die Formel $A = 120~m \cdot 90~m =9000~m^2+1800~m^2= 10800~m^2$.

  • Prüfe durch die Berechnung der Flächeninhalte, ob Lisa recht hat.

    Tipps

    Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit der Formeln $A=a\cdot b$.

    Hier siehst du ein Quadrat. Eine Seitenlänge ist $3~m$ lang.

    Lösung

    Lisas Wand hat die Form eines Rechtecks. Um zu wissen wie groß ihre Wand ist, müssen wir den Flächeninhalt ihrer Wand bestimmen. Dazu müssen wir die Formel $A = a \cdot b$ verwenden.

    Lisas Wand ist $4,5~m$ lang, also ist unsere erste Seitenlänge $a = 4,5~m$. Ihre Wand ist $3~m$ breit. Damit beträgt unsere zweite Seitenlänge $b= 3~m$. Aus unserer Formel $A = a\cdot b$ ergibt sich damit ein Flächeninhalt von $A = 4,5~m\cdot 3~m = 13,5~m^2$. Lisas Wand hat also einen Flächeninhalt von $13,5~m^2$.

    Tims Wand hat die Form eines Quadrates. Um zu wissen, wie groß seine Wand ist, müssen wir den Flächeninhalt eines Quadrats kennen. Dazu verwenden wir die Formel $A = a \cdot a=a^2$. Bei einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang. Wir nennen sie $a$. Bei Tims Wand sind also alle Seiten $a = 4~m$ lang. Aus unserer Formel $A = 4~m \cdot 4~m = 16~m^2$ ergibt sich ein Flächeninhalt von $16~m^2$. Tims Wand hat also einen Flächeninhalt von $16~m^2$.

    Lisas Wand hat einen Flächeninhalt von $13,5~m^2$ und Tims Wand von $16~m^2$. Damit lag Lisa falsch. Ihre Wand ist kleiner bzw. hat einen kleineren Flächeninhalt als die Wand von Tim.

  • Beschreibe die Eigenschaften eines Rechtecks.

    Tipps

    Schau dir das Fußballfeld oben an. Wie viele Ecken besitzt es?

    Ein Dreieck hat genau drei Ecken und Seiten.

    Wie liegen bei dem Fußballfeld die gegenüberliegenden Seiten zueinander?

    Miss mit einem Geodreieck die Winkel in dem Fußballfeld oben. Ein stumpfer Winkel ist ein Winkel größer als $90°$. Ein rechter Winkel ist genau $90°$ groß.

    Lösung

    Du kannst die Eigenschaften eines Rechtecks an dem Fußballfeld sehr gut erkennen.

    1. Ein Rechteck ist ein spezielles Viereck. Das Fußballfeld ist auch ein Viereck. Und wie der Name schon sagt, besitzt ein Viereck auch vier Ecken.
    2. Das bedeutet auch sofort, dass es vier Seiten besitzt. Diese Seiten besitzen eine Länge. Die Länge der Seiten eines Rechtecks werden mit $a$ und $b$ bezeichnet.
    3. Die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang und parallel zueinander. Das kannst du auch mit einem Geodreieck an dem Fußballfeld nachprüfen. Die nebeneinander liegenden Seiten stehen senkrecht aufeinander.
    4. Das bedeutet, dass die Innenwinkel eines Rechtecks immer einen Winkel von $90°$ einschließen. So einen Winkel nennt man auch rechten Winkel.
  • Bestimme die Seitenlänge des Quadrats und des Rechtecks.

    Tipps

    Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Quadrats?

    In der Formel zum Flächeninhalt eines Rechtecks werden $a$ und $b$ miteinander multipliziert. Da wir die Länge einer Seite ausrechnen wollen, müssen wir dividieren.

    Wenn ein Rechteck einen Flächeninhalt von $45~m^2$ besitzt und eine Seite $9~cm$ lang ist, dann rechnet man $45:9$ für die Länge der anderen Seite.

    Lösung

    Quadrat: Da sich der Flächeninhalt eines Quadrates mit der Formel $A = a\cdot a=a^2$ berechnen lässt, ergibt sich für unser Quadrat $81~cm^2 = a^2$. Wir suchen also nach einer Zahl, die mit sich selber multipliziert $81cm^2$ ergibt. Das kleine Einmaleins sagt uns, dass $9\cdot9 = 81$ ist. Demnach ergibt sich für unser Quadrat die Formel $81~cm^2 = 9~cm \cdot 9~cm$. Also sind die Seiten $9~cm$ lang.

    Rechteck: Der Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit der Formel $A = a \cdot b$. Wir wissen, dass der Flächeninhalt $A= 56~cm^2$ groß und eine Seitenlänge $a = 7~cm$ lang ist. Wenn wir diese Werte in unsere Formel einsetzen, erhalten wir $56~cm^2 = 7~cm \cdot b$. $b$ ist die andere Seitenlänge, die wir bestimmen wollen. Du kannst auch $a$ und $b$ vertauschen. Um $b$ zu bestimmen, müssen wir sozusagen „rückwärts rechnen“. Wir haben gerade multipliziert und müssen jetzt dividieren, da die Division der umgekehrte Rechenweg zur Multiplikation ist. Wir rechnen $b = 56~cm^2 : 7~cm = 8~cm$. Unsere Seite $b$ ist also $8~cm$ lang.