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Determinanten berechnen 06:04 min

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Transkript Determinanten berechnen

Das Generieren von Nullen innerhalb der Determinante, ohne ihren Wert zu verändern. Allgemeine Beschreibung der Rechenregel beziehungsweise des Anwendungsfalls: Da sich der Wert einer Determinante nicht ändert, wenn zu einer beliebigen Zeile beziehungsweise Spalte das Vielfache einer anderen Zeile beziehungsweise Spalte addiert wird, kann man diese Eigenschaft nutzen, um Nullen innerhalb einer Zeile beziehungsweise Spalte zu generieren. Je mehr Nullen generiert werden können, desto einfacher ist die Berechnung der Determinante nach dem Entwicklungssatz. Allgemeine Darstellung: 2.1 Wer schon verstanden hat, wie der Entwicklungssatz funktioniert, kann zu 2.2 skippen. Zur Wiederholung: Eine m-mal-m-Determinante kann entweder nach einer Zeile i oder nach einer Spalte j entwickelt werden. Dabei ergibt sich die Determinante aus der Summe der einzelnen Elemente der jeweiligen Zeile beziehungsweise Spalte multipliziert mit der jeweiligen Unterdeterminante unter entsprechender Berücksichtigung des Vorzeichens. Wir sahen gerade die Entwicklung nach der Zeile i und betrachten jetzt die Entwicklung nach der Spalte j. Man sieht, je mehr ai-Elemente der Matrix 0 sind, desto weniger Summanden entstehen bei der Entwicklung der Determinante. Deutlicher wird dies, wenn man zum Beispiel eine 3x3-Matrix betrachtet. Entwickelt man die Determinante nach der ersten Zeile, erhält man 3 Summanden. Wir multiplizieren hier die erste Zeile mit -(a21/a11) und addieren sie zur zweiten Zeile. Hier wird das -(a31/a11)fache der ersten Zeile mit der dritten Zeile addiert. Man erhält als Ergebnis einen Summanden. Diese Eigenschaft ist insbesondere bei der Berechnung von Determinanten größerer Matrizen vorteilhaft, da die Bearbeitungszeit und das Fehlerrisiko minimiert werden. 3. Numerisches Beispiel: Die Determinante der folgenden Matrix wird zunächst ohne das Generieren von Nullen nach der zweiten Zeile entwickelt. Wir nehmen die Matrix (1 8 4, 5 1 -1, 1 2 3). Die Determinante ergibt sich aus den Summanden (-5) * |8 4, 2 3| + 1 * |1 4, 1 3| - (-1) * |1 8, 1 2|. Als Ergebnis erhalten wir -80 - 1 - 6 = -87. Das ist der umständliche Weg. Wenn man vorher Nullen generiert, kann man Zeit sparen. Das Generieren von Nullen vor der Entwicklung der Determinante könnte zum Beispiel wie folgt erfolgen. Wir haben dieselbe Ausgangsmatrix. Man addiert das -5fache der zweiten Spalte zur ersten Spalte und erhält -39, 0 und -9. Und man addiert das Einfache der zweiten Spalte zur dritten Spalte und erhält 12, 0 und 5. Wir erhalten die Summanden wie eben, indem wir die Elemente mit der entsprechenden Unterdeterminante multiplizieren. Als Ergebnis bleibt der Summand 1 * |-39 12, -9 5| übrig und wir erhalten als Ergebnis -87.

1 Kommentar
  1. Default

    RICHTIG ! wir sind hier nicht in der vorlesung der TU !

    Von Gauß, vor fast 9 Jahren