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Determinante einer Matrix – Laplacescher Entwicklungssatz 06:51 min

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Transkript Determinante einer Matrix – Laplacescher Entwicklungssatz

Also, ich stelle jetzt den Entwicklungssatz vor. Und zwar ist das Definition 5.3 aus den allgemeinen Definitionen. Und die lautet wie folgt: Man kann eine m×m Determinante |A| entweder nach einer Zeile i oder nach einer Spalte j entwickeln. Wenn ich nach der Zeile i entwickle, dann lautet die Determinante |A| “die Summe von j gleich 1 bis m von -1 hoch der Summe der Indizes der jeweiligen Elemente mal die jeweiligen Elemente mal der Unterdeterminante der jeweiligen Elemente”. Ich kann auch nach einer Spalte j entwickeln, dann setze ich einfach für j i ein und wandere die jeweilige Spalte anstatt der Zeile. Jetzt zeige ich das an einer richtigen Determinante |A|, und zwar konstruiere ich die jetzt folgendermaßen, dass ich sage es ist eine m×m Determinante und hat dadurch m×m Elemente. So, jetzt entwickle ich nach der ersten Zeile, das heißt ich fange jetzt mit dem ersten Element an. Das heißt die Determinante |A| ist jetzt gleich -1 mal, das ist das erste Element aus der ersten Spalte, erste Zeile, also (1+1)×a11 mal die Unterdeterminante, |A11|. Als nächstes gehe ich ein Element weiter in der Zeile, jetzt habe ich -11+2×a12×|A12|. Jetzt mache ich das immer so weiter, bis ich schließlich beim letzten Element angekommen bin. Das ist das Element a1m. Jetzt habe ich -11+m×a1m×|A12|. Okay, jetzt haben wir gerade nach der ersten Zeile entwickelt. Jetzt entwickle ich nach einer Spalte. Dazu erstelle ich wieder die gleiche Determinante wie eben, das ist eine m×m Determinante. Und fange jetzt an, wieder mit dem ersten Element danach zu entwickeln. Da streiche ich die anderen Elemente weg und habe dann: -11+1×a11×|A11|. Jetzt gehe ich diesmal nicht eins nach rechts sondern eins nach unten, nehme das Element a21, habe jetzt -12+1×a21×|A21| und schließlich komme ich halt auch wieder zum Element am1 diesmal und mache es genauso wie vorher. Man braucht den Entwicklungssatz vor allem, um Determinanten mit einer Dimension größer als 3 zu berechnen, allgemein kann man natürlich auch mit einer Dimension von 3 oder kleiner berechnen, an diesem Beispiel mache ich es jetzt erstmal der Einfachheit halber. Ich entwickle jetzt nach der ersten Spalte dieser Determinante. Das heißt die Determinante A ist jetzt gleich. Ich nehme das erste Element, das ist die 3, streiche die anderen beiden weg und habe jetzt -11+1, weil es wieder das erste Element sowohl in Zeile als auch in Spalte ist, mal 3, welches das Element ist, mal die Unterdeterminante, also mal die Determinante 1 7 6 1. Dazu addiere ich jetzt -12+1, weil ich jetzt das zweite Element nehme in der ersten Spalte, streiche wieder die beiden entsprechenden Zeile beziehungsweise Spalte weg und multipliziere jetzt mit 2 und dann mit der Determinante 5 9 6 1. Und schließlich addiere ich -13+1×0, beziehungsweise streiche die entsprechende Spalte oder Zeile weg, mal die Unterdeterminante 5 9 1 7. Okay und das ist jetzt gleich -11+1 = 1 mal 3 mal diese Unterdeterminante, welche ist (1-42). Jetzt plus, diesmal habe ich -13, was ist -1, ×2×(5-42)+1×0, da brauche ich jetzt die Unterdeterminante nicht mehr auszurechnen und das ist dann gleich -25. Okay, anhand dieses ersten Beispiels hat man gesehen, welchen Wert es hat, eine 0 in einer Zeile oder einer Spalte zu haben, nach welcher man entwickelt. Und das machen wir uns jetzt zu Nutze, indem wir die Determinante nach Satz 5.6 verändern, indem wir die erste Spalte ×(-2) rechnen und auf die zweite Spalte addieren. Dann erhalten wir 0 1 2 4, jetzt multiplizieren wir die erste Spalte mit -3 und addieren sie auf die dritte. Dort erhalten wir wieder eine neue Spalte und ebenso machen wir das mit der letzten mit -4 und dann sehen wir, wir haben in der ersten Zeile 1 0 0 0, das heißt das erleichtert uns die Arbeit. Wir entwickeln jetzt nach der ersten Zeile, dann haben wir nämlich nur ein Element, was wir berechnen müssen, also Determinante ist -12×1 mal die entsprechende, diesmal 3×3 Unterdeterminante, 1 4 2, 2 14 8, 4 17 9. So, dadurch dass wir entwickelt haben, haben wir jetzt nur noch eine 3×3 Determinante und wir versuchen wieder, möglichst viele Nullen in einer Zeile oder in einer Spalte zu generieren. Dazu multiplizieren wir die erste Zeile mit -2 und addieren sie auf die zweite und die erste mit -4 und addieren sie auf die dritte. Dadurch erhalten wir die Determinante 1 4 2 und jetzt 0 6 4 und 0 1 1. Jetzt entwickeln wir nach der ersten Spalte. Haben also nur ein Element, also -12×1 mal die Unterdeterminante 6 4 1 1. Und das können wir jetzt ganz einfach ausrechnen, das ist also nur die Determinante 6 4 1 1, das ist 6 - 4 = 2.

2 Kommentare
  1. Default

    schoenes video hat mir echt geholfen!!

    Von Beate Weber, vor mehr als 5 Jahren
  2. Default

    Besonderst die Zahlenbeispiele haben das sehr gut verdeutlicht. Danke, mir hat es wirklich viel geholfen. Weiter so !!!
    Viele Grüße Rasmus

    Von Rasmus, vor mehr als 8 Jahren