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Fehlende Größen im Dreieck berechnen

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Fehlende Größen im Dreieck berechnen
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse - 7. Klasse

Grundlagen zum Thema Fehlende Größen im Dreieck berechnen

Einführung: fehlende Größen im Dreieck berechnen

Aufgaben zu Dreiecken sind oft Textaufgaben. Aus den Angaben im Text musst du zuerst herauslesen, welche Größen gegeben sind und welche Größen gesucht werden. In diesem Text und Video wird dir einfach und verständlich erklärt, wie du fehlende Größen im Dreieck berechnen kannst. Dazu verwenden wir verschiedene Formeln, die passend zu der Aufgabe umgeformt werden müssen. Nach der Berechnung der fehlenden Größen formulierst du noch einen Antwortsatz, der zu dem Kontext der Textaufgabe passt.

Wie berechnet man fehlende Größen im Dreieck?

Um eine Textaufgabe zu lösen, ist es oft nützlich, in mehreren Schritten vorzugehen. Bevor wir an die Textaufgabe selbst herangehen, überlegen wir uns, welche Formeln für die Aufgabe relevant sind:

Formeln im Dreieck

Es gibt viele verschiedene Formeln für Dreiecke, mit denen du fehlende Größen berechnen kannst. Wir betrachten als Beispiel die Formeln zur Berechnung des Flächeninhalt und des Umfangs. Für den Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks haben wir die drei Formeln:

$A=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

Hierbei bezeichnen $a$, $b$ und $c$ die drei Seiten des Dreiecks und $h_a$, $h_b$ und $h_c$ die jeweiligen Höhen. Für den Umfang $U$ des Dreiecks haben wir die Formel:

$U = a+b+c$

Fehlende Größen im Dreieck berechnen

Gegebene Größen finden

In einer Textaufgabe zu Dreiecken sind typischerweise verschiedene Größen bereits vorgegeben. Lies den Aufgabentext aufmerksam durch und schreibe dir auf, welche Größen in der Aufgabe gegeben sind. Wir betrachten als Beispiel ein Dreieck, bei dem die Seitenläng $a$ und der Flächeninhalt $A$ gegeben sind. Außerdem kennen wir die Höhe $h_b$ zu der Seite $b$.

Gesuchte Größen finden

Um zu wissen, wie du die Textaufgabe löst, musst du als Nächstes herausfinden, welche Größen in der Aufgabe bestimmt werden sollen. Lies den Text aufmerksam durch und schreibe dir heraus, welche Größen gesucht sind. In unserem Beispiel sind die Größen $h_a$ und $b$ gesucht, also die Höhe $h_a$ zu der Seite $a$ und die Länge der Seite $b$.

Formeln passend umformen

Um die gesuchten Größen zu berechnen, müssen wir zuerst eine oder mehrere Formeln auswählen, in denen jeweils nur eine der gesuchten Größen vorkommt. Für unser Beispiel verwenden wir zwei Formeln für den Flächeninhalt::

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$

Die erste dieser beiden Formeln können wir nach der gesuchten Größe $h_a$ umstellen:

$A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a \quad | \; \cdot 2 \newline 2 A = a \cdot h_a \quad |\; : a \newline \frac{2A}{a} = h_a$

Diese Formel gibt also die gesuchte Größe $h_a$ an und verwendet zur Darstellung nur die gegebenen Größen $A$ und $a$. Wir können in diese Formel die vorgegebenen Werte für die Seitenlänge $a$ und den Flächeninhalt $A$ einsetzen und so den fehlenden Wert der Höhe $h_a$ berechnen.

Um die gesuchte Größe $h_b$ zu bestimmen, können wir die zweite Formel für den Flächeninhalt nach $b$ umstellen:

$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b \quad | \; \cdot 2 \newline 2 A = b \cdot h_b \quad |\; : h_b \newline \frac{2A}{h_b} = b$

Wieder können wir die gegebenen Werte für $A$ und $h_b$ einsetzen und den fehlenden Wert für die Seitenlänge $b$ berechnen.

Fehlende Größen im Dreieck berechnen – Beispiele

Beispiel 1

Wir lösen hier eine Aufgabe, bei der folgende Größen gegeben sind:

  • Umfang $U$
  • Seitenlängen $a$ und $b$
  • Höhe $h_b$

Gesucht sind alle weiteren Größen des Dreiecks:

  • Seitenlänge $c$,
  • Höhen $h_a$ und $h_c$
  • Flächeninhalt $A$

Mit der Seitenlänge $b$ und der Höhe $h_b$ können wir den Flächeninhalt berechnen. Dazu verwenden wir die Formel:

$A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$

Um die Seitenlänge $c$ zu berechnen, können wir zum Beispiel die Formel für den Umfang verwenden und nach $c$ auflösen:

$U = a+b+c \quad |\; -a-b \newline U-a-b = c$

Die beiden Höhen $h_a$ und $h_c$ berechnen wir wieder durch Umstellen der Formel für den Flächeninhalt. Wir erhalten dadurch die Formeln:

$h_a = \frac{2A}{a} \qquad$ und $\qquad h_c = \frac{2A}{c}$

Beispiel 2

In unserem zweiten Beispiel sind die Größen nicht direkt gegeben, sondern sie kommen in Gleichungen vor. Vorgegeben sind folgende Gleichungen:

$a = 2b = 1,5c$

Außerdem sind der Umfang $U$ und die Höhe $h_c$ gegeben. Gesucht sind wieder alle fehlenden Größen des Dreiecks.

Wie können wir eine solche Aufgabe lösen? Zuerst müssen wir eine Formel finden, in die wir die Gleichung $a = 2b = 1,5c$ sinnvoll einsetzen können. In der Formel für den Umfang $U$ kommen die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ vor sowie der vorgegebene Umfang. Setzen wir also die Gleichungen dort ein. Wie machen wir das? Wir stellen zuerst die beiden Gleichungen $a=2b$ und $a=1,5c$ nach $b$ und $c$ um:

$b = \frac{a}{2} \qquad $ und $\qquad c = \frac{a}{1,5} = \frac{2}{3} a$

Nun können wir diese Gleichungen in die Formel für den Umfang einsetzen, indem wir $b$ durch $\frac{a}{2}$ ersetzen und $c$ durch $\frac{2}{3}a$:

$U= a+b+c = a+\frac{a}{2} + \frac{2}{3}a$

Nun fassen wir die drei Terme auf der rechten Seite der Gleichung zusammen, indem wir alle Vorfaktoren von $a$ auf den Hauptnenner $6$ bringen:

$U= a+\frac{a}{2} + \frac{2}{3}a = \frac{6}{6}a + \frac{3}{6}a + \frac{4}{6}a = \frac{13}{6}a$

Jetzt können wir die Gleichung nach der unbekannten Größe $a$ auflösen, denn der Umfang $U$ ist in der Aufgabe vorgegeben:

$a = \frac{6}{13} U$

Nun können wir mit dem gegebenen Wert für $U$ den gesuchten Wert für $a$ berechnen. Wir können auch den Wert für $b$ berechnen, dazu nutzen wir die Formel $b=\frac{a}{2}$, die wir zuvor erhalten hatten. Für die unbekannte Seitenlänge $c$ haben wir die Formel $c=\frac{2}{3}a$. Hiermit können wir jetzt auch den Wert der Seitenlänge $c$ berechnen.

Mit der vorgegebenen Höhe $h_c$ können wir nun den Wert für den Flächeninhalt $A$ berechnen:

$A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

Mit den Formeln wie oben können wir schließlich auch die Höhen $h_a$ und $h_b$ berechnen:

$h_a = \frac{2A}{a} \qquad $ und $\qquad h_b= \frac{2A}{b}$

Zusammenfassung: fehlende Größen im Dreieck berechnen

In dem Text und Video wird verständlich erklärt, wie man fehlende Seiten im Dreieck berechnet. Dazu benutzen wir Formeln für den Flächeninhalt $A$ und den Umfang $U$. Um fehlende Winkel zu berechnen, brauchst du weitere Formeln, z. B. die Innenwinkelsumme des Dreiecks. Ergänzend zu diesem Video über fehlende Größen im Dreieck findest du interaktive Übungen und ein Arbeitsblatt hier auf der Seite.

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Vorschaubild einer Übung

Transkript Fehlende Größen im Dreieck berechnen

Die Einwohner der Schieferstraße wollen ihre Häuser für das Schieferfest dekorieren. Das könnte bei dieser Architektur etwas schwierig werden. Jedes Haus hat eine einzigartige Form. Um herauszufinden, wie lang die Girlanden für jedes einzelne Haus werden, müssen wir „Fehlende Größen im Dreieck berechnen.“ Bevor wir uns die Hausdächer der Schieferstraße genauer anschauen, wiederholen wir noch einmal, was wir bisher schon wissen. Die verschiedenen Dreiecksarten können wir nach den Eigenschaften ihrer Seiten einteilen. Da gibt es gleichseitige, gleichschenklige und unregelmäßige Dreiecke. Ebenso gut können wir Dreiecke aber auch nach ihren Winkeln einteilen. Hier kennen wir spitzwinklige, stumpfwinklige und rechtwinklige Dreiecke. Jedes Dreieck hat außerdem eine Grundseite und eine Höhe. Diese beiden Längen brauchen wir, wenn wir den Flächeninhalt eines Dreieckes berechnen wollen. Dafür müssen wir die Grundseite und die Höhe multiplizieren und durch zwei teilen. Wir können „durch zwei“ auch nach vorne ziehen und einfach „mal ein Halb“ rechnen, das führt zum gleichen Ergebnis. Bei rechtwinkligen Dreiecken können wir statt „g“ und „h“ auch die beiden kurzen Seiten multiplizieren. Wenn wir dagegen den Umfang von Dreiecken berechnen wollen, müssen wir die drei Seitenlängen addieren. Da bei einem gleichseitigen Dreieck alle drei Seiten gleich lang sind, brauchen wir nur „drei mal a“ zu rechnen. Bei gleichschenkligen Dreiecken rechnen wir dagegen „zwei mal a plus b“, wobei die beiden gleichlangen Seiten mit „a“ bezeichnet sind. Jetzt haben wir alle Werkzeuge beisammen, um die Dächer mal ganz genau zu untersuchen. Das erste Dach ist ganz eindeutig ein stumpfwinkliges Dach, noch dazu sogar ein gleichschenkliges! Der Umfang des Giebels ist bekannt, das sind achtzehn Meter. „Giebel“ nennt man übrigens die dreieckige Wand direkt unter dem Dach. Außerdem ist die Länge der beiden Schenkel bekannt, sie sind fünf Meter lang. Wir möchten die fehlende Seitenlänge berechnen. Dafür nutzen wir unsere Umfangsformel für gleichschenklige Dreiecke, und setzen die gegebenen Größen ein. Nun können wir die Formel noch weiter zusammenfassen, und überlegen, welche Zahl wir für b einsetzen müssen, damit die Gleichung stimmt. Richtig, b muss genau acht Meter lang sein! Gut, dann auf zum nächsten Haus! Hier ist der Giebel eindeutig ein spitzwinkliges Dreieck. Der Flächeninhalt beträgt laut Hausbewohnerin genau 7,5 Quadratmeter. Außerdem konnte sie die Grundseite nachmessen. Sie beträgt fünf Meter. Was noch berechnet werden muss, ist die Höhe. Wir brauchen also die Formel für den Flächeninhalt von allgemeinen Dreiecken. Wir nehmen die Formel deshalb, weil darin die gegebenen Größen und die gesuchte Größe vorkommen. In diese Formel setzen wir wieder unsere gegebenen Größen ein. Dann können wir die Formel auch noch ein wenig vereinfachen. Hmm, welche Zahl mal 2,5 ergibt denn 7,5? Die drei muss es sein! Die Höhe h beträgt also drei Meter! Grandios, dann werfen wir einen Blick auf das nächste Haus! Wieder ein spitzwinkliger Giebel, diesmal handelt es sich sogar um ein gleichseitiges Dreieck. Die Hausbewohnerin kann sich nur daran erinnern, dass der Umfang zwölf Meter beträgt. Aber wie kriegt sie denn jetzt raus, wie lang jede einzelne Seite ist? Nichts leichter als das! Mit unserer Umfangsformel für gleichseitige Dreiecke finden wir das schnell heraus. Wir setzen einfach die zwölf Meter für den Umfang ein, und überlegen einmal ganz scharf, welche Zahl mit drei multipliziert zwölf ergibt. Richtig erkannt, a ist vier Meter lang. Ein letztes Haus, dann sind die Vorbereitungen für das Fest erledigt! Der Hausbewohner hebt stolz den rechtwinkligen Giebel hervor, und gibt an, dass der Flächeninhalt sechs Quadratmeter beträgt. Außerdem ist die linke Dachseite vier Meter lang. Kannst du die fehlende Seitenlänge mithilfe der passenden Formel berechnen? Pausiere doch kurz das Video und versuche es selbst einmal. Die Seite b ist drei Meter lang, hast du es rausbekommen? Während die Hausbewohner nun mit dem Schmücken ihrer Häuser loslegen, fassen wir die Vorgehensweise noch einmal kurz zusammen. Um fehlende Größen im Dreieck zu bestimmen, müssen wir zuerst genau notieren, welche Größen gegeben und gesucht sind. Dann wählen wir eine Formel aus, in der die gegebenen Größen und die gesuchte Größe vorkommen, und setzen die gegebenen Größen ein. Meistens können wir die Rechnung nach dem Einsetzen zusammenfassen oder vereinfachen. Mit ein bisschen Probieren sollte die Lösung schnell zu erkennen sein. Und hat sich die ganze Arbeit in der Schieferstraße denn auch gelohnt? Ostern, Weihnachten, Geburtstag und Halloween? Ganz schön schräg, diese Schieferstraße!

6 Kommentare
6 Kommentare
  1. Cool

    Von Sophie, vor 9 Monaten
  2. Gut gemacht

    Von Annika, vor 11 Monaten
  3. Gutes video

    Von Annika, vor 11 Monaten
  4. Hallo, alles sehr gut erklärt, aber finde ich ein Video zu Höhenlinien, die außerhalb des Dreiecks liegen?

    Von Merel, vor etwa einem Jahr
  5. HI! Ich finde dass Video auch toll
    Und sehr Interessent
    Have a nice Day

    Von ❤️Cassie❤️Letty❤️, vor etwa einem Jahr
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Fehlende Größen im Dreieck berechnen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Fehlende Größen im Dreieck berechnen kannst du es wiederholen und üben.
  • Vervollständige den Text zur Wiederholung der Größen von Dreiecken.

    Tipps

    Mit den hier gekennzeichneten Längen kann der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet werden.

    Die allgemeine Formel zur Berechnung des Umfangs eines Dreiecks addiert alle drei Seiten miteinander.

    Die Fläche eines Dreiecks ist genau halb so groß, wie die eines Rechtecks mit den Seiten $g$ und $h$.

    Lösung

    Ein Dreieck ist eine geometrische Figur mit drei Ecken und drei Seiten. Um den Flächeninhalt eines Dreiecks auszurechnen, benötigen wir die Grundseite $g$ und die Höhe $\color{#99CC00}{h}$. Es gibt also zu jeder der drei Seiten eines Dreiecks eine dazugehörige Höhe $h$.

    Der Flächeninhalt $A$ wird berechnet, indem die Grundseite $g$ mit der Höhe $h$ multipliziert und anschließend halbiert wird. Die allgemeine Gleichung zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks lautet also:

    $A = \color{#99CC00}{\dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h}$

    Rechenbeispiel:

    Gegeben ist die Grundseite $g$ eines Dreiecks mit $g=10~\text{cm}$ und der Höhe $h=4~\text{cm}$. Wir berechnen den Flächeninhalt wie folgt:

    $\begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 10~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 40~\text{cm}^{2} \\ \\ &=& 20~\text{cm}^{2} \end{array}$

    Addieren wir hingegen alle drei Seiten eines Dreiecks, so können wir den Umfang eines Dreiecks berechnen. Die allgemeine Formel zur Berechnung des Umfangs von Dreiecken lautet:

    $U = \color{#99CC00}{a + b + c}$

    Rechenbeispiel:

    Gegeben ist ein Dreieck mit den Seitenlängen $a=4~\text{cm}$, $b=7~\text{cm}$ und $c=11~\text{cm}$. Wir stellen die Gleichung zur Berechnung des Umfangs auf und rechnen aus:

    $\begin{array}{rcl} U &=& a + b + c \\ \\ &= &4~\text{cm} +7~\text{cm} + 11~\text{cm}\\ \\ &=& 22 ~\text{cm} \end{array}$

  • Gib die fehlenden Größen des gleichschenkligen Dreiecks an.

    Tipps

    Setze die gegebenen Größen in die passende Formel ein und überlege, welchen Wert die gesuchte Größe haben muss, damit die Gleichung stimmt.

    Die Flächeninhaltsformel von Dreiecken lautet:

    $A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$

    Die Umfangsformel eines gleichschenkligen Dreiecks lautet:

    $U = 2a + b$

    Lösung

    Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Diese werden als Schenkel bezeichnet. Die dritte Seite nennt man Basis.

    Um den Umfang eines gleichschenkligen Dreiecks zu ermitteln, müssen wir die Gleichung aufstellen und die gegebenen Werte einsetzen und berechnen. Die Werte $U=18~\text{m}$ und $a=5~\text{m}$ werden in die Formel ${U = 2\cdot a + b}$ eingesetzt:

    $\begin{array}{lrcl} & U &=& 2 \cdot a + b& \\ & 18~\text{m} &= &2 \cdot 5~\text{m} + b \\ & 18~\text{m} &=& 10~\text{m} + b \\ \Leftrightarrow & b &=& \underline{\underline{\color{#99CC00}{8}\color{black}{~\text{m}}}} \end{array}$

    Um den Flächeninhalt eines gleichschenkligen Dreiecks zu ermitteln, müssen wir die allgemeine Gleichung aufstellen, die gegebenen Werte einsetzen und berechnen. Die Werte $A=7,\!5~\text{m}^{2}$ und $g = 5~\text{m}$ werden in die Flächeninhaltsformel $A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$ eingesetzt:

    $\begin{array}{lrcl} & A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ & 7,\!5~\text{m}^{2} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 5~\text{m} \cdot h \\ \\ & 7,\!5~\text{m}^{2} &=& 2,\!5~\text{m} \cdot h \\ \\ \Leftrightarrow & h &=& \underline{\underline{\color{#99CC00}{3}\color{black}{~\text{m}}}} \end{array}$

  • Berechne die fehlenden Größen im Dreieck.

    Tipps

    Hier siehst du die Formel für den Flächeninhalt $A$ eines Dreiecks.

    Der Umfang eines Dreiecks entspricht der Summe aller Seitenlängen.

    Beispiel:

    Gegeben sind $U=15~\text{cm}$, $a = 5 ~\text{cm}$ und $c=4~\text{cm}$. Die Lösung für die Seite $b$ lautet:

    $\begin{array}{lrcl} & U &=& a + b + c& \\ & 15~\text{cm} &=& 5 ~\text{cm} + b + 4~\text{cm} \\ & 15~\text{cm} &=& 9~\text{cm} + b \\ \Leftrightarrow & b &=& 6~\text{cm}& \end{array}$

    Da $9 + 6 = 15$ ergibt.

    In unserem Rechenbeispiel lautet die Lösung für die dritte Seitenlänge ${b=6~\text{cm}}$.

    Lösung

    Gegeben ist die Grundseite eines spitzwinkligen Dreiecks ${g = 7~\text{m}}$ und der dazugehörige Flächeninhalt ${A =14~\text{m}^{2}}$.
    Um die Höhe $h$ auszurechnen, setzen wir die gegebenen Werte in die Flächeninhaltsformel ein und fassen zusammen. Dann überlegen wir, welchen Wert die gesuchte Größe $h$ haben muss:

    $\begin{array}{lrcl} & A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ & 14~\text{m}^{2} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 7~\text{m} \cdot h \\ \\ & 14~\text{cm}^{2} &=& 3,\!5~\text{cm} \cdot h \\ \\ \Leftrightarrow & h &=& \underline{\underline{\color{#99CC00}{4}\color{black}{~\text{m}}}} \end{array}$

    Da $3,\!5 \cdot 4 = 14$.

    Nun sind zusätzlich ${U=21~\text{m}}$ und ${f=6~\text{m}}$ gegeben. Mit der Seite ${g = 7~\text{m}}$ können wir die Gleichung zur Berechnung des Umfangs aufstellen und vereinfachen, um dann auf den passenden Wert für $e$ zu kommen. In unserem Beispiel lautet die Umfangsformel wie folgt:

    $\begin{array}{lrcl} & U &=& e + f + g& \\ & 21~\text{m} &=& e + 6~\text{m} + 7~\text{m} \\ & 21~\text{m} &=&e + 13~\text{m} \\ \Leftrightarrow & e &=& \underline{\underline{\color{#99CC00}{8}\color{black}{~\text{m}}}} \end{array}$

    Da $8 + 13 = 21$.

  • Bestimme die gesuchten Größen im Dreieck.

    Tipps

    Was für jedes Dreieck gilt, siehst du auf dieser Abbildung.

    Überlege, für welchen Wert der gesuchten Größe die Formel mit den gegebenen Größen das richtige Ergebnis liefert.

    Beispiel:

    $\begin{array}{lrcl} & 15 &=& x \cdot 3 \\ \Leftrightarrow & x &=& 5 \end{array}$

    Da $5 \cdot 3 = 15$.

    Lösung

    Die Flächeninhaltsformel eines Dreiecks lautet:

    $A = \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h$

    Für den Umfang eines Dreiecks mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ gilt allgemein:

    $U = a + b + c$


    Wollen wir bei gegebenem Flächeninhalt oder Umfang eine der Seiten berechnen, setzen wir die gegebenen Größen in die passende Formel ein. Dann überlegen wir, für welchen Wert der gesuchten Größe die Formel stimmt.

    Beispiel 1

    $~{A = 36~\text{cm}^{2}}$, ${g = 18~\text{cm}}$, ${h =\ ?}$

    $\begin{array}{lrcl} & A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ & 36~\text{cm}^{2} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 18~\text{cm} \cdot h \\ \\ & 36~\text{cm}^{2} &=& 9~\text{cm} \cdot h \\ \\ \Leftrightarrow & h &=& \underline{\underline{4~\text{cm}}} \end{array}$

    Da $~9 \cdot 4 = 36$.

    Beispiel 2

    $~{h = 12~\text{cm}}$, ${g = 7~\text{cm}}$, ${A =\ ?}$

    $\begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g\cdot h \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 7~\text{cm} \cdot 12~\text{cm} \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 84~\text{cm}^{2} \\ \\ &=& \underline{\underline{42~\text{cm}^{2}}} \end{array}$

    Beispiel 3

    $~{U = 23~\text{cm}}$, ${a = 5~\text{cm}}$, ${c = 7~\text{cm}}$, ${b =\ ?}$

    $\begin{array}{lrcl} & U &=& a + b + c \\ & 23~\text{cm} &=& 5~\text{cm} + b + 7~\text{cm} \\ & 23~\text{cm} &=& 12~\text{cm} + b \\ \Leftrightarrow & b &=& \underline{\underline{11~\text{cm}}} \end{array}$

    Da $12 + 11 = 23$.

    Beispiel 4

    $~{A = 48~\text{cm}^{2}}$, ${g = 16~\text{cm}}$, ${h =\ ?}$

    $\begin{array}{lrcl} & A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ & 48~\text{cm}^{2} &=& \dfrac{1}{2} \cdot 16~\text{cm} \cdot h \\ \\ & 48~\text{cm}^{2} &=& 8~\text{cm} \cdot h \\ \\ \Leftrightarrow & h &=& \underline{\underline{6~\text{cm}}} \end{array}$

    Da $8 \cdot 6 = 48$.

    Beispiel 5

    $~{U = 32~\text{cm}}$, ${a = 4~\text{cm}}$, ${c = 13~\text{cm}}$, ${b =\ ?}$

    $\begin{array}{lrcl} & U &=& a + b + c \\ & 32~\text{cm} &=& 4~\text{cm} + b + 13~\text{cm} \\ & 32~\text{cm} &=& 17~\text{cm} + b \\ \Leftrightarrow & b &=& \underline{\underline{15~\text{cm}}} \end{array}$

    Da $17 + 15 = 32$.

    Beispiel 6

    ${g = 4~\text{cm}}$, ${h = 29~\text{cm}}$, ${A =\ ?}$

    $\begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g\cdot h \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 4~\text{cm} \cdot 29~\text{cm} \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 116~\text{cm}^{2} \\ \\ &=& \underline{\underline{58~\text{cm}^{2}}} \end{array}$

  • Berechne den Flächeninhalt des Dachgiebels.

    Tipps

    Prüfe, welche besondere Eigenschaft das dargestellte Dreieck aufweist.

    Die Seite $b$ liegt senkrecht zur Seite $a$. Dasselbe gilt auch umgekehrt.

    Beispiel:

    Gegeben sind die kurze Seite $a = 8 ~\text{cm}$ und die Seite $b = 4 ~\text{cm}$ eines rechtwinkligen Dreiecks. Durch die Flächeninhaltsformel können wir den gesuchten Flächeninhalt $A$ ermitteln:

    $\begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 8~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} \\ \\ &=& \dfrac{1}{2} \cdot 32~\text{cm}^{2} \\ \\ &=& 16~\text{cm}^{2} \end{array}$

    Lösung

    Der Dachgiebel dieses Hauses ist ein rechtwinkliges Dreieck. Zwischen zwei Seiten dieses Dreiecks besteht also ein $\color{#99CC00}{90^\circ}$-Winkel. Der rechte Winkel wird im Dreieck als Punkt im Winkelzeichen angegeben. Die anderen beiden Winkel sind demnach spitze Winkel und somit kleiner als $90^\circ$. Durch diese Eigenschaften kann man in diesem Dreieck besonders leicht Berechnungen durchführen.

    Gegeben sind die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks $a = 10 ~\text{m}$ und $b = 7 ~\text{m}$. Um den Flächeninhalt $A$ auszurechnen, setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein:

    $\begin{array}{rcl} A &=& \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \\ \\ A &=& \dfrac{1}{2} \cdot 10~\text{m} \cdot 7~\text{m} \\ \\ A &=& \dfrac{1}{2} \cdot 70~\text{m}^{2} \\ \\ A &=& \underline{\underline{\color{#99CC00}{35}~\color{black}{\text{m}^{2}}}} \end{array}$

  • Ermittle den Flächeninhalt der Teildreiecke.

    Tipps

    Ein gleichschenkliges Dreieck besteht aus zwei gleichlangen Seiten und einer weiteren Seite. Es ist symmetrisch.

    Um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu berechnen, müssen im ersten Schritt die Grundseite und die Höhe multipliziert werden.

    Mit der bekannten Gesamtfläche und der Höhe kannst du die Länge der Grundseite $g$ bestimmen.

    Lösung

    Gegeben ist der Gesamtflächeninhalt $A = 112~\text{cm}^2$ und die Höhe $h = 16~\text{cm}$. Wir können daraus die Grundseite $g$ berechnen:

    $\begin{array}{lrcl} & A &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot h \\ \\ & 112~\text{cm}^{2} &=& \dfrac{1}{2} \cdot g \cdot 16~\text{cm} \\ \\ & 112~\text{cm}^{2} &=& 8~\text{cm} \cdot g \\ \\ \Leftrightarrow & g &=& 14~\text{cm} \end{array}$

    Um die Grundseiten (diese bezeichnen wir hier mit $g_{1/3}$) der kleinen Dreiecke zu berechnen, ziehen wir die Länge der grünen Seite von $g$ ab und teilen durch $2$:

    $g_{1/3} = \dfrac{g - 7~\text{cm}}{2} = \dfrac{14~\text{cm} - 7~\text{cm}}{2} = 3{,}5~\text{cm}$

    Hier haben wir durch $2$ geteilt, da wir links und rechts die gleichen Dreiecke mit der gleichen Grundseitenlänge haben.

    Die Höhe ($h_{1/3}$) der kleinen Dreiecke ermitteln wir, indem wir die Höhe durch $2$ teilen, da die grüne Linie die Höhe genau halbiert:

    $h_{1/3} = \dfrac{h}{2} = \dfrac{16~\text{cm}}{2} = 8~\text{cm}$

    Damit haben wir alle Bestandteile, um die Flächeninhalte der unteren Dreiecke zu berechnen:

    $A_1 = \dfrac{1}{2}\cdot g_1 \cdot h_1 = \dfrac{1}{2} \cdot 3{,}5~\text{cm} \cdot 8~\text{cm} = \underline{\underline{\color{#99CC00}{14}\color{black}{~\text{cm}^2}}}$

    Das entspricht auch $A_3$, denn die Gesamtfigur ist als gleichschenkliges Dreieck symmetrisch.

    Das obere Dreieck können wir analog mit der Höhe $h_2 = 8~\text{cm}$ berechnen, da das die obere Hälfte der Gesamthöhe ist. Als Grundseite nehmen wir die grüne Linie $g_2 = 7~\text{cm}$. Damit erhalten wir:

    $A_2 = \dfrac{1}{2}\cdot g_2 \cdot h_2 = \dfrac{1}{2} \cdot 7~\text{cm} \cdot 8~\text{cm} = \dfrac{1}{2} \cdot 56~\text{cm}^2 = \underline{\underline{\color{#99CC00}{28}\color{black}{~\text{cm}^2}}}$

    Zusammengefasst ergeben sich die folgenden Teilflächen:

    • $A_1 = 14~\text{cm}^2$
    • $A_2 = 28~\text{cm}^2$
    • $A_3 = 14~\text{cm}^2$

    Hinweis: Alternativ kannst du auch eine der drei Dreiecksflächen und die Fläche des Rechtecks in der Mitte berechnen. Diese ziehst du dann vom Gesamtflächeninhalt ab, um die anderen zwei Flächen zu bestimmen. Das funktioniert, da es sich hier um ein gleichschenkliges und daher symmetrisches Dreieck handelt.