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Exponentialfunktionen – Definition 09:49 min

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Transkript Exponentialfunktionen – Definition

Hallo. Wir kommen zu einem großen, schönen und aufregenden Kapital der Mathematik. Nämlich das Kapital Exponentialfunktionen. Und da fangen wir mal ganz sachte an. Nämlich mit der Definition. Eine Exponentialfunktion, also das ist Definition Teil eins, Teil zwei kommt noch. Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die eine Funktionsgleichung der folgenden Form haben kann. Nämlich y=ax. a darf dabei nicht irgendeine Zahl sein, sondern es soll gelten: a ist Element der positiven, reellen Zahlen. a muss also positiv sein. Ausgeschlossen ist außerdem noch die 1. Und das liest man hier: “a Element R plus ohne 1”. Oder ohne die Menge 1. So, und da sind ein paar Erläuterungen fällig, glaube ich. Die kommen jetzt. Also, warum sage ich nicht einfach, das hier ist eine Exponentialfunktion? Naja. Weil es nicht stimmt. Das ist eine Gleichung und keine Funktion. Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung und keine Gleichung. Wenn ich allerdings für a hier eine Zahl einsetze, zum Beispiel die 2 Dann kann ich weiter für x Zahlen einsetzen. Und ich bekomme immer ein eindeutiges Ergebnis. Und dadurch wird dann, also mit Hilfe dieser Gleichung, dieser Funktionsgleichung wird dann also eine eindeutige Zuordnung definiert. Aber das hier ist eben keine Funktion. Sondern eine Funktionsgleichung. Warum sage ich nicht, eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die eine solche Funktionsgleichung hat? Sondern ich sage haben kann. Nun ja, weil man diese Funktionsgleichung auch verändern kann. Und zwar so verändern kann, dass sie immer noch dieselbe Funktion beschreibt. Ich könnte zum Beispiel, ganz blöder Fall, hier einfach +0 dahinter setzen. Dann habe ich hier, dann ist der Funktionsterm anders geworden. Die ganze Funktionsgleichung ist anders geworden. Trotzdem wird dieselbe Exponentialfunktion dadurch beschrieben. Aber weil es eben verschiedene Funktionsgleichungen gibt, die dieselbe Funktion beschreiben. Deshalb kann man nur sagen, eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die eine Funktionsgleichung dieser Form hier haben kann. Nämlich y=ax. Warum ist die Eins ausgeschlossen? Warum darf man für a nicht Eins einsetzen? Es gibt viele interessante Eigenschaften der Exponentialfunktionen. Diese, wenn man jetzt a, wenn man für a auch 1 zulassen würde, diese Eigenschaften würden fast alle nur für solche Exponentialfunktionen gelten, deren Basis, also deren a, ungleich 1 ist. Das heißt, man müsste also bei jedem Satz über Exponentialfunktionen hinschreiben: Dieser Satz gilt für alle Exponentialfunktionen. Außer für die Exponentialfunktionen, die als Basis die 1 haben. Und weil man das nicht machen möchte, weil es auch, naja, wenn man hier für a eins einsetzt, hat man ja nur eine Parallele zur x-Achse. Weil 1 hoch irgendwas ist immer eins. Weil das also alles so ist, hat man gesagt, okay, wir lassen das mit der 1. Das ist eh uninteressant. Damit ist die 1 ausgeschlossen. Warum darf man nur positive Zahlen einsetzen? Naja, wenn ich jetzt hier für a -2 einsetzen würde und für x setze ich 3 ein. Dann kann ich ja durchaus -23 rechnen. Das ist nicht das Problem. Aber wenn ich für x eben nicht 3 einsetze, sondern zum Beispiel 6/2. Dann wird die Sache schon wieder schwierig. 6/2 bedeutet oder kann bedeuten, ich ziehe erst die Quadratwurzel aus -2. Und potenziere dann mit 6. Da die Quadratwurzel aus -2 im Reellen nicht definiert ist, hätten wir da das erste Problem. Es würden viele, viele weitere Probleme folgen. Man könnte dann punktuell so was noch definieren. Ist aber nicht weiter von Bedeutung so eine punktuelle Definition. Man würde auch völlig durcheinander geraten. Es wäre was ganz anderes dann. Und deshalb hat man einfach gesagt, okay, wir lassen die negativen Basen weg. Dann sind das eben keine Exponentialfunktionen. Und das ist auch gut so. Wollte nochmal darauf hinweisen, das was eine Exponentialfunktion ist, ist also nicht vom Himmel gefallen. Es ist nicht Gott gegeben. Und es hat auch nicht der Obermathematiker festgelegt. Sondern man hat mehrere Alternativen durchdacht. Hat die miteinander verglichen. Und hat sich für die vernünftigste entschieden. Und das ist hier also rausgekommen. Das ist eine Exponentialfunktion. Oder Funktionen, die eine solche Funktionsgleichung haben können, sind Exponentialfunktionen. Beispiele sind hier. Das ist eine Funktionsgleichung: y=2x. Und diese Gleichung hat diese Form. Und daher beschreibt diese Funktionsgleichung eine Exponentialfunktion. Man darf nicht nur ganze Zahlen für a einsetzen. Sondern auch Brüche. Auch das sind ja ganz normale Zahlen. Zum Beispiel könnte ich zwei 2/6 einsetzen für a. y = (2/6)x. Das ist eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion. Und auch hier würdest du natürlich als Erstes kürzen. Auch wenn man sich im Kapitel der Exponentialfunktionen befindet, darf man trotzdem die Bruchrechnung beherzigen. Und hier auch zum Beispiel so eine Basis kürzen. Das a ist die Basis. Ich weiß nicht, ob ich es noch sagen muss? Basis, Exponent. Ja. Das sind die Begriffe, die hier wichtig sind. Dann haben wir auch noch als Beispiel y = (√17)x. Und der Eindeutigkeit halber schreibe ich das mal in Klammern. Ich weiß nicht, manchmal schreibt man es mit Klammern. Manchmal ohne. Ich mach es jetzt mal hier mit. So. Wurzel 17 ist eine irrationale Zahl. Das ist weiter kein Problem. Auch für a darf man eben irrationale Zahlen einsetzen. Sie dürfen nur nicht negativ sein und dürfen nicht gleich 1 sein. So weit also Definition erster Teil mit Beispielen. Dann kann dir folgendes passieren: Wir haben eine, ich schreibe mal einen Funktionsterm hin. Und zwar 2x. Das ist ein Funktionsterm. Also das, was hier rechts des Gleichheitszeichens steht, ist ja jeweils der Funktionsterm. Mit y gleich zusammen ist es die Funktionsgleichung. Ich darf hier auch noch eine Zahl davor schreiben. Und zwar die 4. 4×2x ist auch eine Exponentialfunktion. Ja. Warum habe ich das nicht gleich gesagt? Naja, meistens steht es so in den Büchern. Eine Exponentialfunktion ist eine Funktion, die eine solche Funktionsgleichung haben kann. Und hinterher erfährt man dann, naja, es reicht, dass irgendwo in dem Funktionsterm eine positive Basis ungleich 1 vorkommt. Und ein Exponent der das x enthält. Wenn das der Fall ist, in dem Funktionsterm irgendwo, dann handelt es sich auch um eine Exponentialfunktion. Es kann vor dem x hier auch noch was anderes stehen. Und zwar eine 3. Und dann habe ich noch plus einhalb dahinter. Das ist alles der Exponent. Und dann kann noch minus 23 kommen. Und das könnte auch noch in einem Bruch sein. Und so weiter und so fort. Auch ein solcher Funktionsterm, beziehungsweise jetzt Funktionsgleichung, auch das ist eine Gleichung einer Exponentialfunktion, eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion. Also immer, wenn in dem Funktionsterm irgendwo eine positive Basis ungleich 0 und ein Exponent vorkommt, der ein x enthält, dann handelt es sich um eine Exponentialfunktion. Selbst dann, wenn jetzt hier noch mal x dahinter steht. Minus 23 mal x ist eine lineare Funktion. Wenn hier das x im Exponenten vorkommt, ist das Ganze eine Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion. Das ist relativ kompliziert. Da kommen wir erst später zu. Ich möchte hier im Folgenden also ein paar einfachere Beispiele besprechen. Tasten wir uns langsam ran. Bis dahin, viel Spaß. Tschüss.

1 Kommentar
  1. 1^X ergibt doch immer 1, bei der zweite Übung simmt das wohl nicht, dass 1^x immer null ergibt.
    stimmt das?

    Von Alaashahen95, vor etwa 2 Jahren

Exponentialfunktionen – Definition Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Exponentialfunktionen – Definition kannst du es wiederholen und üben.

  • Zeige auf, bei welchen Funktionen es sich per Definiton um Exponentialfunktionen handelt.

    Tipps

    Eine Exponentialfunktion kann die Form $y=a^{x}$ oder $y=b \cdot a^{cx+d}+e$ haben.

    Die Basis $a$ muss dabei aber immer eine positive reelle Zahl sein, die ungleich $1$ ist.

    Reelle Zahlen sind alle Zahlen, also auch irrationale Zahlen.

    Lösung

    Nur die Gleichungen $y=2^{x}$, $y=\big(\frac{2}{6}\big)^{x}$, $y=\big(\sqrt{17}\big)^{x}$ und $y=4 \cdot 2^{3x+\frac{1}{2}}$ entsprechen der Definition einer Exponentialfunktion:

    Diese Funktionen haben die Form $y=a^{x}$ bzw. allgemeiner $y=b \cdot a^{cx+d}+e$ und die Basis $a$ ist eine positive reelle Zahl, die ungleich $1$ ist.

    Die Funktion $y=1^{x}$ hat eine $1$ als Basis $a$ und ist somit eine lineare Funktion, deren Graph parallel zur x-Achse verläuft.

    Die Funktion $y=\big(-2\big)^{x}$ ist ebenfalls keine Exponentialfunktion, weil die Basis stets eine positive reelle Zahl sein muss.

  • Gib an, welche Bedeutung der Ausdruck $a \in \mathbb{R}^{+}\backslash \{1\}$ für die Definition einer Exponentialfunktion $y=a^x$ hat.

    Tipps

    Der Ausdruck „$\in$” steht für „Teil” oder „Element” einer Menge.

    „$\mathbb{R}^{+}$” bedeutet „positive reelle Zahl”.

    „$ \backslash \{1\}$” bedeutet „außer $1$”.

    Lösung

    Der mathematische Ausdruck $a \in \mathbb{R}^{+}\backslash \{1\}$ für die Funktionsgleichung $y=a^x$ bedeutet also, dass die Basis $a$ eine positive reelle Zahl sein muss, die jedoch nicht $1$ sein darf.

    Der Bereich der reellen Zahlen ist der größte und umfassendste Zahlenbereich, den du kennst: Er beinhaltet gebrochene und sogar unendliche Zahlen, so wie $\Pi$ oder $\sqrt{17}$.

  • Stelle dar, ob es sich bei der Funktion $y=1^{x}$ per Definition um eine Exponentialfunktion handelt.

    Tipps

    Für eine Exponentialfunktion der Form $y=a^{x}$ gilt:

    $a \in \mathbb{R}^{+}\backslash \{1\}$.

    Schaue dir an, was passiert, wenn man für die Funktion $y=1^{x}$ verschiedene $x$-Werte einsetzt.

    Lösung

    Bei der Funktion $y=1^{x}$ handelt es sich per Definition nicht um eine Exponentialfunktion.

    Mit dem Ausdruck $a \in \mathbb{R}^{+}\backslash \{1\}$ wird die Zahl $1$ als Basis $a$ ausgeschlossen, weil eine Funktion dieser Art immer nur gleiche Funktionswerte liefert.

    $1^{x}$ ergibt eben immer $1$, egal ob man für $x$ die Zahl $1$, $2$ oder $1000$ einsetzt.

    Wenn du den Graphen einer solchen Funktion darstellst, erhältst du also eine Gerade, die parallel zur $x$-Achse verläuft.

    Die Funktion weicht in vielen Eigenschaften von den „typischen” Exponentialfunktionen ab, die entweder wachsen oder fallen.

    Aus diesem Grunde hat man diese spezielle Funktion per Definition als Exponentialfunktion ausgeschlossen.

  • Leite her, warum die Basis einer Exponentialfunktion keine negative Zahl sein darf anhand des Beispiels $f(x)=\big(-2\big)^{x}$.

    Tipps

    Nachdem du für $x$ den Bruch $\frac{7}{2}$ eingesetzt hast, kannst du damit beginnen, die Gleichung zu vereinfachen.

    Verwende dazu zuerst folgende Regel:

    $m^{\frac{a}{b}}= \sqrt[b]{m}^{a}$.

    Dann berechne die Potenz unter der Wurzel.

    Aber Achtung: Wenn man eine negative Basis mit einem ungeraden Exponenten hat, bleibt das Ergebnis negativ.

    Lösung

    Um die Ausschluss der negativen Basis in der Exponentialfunktion mit Hilfe der gegebenen Werte zu überprüfen, gehst du am besten folgendermaßen vor:

    1. Du notierst dir zunächst die Funktionsgleichung.
    2. Setze den gegebenen $x$-Wert in diese Gleichung ein.
    3. Wandle den gebrochenen Exponenten mit der Regel $m^{\frac{a}{b}}= \sqrt[b]{m}^{a}$ in einen ganzzahligen Exponenten kombiniert mit einer Wurzel um.
    4. Berechne nun die Potenz. Du erhältst eine negative Zahl.
    Damit bist du am Ende: Aus einer negativen Zahl kann man keine Quadratwurzel ziehen. Das ist nicht definiert.

    Deshalb hat man sich dazu entschlossen, dass eine negative Basis bei einer Exponentialfunktionen per Definition ausgeschlossen wird.

  • Prüfe, um welche Art von Funktion es sich handelt.

    Tipps

    Eine Exponentialfunktion kann die Form $f(x)=a^{x}$, $f(x)=b \cdot a^{x}$ oder $f(x)=b \cdot a^{cx+d}+e$ haben.

    Eine lineare Funktion kann die Form $f(x)=mx$, $f(x)=mx+b$ oder $f(x)=b$ haben.

    Eine Potenzfunktion hat immer den $x$-Wert in der Basis, also zum Beispiel $f(x)=x^{4}$.

    Lösung

    Eine Exponentialfunktion erkennst du in erster Linie daran, dass der $x$-Wert im Exponenten „auftaucht”. Die Basis zu diesem Exponenten muss eine von eins verschiedene positive reelle Zahl sein.

    Ansonsten kann eine Exponentialfunktion noch mit zahlreichen weiteren Zahlen „angereichert” werden, wie z.B.:

    $f(x)=-0,8 \cdot \pi^{-3x+5}+6x-4$.

    Dagegen erscheint bei einer Potenzfunktion immer der $x$-Wert in der Basis und der Exponent ist eine feststehende Zahl. Mögliche Beispiele für Potenzfunktionen sind:

    $f(x)=x^{2}+4$ oder $f(x)=x^{-1}$.

    Eine lineare Funktion hat ebenfalls die Basis $x$, allerdings nur die Zahl 1 im Exponenten, die man nicht schreiben muss. Hier einige typische lineare Funktion:

    $f(x)=2x$ oder $f(x)=-4x+23$.

  • Entscheide, ob es sich bei der Funktion $y=-\big(\frac{2}{3}\big)^{-x}$ um eine Exponentialfunktion handelt.

    Tipps

    Für eine Exponentialfunktion der Form $y=b\cdot a^{c\cdot x+d}+e$ gilt, dass die Basis $a$ eine positive reelle Zahl verschieden von Null sein muss.

    Du kannst dir die gegebene Funktion auch folgendermaßen umschreiben, sodass du die Basis $a$ besser beurteilen kannst:

    $y= (-1) \cdot \big(\frac{2}{3}\big)^{-x}$.

    Lösung

    Die Funktion $y=-\big(\frac{2}{3}\big)^{-x}$ ist eine Exponentialfunktion, weil die Basis eine positive reelle Zahl ist, denn $y=-\big(\frac{2}{3}\big)^{-x}=(-1) \cdot\big(\frac{2}{3}\big)^{-x}$.

    Aber Achtung: Hätte die Funktion $f(x)=\big(- \frac{2}{3}\big)^{-x}$ ein Klammer, die das negative Vorzeichen mit einschließt, dann wäre die Basis negativ und es hätte keine Exponentialfunktion vorgelegen.

    Das negative Vorzeichen vor dem $x$-Wert widerspricht nicht der Definition einer Exponentialfunktion.

    Der korrekte Ausdruck zum Definitionsbereich muss übrigens so lauten:

    $a \in \mathbb{R}^{+}\backslash \{1\}$.