Fibonacci-Zahlen – Formel von Moivre-Binet

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik, herzlich willkommen zum Video Fibonacci-Zahle, Teil 2. Das Video heißt: Die Formel von Moivre-Binet. Die 1. Folgeglieder der Fibonacci-Zahlenfolge lauten: a0=0, a1=1, a2=1, a3=2, a4=3, a5=5 und a6=8, usw., usw. Die Glieder dieser Zahlenfolge kann man rekursiv darstellen, und zwar als an+2=an+1+an. a0 wird definiert als 0 und a1 wird definiert als 1. n ist Element der Menge ? der natürlichen Zahlen. Soweit, so gut, aber was ist, wenn wir fragen, wie groß ist a100? Das bereitet gewisse rechnerische Probleme, die unangenehm sind. Daher wäre eine explizite Darstellung wünschenswert, und zwar eine Darstellung von an als Funktion  von n. Eine solche Darstellung gibt es tatsächlich. Und zwar gelang sie durch den Geniestreich von Moivre und Binet. an=1/\sqrt5[(1+\sqrt5/2)-((1-\sqrt5)/2)ⁿ]. Wir rechnen. Zunächst berechnen wir a0. a0=1/ \sqrt5[(1+\sqrt5/2)⁰-((1-\sqrt5)/2)⁰]. Wir erhalten somit 1/\sqrt5[1-1]=1/\sqrt5×0=0. Damit wurde bestätigt a0=0. Wir berechnen a1. a1=1|\sqrt5[(1+\sqrt5/2)¹-((1-\sqrt5)/2)¹]. Wir spalten jetzt die beiden Brüche in jeweils 2 kleinere Brüche auf und erhalten 1/\sqrtt5(½+½×\sqrt5). In der runden Klammer heben sich ½ und -½ auf, aus ½×\sqrt5 und noch mal ½×\sqrt5 können wir einfach \sqrt5. Wir erhalten also 1/\sqrt5×\sqrt5=\sqrt5/\sqrt5=1. Auch das 2. Glied der Folge konnte bestätigt werden. Wir berechnen nun a2. a2=1/\sqrt5[(1+\sqrt5/2)²-(1-\sqrt5/2)²]. Der Nenner 2 in den beiden Brüchen ist etwas störend, wir ziehen ihn einfach vor die eckige Klammer. Da die 2 im Nenner zweimal vorkommt, wegen dem Quadrat können wir also vor die eckige Klammer eine 4 in den Nenner schreiben. Somit erhalten wir: 1/4×\sqrt5[1+2×1×\sqrt5+(\sqrt5)²-(1-2×1×\sqrt5+(\sqrt5)²]. Wir haben hier die 1. und 2. binomische Formel verwendet. Wir vereinfachen und erhalten in der nächsten Zeile: =1/4×\sqrt5(1+2×\sqrt5+5-1+2×\sqrt5-5). 1 und -1, sowohl 5 als auch -5 heben sich gegeneinander auf. Und wir erhalten schließlich im Zähler 4×\sqrt5 und im Nenner 4×\sqrt5 und das ergibt 1. Somit haben wir auch bestätigt a2=1. Wir berechnen nun a3. 1/\sqrt5[(1+\sqrt5/2)³-(1-\sqrt5/2)³]. Wie bei a2 ziehen wir auch die 2 aus dem Nenner der Brüche vor die eckige Klammer. 2³ ergibt 8, also steht vor der eckigen Klammer im Nenner eine zusätzliche 8. Wir erhalten 1/8×\sqrt5[1³+3×1²×(\sqrt5)¹+3×1¹×\sqrt5²+(\sqrt5)³ und es geht weiter -(1³-3×1²×(\sqrt5)¹+3×1×(\sqrt5)²-(\sqrt5)³)]. Ich habe hier die Formeln für a+b³ bzw. a-b³ verwendet. 1³ und 1³ heben sich gegeneinander auf. Das gleiche gilt für 3×1¹×(\sqrt5)² und den entsprechenden Wert mit dem entgegensetzten Vorzeichen. Somit vereinfacht sich der Ausdruck in der vorletzten Zeile: 1/8×\sqrt5(6×\sqrt5+2×(\sqrt5)³).Wir schreiben oben weiter. a3=1/8×\sqrt5(6×\sqrt5+2×\sqrt5×\sqrt5×\sqrt5).\sqrt5×\sqrt5=5. Somit ergibt sich weiter: 1/8×\sqrt5(6×\sqrt5+10(\sqrt5. Wir erhalten also 16×\sqrt5/8×\sqrt5, welches nach kürzen exakt 2 ergibt. Damit haben wir auch bestätigt, a3=2. So nun bleibt uns nur noch übrig die Moivre-Binet-Formel zu beweisen. Das werden wir im Video 3 tun. Ich danke für eure Aufmerksamkeit. Alles Gute und viel Erfolg. Tschüss.