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Die Normalparabel 06:26 min

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Transkript Die Normalparabel

Ah! Ein Quadrat. Die Seitenlänge zum Quadrat ergibt den Flächeninhalt. Hast Du ein Quadrat gegeben, ein Quadrat, dessen Seitenlänge eine Längeneinheit beträgt, dann hat es eine Fläche von einer Flächeneinheit. Vergrößerst du die Seitenlänge auf zwei Längeneinheiten, hat das Quadrat schon eine Fläche von vier Flächeneinheiten. Bei einer Seitenlänge von drei Längeneinheiten sind es sogar neun Flächeneinheiten. Du kannst das Quadrat auch verkleinern. Bei 0,5 Längeneinheiten haben wir 0,25 Flächeneinheiten. Machst du das Quadrat immer kleiner, dann verschwindet es irgendwann sogar ganz. Mit einer Seitenlänge von 0 Längeneinheiten ist natürlich auch die Fläche 0 Flächeneinheiten groß. Du kannst jeder Seitenlänge jeweils einen konkreten Flächeninhalt zuweisen. Deshalb handelt es sich hier um eine eindeutige Zuordnung, also eine Funktion. Weil du die Funktionswerte durch quadrieren erzeugst, heißt eine solche Funktion quadratische Funktion. In diesem Video wird die spezielle quadratische Funktion mit der Gleichung 'f von x' ist gleich 'x Quadrat' betrachtet. Quadrieren kannst du auch negative Zahlen. Dafür gibt es dann aber keine geometrische Interpretation wie den Flächeninhalt eines Quadrats. Minus 1' zum Quadrat ist beispielsweise 'minus 1' mal 'minus 1'. Weil 'minus mal minus' plus ergibt, erhältst du als Ergebnis plus 1. Entsprechend ist 'minus 0,5' zum Quadrat plus 0,25', minus 2' zum Quadrat ist 'plus 4' und 'minus 3' zum Quadrat ist 'plus 9'. Das ist eine Wertetabelle dieser Funktion. Wie viele andere Funktionen besitzt auch diese quadratische Funktion einen Graphen. Wir können ihn erzeugen, indem wir die ermittelten Wertepaare in das Koordinatensystem eintragen. Wir haben 1|1, 2|4, 3|9, 0,5|0,25, 0|0, 'minus 0,5' |0,25, 'minus 1'|1, 'minus 2' |4 und 'minus 3' |9. Diese Punkte dürfen wir jetzt aber nicht mit dem Lineal verbinden! Der Graph einer quadratischen Funktion ist nämlich immer gekrümmt. Es gibt spezielle parabelförmige Schablonen, mit deren Hilfe man die Parabeln gut zeichnen kann. Mit etwas Geschick kannst du das aber auch Freihand machen. Der Graph der Funktion 'f von x' ist gleich 'x Quadrat' heißt Normalparabel. Ist von der Normalparabel die Rede, ist immer dieser Graph gemeint. In manchen Zusammenhängen werden auch Parabeln als Normalparabeln bezeichnet, die im Koordinatensystem verschoben oder gespiegelt wurden. Dann kann ihre Funktionsgleichung auch noch andere Glieder enthalten. Der Faktor des quadratischen Glieds nimmt aber auch in diesen Fällen nur die Werte 'minus 1' oder 'plus 1' an. Das "normal" im Begriff Normalparabel hat nämlich nichts mit "Normalität" zu tun! Es leitet sich davon ab, dass diese Funktion auf den Betrag 1 normiert ist. Sie bildet damit so etwas wie die Grundform einer Parabel, die weder gestreckt noch gestaucht wurde. Zurück zur Funktion 'f von x' gleich 'x Quadrat': Der Punkt 0| 0 ist ihr Scheitelpunkt. An diesem Punkt schneidet die Normalparabel die y-Achse, es handelt sich also um ihren y-Achsenabschnitt. Er hat von allen x-Werten den kleinsten y-Wert. Daher wird er auch Tiefpunkt genannt. Weil 0 der kleinste Funktionswert der Normalparabel ist, nimmt der Graph nur nichtnegative Funktionswerte an. Damit sind alle positiven Zahlen und die Null gemeint. Betrachte einmal einen Punkt auf der positiven x-Achse, zum Beispiel 3. Nimm nun denjenigen Punkt auf der negativen x-Achse dazu, der genauso weit von der 0 entfernt ist: Hier also 'minus 3'. Die Funktionswerte beider Punkte sind gleich groß. Das gilt für alle Punkte der Normalparabel. Wenn du sie an der y-Achse spiegelst bildest du sie auf sich selbst ab. Diese Eigenschaft der Normalparabel heißt Achsensymmetrie. Man sagt, die Normalparabel ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Werden die positiven x-Werte größer, werden auch die zugehörigen y-Werte immer größer. Bei den negativen x-Werten ist es umgekehrt: Werden diese kleiner, werden die y-Werte größer. Fassen wir das noch einmal zusammen: Eine spezielle quadratische Funktion ist die Funktion 'f von x' ist gleich 'x Quadrat'. Mit Hilfe der Funktionsgleichung kannst du ihren Graphen ermitteln. Die ermittelten Wertepaare trägst du ins Koordinatensystem ein und verbindest sie mit einer gekrümmten Linie. Der Graph heißt Normalparabel. Er ist achsensymmetrisch zur y-Achse und besitzt nur nichtnegative Funktionswerte. Bei 0|0 liegt der Scheitelpunkt. Er ist gleichzeitig y-Achsenabschnitt und Tiefpunkt. Die Normalparabel ist aber erst der Anfang. Von ihr ausgehend wird es dir möglich sein, die große Welt der Parabeln zu erforschen.

Die Normalparabel Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Die Normalparabel kannst du es wiederholen und üben.

  • Ergänze die Wertetabelle.

    Tipps

    Beachte beim Ausmultiplizieren die Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

    Das Quadrat von $2$ ist dasselbe wie das Quadrat von $-2$.

    Der Term $x^2$ ist der Funktionsterm der Funktion $f(x)$.

    Lösung

    Unter einer Normalparabel versteht man den Graphen einer quadratischen Funktion mit einem Koeffizienten vom Betrag $1$ vor dem quadratischen Term. Die Normalparabel nennt man manchmal auch den Graphen der Funktion $f(x) = x^2$.

    Hier sollst du die Wertetabelle der Normalparabel $f(x) = x^2$ angeben. Dazu setzt du für die Variable $x$ verschiedene Werte in den Funktionsterm $x^2$ ein und rechnest die Funktionswerte $f(x)$ aus. Beim Einsetzen negativer Werte für die Variable musst du die Regel Minus mal Minus ergibt Plus beachten. So ist z. B. $f(-1) = (-1)^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$.

    Bei einigen Einträgen sind nicht die $x$-Werte vorgegeben, sondern die Funktionswerte $f(x) = x^2$. Daraus allein lassen sich die $x$-Werte nicht eindeutig erschließen, denn zu jedem Funktionswert $\neq 0$ gehören zwei $x$-Werte. Die $x$-Werte in der Wertetabelle sollen hier aber der Größe nach sortiert werden, und kein Wert soll mehrfach vorkommen.

    So erhältst du folgende Wertetabelle:

    $\begin{array}{c|c} x & f(x) = x^2 \\ \hline 3 & 9 \\ 2 & 4 \\ 1 & 1 \\ 0,5 & 0,25 \\ 0 & 0 \\ -0,5 & 0,25\\ -1 & 1\\ -2 & 4\\ -3 & 9 \end{array} $

  • Bennene die Eigenschaften der Normalparabel.

    Tipps

    Die Funktionswerte der Funktion $f(x) =x^2$ sind nicht negativ.

    Die Funktion $f(x) =2x^2$ beschreibt eine Parabel, aber keine Normalparabel.

    Zu jedem $x$-Wert einer Funktion $f(x)$ gehört genau ein $y$-Wert.

    Lösung

    Unter der Normalparabel versteht man den Graphen der quadratischen Funktion $f(x) = x^2$. Allgemeiner ist jede quadratische Funktion der Form $f(x) = \pm x^2 + bx +c$ eine Normalparabel, da der Koeffizient des quadratischen Terms auf den Betrag $1$ normiert ist.

    Der Scheitelpunkt ist der Tiefpunkt der Normalparabel, er liegt bei $P(0|0)$. Verschiebt man den Scheitelpunkt im Koordinatensystem, so kommt zu dem quadratischen Term noch ein linearer Term und ein Absolutglied hinzu. Die Normalparabel $f(x) = x^2$ ist symmetrisch zur $y$-Achse, verschobene Normalparabeln mit einem linearen Term sind es nicht.

    So erhältst du folgende richtigen Aussagen:

    • Jede quadratische Funktion mit dem Term $1 \cdot x^2$ ... heißt Normalparabel.
    • Der Punkt $(0|0)$ ... ist der Scheitelpunkt der Funktion $f(x) = x^2$.
    • Nicht jede quadratische Funktion mit dem Term $1 \cdot x^2$ ... ist symmetrisch zur $y$-Achse.
    • Die Funktionswerte der nicht verschobenen oder gespiegelten Normalparabel ... sind alle $\geq 0$.
    • Jeder $y$-Wert $\neq 0$ der Normalparabel ... gehört zu zwei $x$-Werten.
  • Bestimme die Funktionswerte der Parabeln.

    Tipps

    Überprüfe für jeden Punkt $P(x|y)$, zu welcher Funktion $y=f(x)$ er gehört, und analog für die Funktionen $g$ und $h$.

    Der Punkt $P(3|5)$ gehört zu der Funktion $g(x) = x^2 - 2x +2$, denn $g(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 + 2 = 9-6+2=5$.

    Der Punkt $P(4|8)$ gehört nicht zu der Funktion $f(x) =x^2 +1$, da $4^2 +1 = 17 \neq 8$.

    Lösung

    Eine Normalparabel ist der Graph einer quadratischen Funktion mit dem Koeffizienten $+1$ oder $-1$ vor dem quadratischen Term. Punkte des Funktionsgraphen einer Funktion $f$ sind solche Punkte $P(x|y)$ im Koordinatensystem, für die gilt:

    $y = f(x)$

    Du kannst für die verschiedenen Punkte ihre Zugehörigkeit zu einer der Funktionen durch die Punktprobe überprüfen: Du setzt den gegebenen $x$-Wert in die Funktionen $f$, $g$ und $h$ ein und vergleichst den Funktionswert mit dem gegebenen $y$-Wert. Dann erhältst du folgende Zuordnung:

    $f(x) = x^2 +1$:

    • $P(0|1)$ ist ein Punkt des Funktionsgraphen, da $f(0) = 0^2 +1 = 1$. Für alle anderen angegebenen Funktionen ist $f(0) \neq 1$.
    • $P(1|2)$ gehört ebenfalls zu dieser Normalparabel, da $f(1) = 1^2 +1 = 2$.
    • $P(2|5)$ erfüllt $f(2) = 2^2+1 = 5$.
    • $P(3|10)$ ist ein weiterer Punkt dieser Normalparabel, da $f(3) = 3^2+1 = 10$.
    $g(x) = x^2-2x +2$:
    • $P(0|2)$ gehört zu dieser Normalparabel, denn $f(0) = 0^2-2 \cdot 0 + 2=2$. Für alle anderen angegebenen Funktionen ist $f(0) \neq 2$.
    • $P(1|1)$ ist ein weiterer Punkt dieses Funktionsgraphen, da $f(1) = 1^2 - 2\cdot 1 + 2 = 1-2+2 = 1$.
    • $P(2|2)$ gehört auch zu dem Funktionsgraphen, denn $f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 + 2 = 2$.
    • $P(3|5)$ erfüllt $f(3) = 3^2 -2 \cdot 3 +2 = 5$, gehört also ebenfalls zu diesem Funktionsgraphen.
    $h(x)= x^2 -2x +4$:
    • $P(0|4)$ ist ein Wertepaar dieser Funktion, denn $f(0) = 0^2 - 2 \cdot 0 +4 = 4$.
    • $P(1|3)$ ist ebenfalls von der Form $P(x|f(x))$, denn $f(1)= 1^2-2 \cdot 1 +4 = 3$.
    • $P(2|4)$ erfüllt $f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 +4 = 4$.
    • $P(3|7)$ gehört ebenfalls zu dieser Funktion, denn $f(3) = 3^2 - 2 \cdot 3 +4 = 7$.
    Alle anderen angegebenen Punkte gehören zu dem Funktionsgraphen keiner der angegebenen Funktionen, denn die Funktionswerte sind stets eindeutig.

  • Bestimme die Funktionsgleichungen der Parabeln.

    Tipps

    Der Schnittpunkt der Normalparabel mit der $y$-Achse ist bestimmt durch den Funktionswert bei $x=0$.

    Eine Parabel mit negativem Koeffizienten des quadratischen Terms ist nach unten geöffnet.

    Eine Normalparabel mit linearem Term $\neq 0$ ist nicht symmetrisch zur $y$-Achse.

    Lösung

    Der Graph einer quadratischen Funktion mit dem Koeffizienten $+1$ oder $-1$ vor dem quadratischen Term heißt Normalparabel. Der Tiefpunkt der Parabel ist der sogenannte Scheitelpunkt. Bei der Funktion $f(x) = x^2$ ist $(0|0)$ der Scheitelpunkt, denn für jedes $x \neq 0$ ist $f(x) > 0$.

    Verschiebt man die Normalparabel im Koordinatensystem nach rechts oder links, so kommt bei der Funktionsgleichung ein linearer Term und ein Absolutglied hinzu. Die Normalparabel zu der Funktion $f(x) = (x-1)^2 = x^2 -2x+1$ hat z. B. den Scheitelpunkt $(1|0)$, da für jedes $x \neq 1$ für den Funktionswert $f(x) > 0$ gilt.

    Verschiebt man die Normalparabel zu $f(x)=x^2$ im Koordinatensystem nach oben oder unten, so kommt in der Funktionsgleichung nur ein Absolutglied hinzu: Die Parabel zu der Funktion $f(x) = x^2 -2$ z. B. hat den Scheitelpunkt bei $(0|-2)$, denn für jedes $x \neq 0$ ist $f(x) = x^2 -2 > -2$.

    Verschiebt man die Parabel nach rechts / links und nach oben / unten, so kann das Absolutglied auch wieder $0$ werden: So hat die Parabel zu der Funktion $f(x) = (x-1)^2 -1 = x^2 -2x$ ihren Scheitelpunkt bei $(1|-1)$.

    Den Scheitelpunkt einer Parabel kannst du an dem Koordinatensystem ablesen. Wenn Du verschiedene Werte in die Funktion einsetzt, findest du vielleicht heraus, welche Funktion genau diesen Hoch- bzw. Tiefpunkt hat. Du kannst auch eine quadratische Ergänzung benutzen, um den Scheitelpunkt direkt der Funktionsgleichung abzulesen.

    Für diese Aufgabe genügt es aber, einige Wertepaare zu vergleichen. Jede Normalparabel ist durch zwei Punkte eindeutig festgelegt. Du kannst auch auf die Gestalt der Parabel im Koordinatensystem achten: Ist die Parabel symmetrisch zur $y$-Achse, so kann die zugehörige Funktion keinen linearen Term enthalten. Ist die Parabel nach unten geöffnet, so ist der Koeffizient des quadratischen Terms negativ.

    Du kannst die Funktionsgraphen in dieser Weise zuordnen:

    • Die zur $y$-Achse symmetrische Parabel mit Scheitelpunkt $(0|0)$ ist der Funktionsgraph von $f(x) = x^2$.
    • Die Funktion $f(x) = x^2 + 5$ gehört zu der Parabel mit Scheitelpunkt $(0|5)$, die ebenfalls symmetrisch zu $y$-Achse und nach oben geöffnet ist.
    • Die nach unten geöffnete, zur $y$-Achse symmetrische Parabel mit demselben Scheitelpunkt $(0|5)$ ist der Funktionsgraph von $f(x) = -x^2 +5$.
    • Die nach unten geöffnete Parabel mit Scheitelpunkt $(1|5)$ hat als Koeffizient des quadratischen Terms $-1$. Die Parabel ist nicht symmetrisch zur $y$-Achse, daher ist der Koeffizient des linearen Terms $\neq 0$. Es ist also $f(x) = -(x-1)^2 +5 = -x^2 +2x +4$ die passende Funktion.
    • Die nach oben geöffnete, nicht zur $y$-Achse symmetrische Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei $(1|5)$ und schneidet die $y$-Achse in $(0|6)$. Die Parabel ist daher der Funktionsgraph der Funktion $f(x) = x^2-2x+6$, denn $f(0) = 0^2-2\cdot 0+6$ und $f(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 +6 = 5$.
    • Eine Normalparabel hat genau einen Hoch-oder Tiefpunkt. Der Graph mit einem Hoch- und einem Tiefpunkt ist daher der Funktionsgraph von keiner Normalparabel.
  • Bestimme den Flächeninhalt $A$ eines Quadrates mit der Seitenlänge $x$.

    Tipps

    Ein Quadrat der Seitenlänge $2$ hat den Flächeninhalt $4$.

    Der Flächeninhalt eines Quadrates ist das Quadrat seiner Seitenlänge. Um den Flächeninhalt $A$ eines Quadrates mit Seitenlänge $x$ zu berechnen, setzt du die vorgegebenen Werte für $x$ in die Formel

    $A = x^2$

    ein.

    Ein Quadrat der Seitenlänge $0$ kann keinen von $0$ verschiedenen Flächeninhalt haben.

    Lösung

    Bei einem Quadrat kannst du den Flächeninhalt $A$ aus der Seitenlänge $x$ berechnen. Dazu verwendest du die Formel:

    $A = x^2$

    Setzt du für die Seitenlänge $x$ verschiedene Werte ein, so findest du die zugehörigen Flächeninhalte:

    $\begin{array}{c|c} x & A \\ \hline 0 & 0 \\ 0,5 & 0,25 \\ 1 & 1 \\ 2 & 4 \\ 3 & 9 \end{array}$

  • Zeige die Punkte des Funktionsgraphen.

    Tipps

    Der Graph einer Funktion der Form $f(x) = (x-d)^2 +e$ ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(d|e)$.

    Die Punkte des Funktionsgraphen sind die Punkte $(x|y)$ im Koordinatensystem mit $y = f(x)$.

    Lösung

    Der Scheitelpunkt einer nach oben geöffneten Normalparabel ist der Punkt mit dem kleinsten Funktionswert. Du kannst den Scheitelpunkt der Parabel indirekt aus dem Funktionsterm ablesen: Die Funktion

    $f(x) = x^2 -2x$

    hat die beiden Nullstellen $x=0$ und $x=2$. Eine Parabel ist immer symmetrisch um ihren Hoch- bzw. Tiefpunkt. Der Tiefpunkt liegt also genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. So hast du schon drei Punkte des Funktionsgraphen identifiziert, nämlich die Punkte $(0|0)$ und $(2|0)$, die zu den Nullstellen der quadratischen Funktion gehören und den Scheitelpunkt $(1|-1)$. Die weiteren Punkte des Funktionsgraphen kannst du durch Einsetzen von $x$-Werten in den Funktionsterm $x^2-2x$ bestimmen.

    Folgende Punkte gehören zu dem Funktionsgraphen:

    • $P(0|0)$, wie soeben berechnet.
    • $P(-1|3)$, denn $f(-1) = (-1)^2 -2 \cdot (-1) = 1+2 = 3$.
    • $P(1|-1)$ ist der Scheitelpunkt wie oben erläutert wurde.
    • $P(2|0)$, denn hier ist $f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 = 0$.
    • $P(3|3)$, denn einsetzen liefert $f(3) = 3^2 -2 \cdot 3 = 9-6 = 3$.
    • $P(-2|8)$ erfüllt $f(-2) = (-2)^2 - 2 \cdot (-2) = 4+4 = 8$.
    • $(4|8)$ ist der zugehörige symmetrische Punkt bzgl. der Spiegelung an der Achse $x=1$.
    Alle anderen Punkte gehören nicht zum Funktionsgraphen der Funktion $f(x) = x^2 -2x$. Exemplarisch überprüfen wir das für den Punkt $P(0|-1)$: Hier ist $f(0) = x^2 - 2 \cdot 0 = 0 \neq -1$. Daher ist $P(0|-1)$ kein Punkt des Funktionsgraphen.