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Das unendlich Kleine

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Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Das unendlich Kleine
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Grundlagen zum Thema Das unendlich Kleine

Das unendlich Kleine spielt in der Mathematik eine größere Rolle, als eine unendlich große Zahl. Wie kann eine Zahl aber unendlich klein werden und dabei immer größer als Null bleiben - also kurzum: selber nie Null werden? Diese Frage wird hier nun geklärt. Dazu werde ich ein Beispiel zur Hilfe nehmen. Auch Schaubilder werde ich auf der Suche nach einer Antwort zur Veranschaulichung benutzen. Lass dich überraschen, was wir auf unserer Suche nach der Antwort entdecken. Jetzt wünsche ich dir aber erste einmal viel Spaß mit dem Video!

Transkript Das unendlich Kleine

Hallo! Das unendlich Kleine spielt in der Mathematik eine größere Rolle, als eine unendlich große Zahl.   Zum Beispiel hast du vielleicht schon einmal Funktionen gesehen, die ungefähr so aussehen - dazu male ich einmal eben ein kleines Koordinatensystem - und die Funktion könnte zum Beispiel ungefähr so laufen. Dazu hat man dir jetzt vielleicht gesagt: Diese Funktion geht immer weiter zur x-Achse, erreicht diese aber nicht. Die Funktionswerte werden immer kleiner, sie werden aber niemals 0.   Und dann dachte ich so manchmal: Das ist aber komisch, wenn etwas immer kleiner wird und nicht 0 wird. Wir sind das ja aus dem Alltag so gewohnt, zum Beispiel wir stehen am Meer und die Sonne geht unter. Sie geht immer tiefer, wird kleiner - die Stimmung wird immer romantischer - und irgendwann ist die Sonne weg. Ich meine, sie ist noch da, sie kommt ja auch am nächsten Tag wieder - aber für uns, aus der Sicht an diesem Abend, ist die Sonne weg. Wir sehen sie nicht mehr. Das sind wir so gewohnt und jetzt sagt man uns in der Mathematik: "Das ist aber anders."   Dieser Funktionsgraph oder diese Funktionswerte zum Beispiel werden immer kleiner, aber nie 0. Wie kann man das verstehen? Zum Beispiel mit diesem Papierstreifen. Das ist ein ganz normaler Papierstreifen, den kann ich falten und hier in 2 gleiche Teile schneiden, zum Beispiel so. Diese beiden Teile sind jetzt kleiner, als der Papierstreifen gerade eben war. Ich kann jetzt diesen Papierstreifen noch einmal in 2 Teile teilen - diese sind auch ziemlich genau gleich groß, wenn ich das so falte - und was herauskommt, ist ein Papierstreifen, der klarerweise kleiner ist, als der andere. Ich kann diesen Streifen noch einmal teilen. Nun ja, nun wird es irgendwann langweilig. Bitte, da ist der. Der ist natürlich auch noch kleiner. Und jetzt mache ich das nicht weiter, sondern überlege mir etwas dazu.   Wenn ich diesen Papierstreifen teile - in zwei gleiche Hälften - dann sind die beiden Hälften kleiner, als der Papierstreifen vorher war. Sie sind aber nicht weg, denn wenn ich etwas teile - in zwei gleiche Hälften - dann ist es ja noch da. Die beiden Hälften sind (noch) da. Eine Hälfte ist immer noch da, und sie ist nicht Nichts. Das kann nie vorkommen, dass wir irgendwann Nichts haben hier in dem Papier. Da sagt aber mein Hirn auch: Das geht doch gar nicht. Ich kann doch nicht ewig teilen. Erst einmal habe ich nicht genügend Zeit dafür, weil ich nicht unendlich lange lebe und zweitens ist der Papierstreifen doch irgendwann so klein, dass ich ihn rein technisch nicht mehr teilen kann. Richtig!   Aber: In der Mathematik geht es ja nicht vornehmlich um Papierstreifen. Und das Zahlen immer kleiner werden, bezieht sich eben nicht auf Papierstreifen, sondern auf Zahlen. Das kann man auch so sehen: Ich nehme einmal irgendeine kleine Zahl, zum Beispiel 0,0000..., ich könnte dies nun beliebig fortsetzen. Irgendwann kommt dann vielleicht eine 1, also hier zum Beispiel (0,00001). Ich kann auch 1000 Nullen dazwischenschreiben, es ist egal. Diese Zahl ist eine kleine Zahl und diese teile ich jetzt durch 2. Was kommt heraus? Im Ganzen also 0,000005. Diese Zahl ist kleiner als die obere Zahl, denn ich habe sie ja durch 2 geteilt. Diesen Prozess kann ich nun unendlich lange weitermachen - also nicht real unendlich lange, faktisch unendlich lange - aber es gibt keine Grenze. Wir können ja nicht festlegen, dass man irgendwann mit dem Teilen von Zahlen aufhören muss. Als freie Bürger dieses Landes dürfen wir Zahlen teilen, solange wir das wollen. Das tut den Zahlen auch nicht weh, wenn man sie teilt, also dürfen wir das machen. Wir können keine Grenze festlegen.   Und deshalb - weil wir keine Grenze festlegen können, kein Ende festlegen können - ist es ohne Ende, das heißt also unendlich. Und deshalb kommt man darauf, dass zum Beispiel diese Funktion hier sich immer weiter der x-Achse annähert. Die Funktionswerte werden immer kleiner, die Zahlen werden immer kleiner, sie werden aber niemals 0. So kommt die Unendlichkeit - das unendlich Kleine - in die Mathematik hinein. Und es gibt viele Leute, denen so etwas ziemlich viel Spaß macht.   Dann für dich auch viel Spaß damit, bis dann, tschüs!

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