Extremwertaufgabe – Fläche zwischen Graphen 12:56 min

Textversion des Videos

Transkript Extremwertaufgabe – Fläche zwischen Graphen

Hallo liebe Mathefans, herzlich willkommen. In diesem Video beschäftige ich mich mit einer Extremwertaufgabe, hierbei soll eine Fläche extremal werden, und diese Fläche wird begrenzt durch die Graphen zweier Funktionen, wobei eine Funktion aus einer Funktionenschar stammt. Aus unserem mathematischen Werkzeugkoffer brauchen wir die Berechnung von Flächen zwischen zwei Funktionen. Wir sollten Extremwerte und Schnittstellen bestimmen können und wie immer müssen wir Gleichungen lösen. Gut, schauen wir uns zunächst einmal die Aufgabenstellung an. Gegeben ist die Funktion g mit g(x)=4-x2, sowie die Funktionenschar mit fk(x) mit dem angegebenen Funktionsterm und der Einschränkung für den Scharparameter k, nämlich das k größer als 1 sein soll. Die Graphen G von fk und der Graph von g schließen eine Fläche ein mit dem Inhalt A(k). Für ein bestimmtes k wird der Inhalt A(k) minimal. Die Aufgabe lautet: Bestimme dieses k und den minimalen Flächeninhalt. Zur Bearbeitung einen Hinweis, der Nachweis dafür, dass es sich um ein Minimum handelt, ist nicht verlangt. Da gehe ich, wenn es dann soweit ist, nochmal darauf ein, was hier gemeint ist. Gut, bevor wir nun das Ganze rechnerisch angehen, möchte ich die Aufgabenstellung einmal im Schaubild veranschaulichen. Wir sehen hier den Graphen der Funktion g mit der dazugehörigen Funktionsgleichung. Und dazu lasse ich einmal den Graphen einer Funktion aus der Funktionenschar rechnen. In diesem Fall ist es der Graph von f für k=1,25. Wir haben oben noch mal die Funktionsgleichung für f. Und wie man erkennt schließen die beiden Graphen eine Fläche ein. Und für dieses k gibt es einen bestimmten Flächeninhalt mit der Größe A, in diesem Falle 12,831. Verändert man nun das k, dann erhält man auch einen anderen Graphen aus der Funktionenschar, nur mal kurz angedeutet. Und mit jedem neuen Graphen erhält man auch einen anderen Flächeninhalt. Und wenn man jetzt noch mal kurz auf den Flächeninhalt achtet, erkennt man, dass der Flächeninhalt kleiner wird bis zu einem bestimmten Punkt und dann wieder größer wird. Somit gibt es ein k, für das die Graphen von g und f einen kleinsten Flächeninhalt einschließen und darum geht es ja in dieser Aufgabe. Man kann das Ganze auch noch einmal in der Weise simulieren, indem man sich zu jedem k, den zugehörigen Flächeninhalt angeben lässt und für eine solche Kombination, also k und zugehöriger Flächeninhalt, einen Punkt zeichnen lässt und damit entsteht diese Punktfolge. Und diese Punktfolge gehört zu einer Funktion und diese Funktion gilt es zunächst einmal herauszubekommen und letztendlich zu zeigen, dass diese Funktion ein Minimum besitzt, welches dann den minimalen Flächeninhalt angibt. Gut, soweit zur Veranschaulichung, gehen wir das Ganze mal rechnerisch an. Hier oben sieht man noch einmal die Eckdaten der Aufgabe. Wir werden diese Aufgabe nun in verschiedenen Schritten lösen. Um einen Flächeninhalt zwischen den Graphen zweier Funktionen zu bestimmen, benötigen wir zunächst einmal die Schnittstellen dieser beiden Graphen, also die Schnittstellen von der Funktion g(x) und der Scharfunktion, die dann letztendlich unsere Integralgrenzen darstellen. Somit gilt der Ansatz g(x)=fk(x) oder eben mit Funktionsterm so geschrieben. Ich löse das Ganze jetzt einmal ohne Rechner. Im ersten Schritt rechnen wir +k und +x2, dann entsteht: 4 + k = (k2-1)×x2+x2. Jetzt ist es möglich auf der rechten Seite jeweils ein x2 auszuklammern, sodass jetzt Folgendes entsteht. Aus (k2-1)×x2 bleibt k2-1 über beim Ausklammern und aus x2 bleibt +1 über. Jetzt wird in der Klammer weitergerechnet. Die -1 und die +1 heben sich auf, sodass hier letztendlich diese Zeile übrig bleibt. Nun teilen wir durch k2, können wir, da k nicht 0 ist, und es ergibt sich der Ausdruck für x2, Wurzelziehen: also ist |x| = √((4+k)/k2) und hieraus resultieren die Schnittstellen xS1 und xS2. Hier oben sind noch einmal die Schnittstellen notiert. Im zweiten Schritt bestimmen wir jetzt den Flächeninhalt, also die Flächenfunktion A(k). Und die Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen wird berechnet mit einem Integral über eine Differenzfunktion, wobei die oben begrenzende Funktion, in dem Fall g(x), vorne stehen sollte, und davon wird die unten begrenzende Funktion abgezogen. Die Integralgrenzen sind die Schnittstellen, somit wäre das der Ansatz für die Flächenfunktion oder mit den Termen eingesetzt sieht es so aus. Wobei man darauf achten sollte, dass fk(x), also die abzuziehende Funktion noch einmal in Klammern gesetzt wird. Gut, jetzt bringen wir das Vorzeichen in die Klammer. Es entsteht dann hier hinten ein +k. Im nächsten Schritt passiert dann Folgendes, ich habe das k nach vorne geschrieben, 4+k. Und aus x2 und -x2×(k2-1) habe ich das x2 ausgeklammert, sodass dieser Ausdruck entsteht. Jetzt kann in der Klammer +1 gegen die -1 verrechnet werden, sodass dieser Ausdruck überbleibt. Und für diesen Term in Klammern stelle ich jetzt eine Stammfunktion auf, die so aussieht, sie entsteht folgendermaßen. 4 integriert wäre 4x, k integriert wäre kx, wenn man das x dann wieder ausklammern würde, würde dieser Ausdruck entstehen. Und der letzte Term integriert ist 1/3x3</sup×>k2 oder (3</sup×>k2)/3. Jetzt werden die Grenzen eingesetzt, die obere zuerst, minus dann die untere eingesetzt. Das habe ich diesmal tatsächlich dem Taschenrechner überlassen, kann aber auch nachgerechnet werden, wer das gerne möchte, sodass wir auf diesen Ausdruck kommen. Und dieser Ausdruck ist jetzt A(k), das heißt mit diesem Ausdruck könnte für jedes k der entsprechende Flächeninhalt berechnet werden. So, hier nochmal die Schnittstellen, hier nochmal die Funktion A(k) für den Inhalt der Fläche. Jetzt geht es im dritten Schritt darum, den minimalen Flächeninhalt zu bestimmen. Das heißt wir suchen das Minimum dieser Funktion. Zur Bestimmung von Extremstellen muss die hinreichende Bedingung für Extremstellen erfüllt werden, die da lautet, dass die erste Ableitung der Funktion an diesen Extremstellen gleich 0 sein muss und die zweite Ableitung ungleich 0 an dieser Stelle. Und hier jetzt noch einmal zurück zur Aufgabenstellung. Diese Überprüfung mit der zweiten Ableitung wird hier nicht gefordert. Das heißt wir gehen dann davon aus, dass wenn wir eine Extremstelle gleich herausbekommen, dass dort ein Minimum vorliegt. Gut, die erste Ableitung sieht so aus. Die habe ich durch den Rechner machen lassen und der Ansatz wäre jetzt diese erste Ableitung gleich 0 zu setzen. Im ersten Schritt bringen wir den rechten Ausdruck auf die rechte Seite vom Gleichheitszeichen, dann entsteht diese Gleichung. Jetzt rechnen wir mal k und mal 3k2. Dadurch verschwinden die Nenner und es entsteht diese folgende Zeile. Jetzt werden beide Seiten quadriert. Hier nochmal der Hinweis, wenn man eine Gleichung quadriert ist dies keine Äquivalenzumformung, das heißt hier kann es passieren, dass man sich Lösungen reinholt, die eigentlich gar keine Lösungen sind. Das müssten wir dann später noch einmal überprüfen. Durch das Quadrieren entsteht Folgendes, 6 wird quadriert, k2 wird quadriert, die Wurzel wird quadriert. Wurzel quadriert ist dann die Diskriminante. 4k2 also 42 16 k2 und die Wurzel wird wieder quadriert, das heißt die Diskriminante bleibt übrig. Jetzt bringen wir den rechten Teil der Gleichung wieder nach links und können jetzt aus den beiden Termen Folgendes ausklammern. Aus der 36 und der 16 eine 4. Aus dem k4 und dem k2 können wir ein k2 ausklammern und aus dem Faktor (4+k) und dem Faktor (4+k)3 können wir einmal die 4+k jeweils ausklammern, sodass Folgendes überbleibt, 9k2-4×(4+k)2. Und mit dieser Gleichung lässt sich jetzt schon etwas über die Lösung für k aussagen. Wir sehen hier drei Faktoren, 4k2, dann (4+k) und diese große Klammer. Und diese drei sollen ja multipliziert 0 ergeben. Und dieses Produkt aus drei Faktoren wird genau dann 0, wenn einer dieser Faktoren 0 ist. Der erste Faktor ist 4k2. Und 4k2 wird genau dann 0, wenn k 0 ist. Also ist die erste Lösung k=0. Nehmen wir diese Lösung mal, überprüfen wir sie gleich einmal. Und wir sehen, wenn wir 0 in die erste Ableitung einsetzen würde man in beiden Nennern eine 0 kriegen. Und das darf in der Mathematik nicht sein. Damit ist k=0 keine Lösung. Und das ist zum Beispiel eine Lösung die entstanden ist, weil wir hier quadriert haben. Also ist k1=0 keine Lösung. Der zweite Faktor wird 0, also 4+k wird 0, wenn k=-4 ist. Wenn man die dort oben überprüfen würde, wäre -4 eine reelle Lösung. Der dritte Faktor ist die große Klammer. Und die große Klammer ist letztendlich ausgerechnet eine quadratische Gleichung, die dann gleich 0 gesetzt wird und die man dann mit der Lösungsformel oder mit der quadratischen Ergänzung lösen könnte. Die erste Lösung die man erhält ist k3=-8/5. Überprüft man -8/5 mit der ersten Ableitung, so würde sich dort nicht das Ergebnis 0 ergeben, somit ist auch -8/5 keine Lösung. Und auch sie ist entstanden durch das Quadrieren an dieser Stelle. Also -8/5 ist keine Lösung. Und aus der quadratischen Gleichung hier entsteht die vierte Lösung, nämlich die 8. Und die 8 eingesetzt ergibt tatsächlich eine 0, das heißt es kommen zunächst einmal nur die -4 und die 8 als Lösung in Frage. Und wenn wir jetzt noch darauf achten, dass k größer 1 sein soll, dann liegt unser gesuchtes Minimum an der Stelle k=8. Gut, hier steht nochmal unser k, was in Frage kommt. Und im letzten Schritt geht es jetzt darum diesen minimalen Flächeninhalt zu bestimmen. Das ist nicht mehr so schwer, denn wir suchen ja den Flächeninhalt für k=8, das heißt wir setzen die 8 in die A(k) Funktion ein, erhalten diesen Ausdruck. Es entsteht daraus Folgendes, also 4+8 ist ja 12, 123 und wenn ich aus 123 die Wurzel ziehe, bleibt einmal die 12 vor der Wurzel über und einmal bleibt die 12 unter der Wurzel. 4 mal 12 ist 48 durch 24 ist also 2×√12. Und wenn ich aus der 12 teilweise die Wurzel ziehe, also 12 ist ja 4 mal 3, dann kann ich aus der 4 noch die Wurzel ziehen, dann ist das eine 2, sodass hier steht 2×2×√3, also 4×√3 Flächeneinheiten, ist der Flächeninhalt der minimalen Fläche zwischen den Graphen der beiden Funktionen. Schaut man sich das Ganze noch einmal im Schaubild an, so sehen wir hier den Graph der Flächenfunktion A(k). Und wir erhalten für k=8 den Flächeninhalt 6,928, das entspricht 4×√3 und das ist gleichzeitig das Minimum dieser Flächenfunktion. Notieren wir das Ganze am Ende noch einmal in einem Antwortsatz. Für k=8 schließen der Graph von g und der Graph der Funktionenschar fk eine Fläche mit dem Inhalt 4×√3 Flächeneinheiten ein. Dieser Flächeninhalt ist minimal. Gut, das war es zu dieser Beispielaufgabe. Ich bedanke mich, wie immer, fürs Zuschauen. Bis zum nächsten Mal. Tschüss.