Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient Übung

• Beschreibe die Herleitung des Binomialkoeffizienten.

  Tipps

  Zufallsexperiment ohne Zurücklegen: Wir ziehen aus einer Urne mit $n$ Kugeln nacheinander mehrere Kugeln, ohne diese nach dem Zug zurück in die Urne zu legen. Dadurch ist nach jedem Zug eine Kugel weniger in der Urne.

  Zufallsexperiment mit Zurücklegen: Wir ziehen aus einer Urne mit $n$ Kugeln nacheinander mehrere Kugeln, und legen die gezogene Kugel nach jedem Zug zurück in die Urne. Dadurch sind bei jedem Zug gleich viele Kugeln in der Urne.

  Beispiel:

  Aus einer Urne mit $10$ Kugeln, die mit $1$ bis $10$ beschriftet sind, sollen $4$ Kugeln ohne Betrachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen gezogen werden. Es gibt insgesamt

  $\displaystyle \binom{10}{4} = \dfrac{10!}{4!\cdot (10-4)!} = \dfrac{10!}{4!\cdot 6!} = 210$

  Möglichkeiten, diese Kugeln zu ziehen.

  Lösung

  Aus $5$ Spielerinnen soll ein Team aus $3$ Spielerinnen zusammengestellt werden. Wir wollen untersuchen, wie viele mögliche Teams wir bilden können.

  Wir können uns die Auswahl der $3$ Spielerinnen des Teams als Zufallsexperiment ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge vorstellen.

  Wir betrachten zunächst die Anzahl der Möglichkeiten aus $5$ Spielerinnen $3$ auszuwählen:

  • Für die erste Spielerin haben wir $5$ Möglichkeiten.
  • Für die zweite Spielerin haben wir dann noch $4$ Möglichkeiten.
  • Für die dritte Spielerin gibt es noch $3$ Möglichkeiten.

  
  Insgesamt gibt es also $5 \cdot 4 \cdot 3$ Möglichkeiten, da die Spielerinnen jeweils beliebig miteinander kombiniert werden können.

  Für die Aufstellung des Teams gibt es jedoch weniger Möglichkeiten, da hier die Reihenfolge nicht relevant ist. Wir können aus den drei ausgewählten Spielerinnen jeweils $3 \cdot 2 \cdot 1$ mögliche Kombinationen zusammenfassen, da für die erste Position $3$ Spielerinnen in Frage kommen, für die zweite Position $2$ Spielerinnen und für die letzte Position nur noch $1$ Spielerin.

  Für die Auswahl des Dreierteams gibt es daher $\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{60}{6} = 10$ Möglichkeiten.

  Den Ausdruck $\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} $ können wir auch mit Fakultäten darstellen:

  $\dfrac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{5! }{3! \cdot 2!}$

  Dabei gilt:

  • $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$
  • $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1$
  • $2! = 2 \cdot 1$

  Wir nennen diesen Ausdruck den Binomialkoeffizienten und schreiben auch:

  $\displaystyle \binom{5}{3} = \dfrac{5! }{3! \cdot (5-3)!}$

• Vervollständige die Binomialkoeffizienten.

  Tipps

  Beispiel:

  $\displaystyle \binom{8}{4} = \dfrac{8! }{4! \cdot (8-4)!} = \dfrac{8! }{4! \cdot 4!} = 70$

  In den Zähler musst du die obere Zahl aus dem Binomialkoeffizienten übernehmen.

  Lösung

  Die Formel für den Binomialkoeffizienten lautet:

  $\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} $

  Wir können die gegebenen Beispiele in die Formel einsetzen und erhalten:

  $\quad\displaystyle \binom{5}{3} = \dfrac{5! }{3! \cdot (5-3)!} = \dfrac{5! }{3! \cdot 2!} = 10$

  $\quad\displaystyle \binom{10}{4} = \dfrac{10! }{4! \cdot (10-4)!} = \dfrac{8! }{4! \cdot 6!} = 210$

  $\quad\displaystyle \binom{8}{3} = \dfrac{8! }{3! \cdot (8-3)!} = \dfrac{8! }{3! \cdot 5!} = 56$

• Stelle den passenden Binomialkoeffizienten auf.

  Tipps

  Der Binomialkoeffizient gibt die Anzahl der möglichen Kombinationen bei der Auswahl von $k$ Elementen aus einer Grundmenge von $n$ Elementen ohne Wiederholung an.

  Der Binomialkoeffizient lautet allgemein:

  $\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} $

  Lösung

  Wir verwenden den Binomialkoeffizienten, um die Anzahl der möglichen Kombinationen bei der Auswahl von $k$ Elementen aus einer Grundmenge von $n$ Elementen zu bestimmen. Dabei betrachten wir den Fall ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Der Binomialkoeffizient lautet allgemein:

  $\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} $

  In unseren Beispielen müssen wir also jeweils die Anzahl in der Gesamtmenge $n$ und die Anzahl in der Auswahl

  $k$ bestimmen:

  • Es werden $2$ Eissorten aus $8$ Eissorten ausgewählt:

  Es gilt: $n=8$ und $k=2$
  $\displaystyle \binom{8}{2} = \dfrac{8! }{2! \cdot (8-2)!} = \dfrac{8! }{2! \cdot 6!} = 28$

  • Aus $8$ Kindern wird ein $5$-er Team zusammengestellt:

  Es gilt: $n=8$ und $k=5$
  $\displaystyle \binom{8}{3} = \dfrac{8! }{5! \cdot (8-5)!} = \dfrac{8! }{5! \cdot 3!} = 56$

  • Aus $6$ Gerichten werden $3$ Gerichte gewählt:

  Es gilt: $n=6$ und $k=3$
  $\displaystyle \binom{6}{3} = \dfrac{6! }{3! \cdot (6-3)!} = \dfrac{6! }{3! \cdot 3!} = 20$

  • Aus $5$ Tänzern wird ein Paar gewählt:

  Es gilt: $n=5$ und $k=2$
  $\displaystyle \binom{5}{2} = \dfrac{5! }{2! \cdot (5-2)!} = \dfrac{5! }{2! \cdot 3!} = 10$

  • Es werden $2$ Tage aus $3$ Tagen bestimmt:

  Es gilt: $n=3$ und $k=2$
  $\displaystyle \binom{3}{2} = \dfrac{3! }{2! \cdot (3-2)!} = \dfrac{3! }{2! \cdot 1!} = 3$

• Überprüfe die Berechnung des Binomialkoeffizienten.

  Tipps

  Beispiel:

  $\displaystyle \binom{13}{11} = \dfrac{13! }{11! \cdot (13-11)!} = \dfrac{13! }{11! \cdot 2!} = 78$

  Du kannst den Wert des Binomialkoeffizienten auch mit dem Taschenrechner bestimmen. Dazu verwendest du die Funktion: $\text{nCr}$.

  Lösung

  Die Formel für den Binomialkoeffizienten lautet:

  $\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} $

  Sie gibt die Anzahl der möglichen Kombinationen bei der Auswahl von $k$ Elementen aus einer Grundmenge von $n$ Elementen an. Dabei betrachten wir den Fall ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

  Die Schreibweise Fakultät: $n!$, ist eine Abkürzung dafür, dass von $n$ absteigend alle natürlichen Zahlen bis zur $1$ multipliziert werden, also zum Beispiel:

  $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

  Damit können wir die gegebenen Rechnungen überprüfen:

  Richtige Rechnungen:

  $\displaystyle \binom{12}{4} = \dfrac{12! }{4! \cdot (12-4)!} = \dfrac{12! }{4! \cdot 8!} = 495$

  $\displaystyle \binom{7}{3} = \dfrac{7! }{3! \cdot (7-3)!} = \dfrac{7! }{3! \cdot 4!} = 35$

  $\displaystyle \binom{11}{2} = \dfrac{11! }{2! \cdot (11-2)!} = \dfrac{11! }{2! \cdot 9!} = 55$

  
  

  Falsche Rechnungen:

  $\displaystyle \binom{8}{4} = \dfrac{8! }{4! \cdot 8-4!}\quad$ Hier fehlen die Klammern um die Differenz $8-4$ im Nenner.
  Richtig lautet die Rechnung: $\displaystyle \binom{8}{4} = \dfrac{8! }{4! \cdot (8-4)!} = \dfrac{8! }{4! \cdot 4!} = 70$

  $\displaystyle \binom{14}{9} = 944\quad$ Das Ergebnis ist falsch.
  Die korrekte Rechnung lautet: $\displaystyle \binom{14}{9} = \dfrac{14! }{9! \cdot (14-9)!} = \dfrac{14! }{9! \cdot 5!} = 2002$

  $\displaystyle \binom{8}{3} = \dfrac{8! }{3!}\quad$ Hier fehlt der Faktor $(n-k)! = (8-3)! = 5!$ im Nenner.
  Richtig lautet die Rechnung: $\displaystyle \binom{8}{3} = \dfrac{8! }{3! \cdot (8-3)!} = \dfrac{8! }{4! \cdot 5!} = 56$

• Benenne den abgebildeten Term mathematisch.

  Tipps

  Es sind keine Brüche dargestellt!

  Die Abkürzung ! wurde erstmals von Christian Kramp verwendet, der auch die Bezeichnung faculté einführte, was Fähigkeit bedeutet.

  Lösung

  Wir verwenden die obigen Schreibweisen im Zusammenhang mit dem Binomialkoeffizienten. Dieser gibt die Anzahl der möglichen Kombination bei der Auswahl von $k$ Elementen aus einer Grundmenge von $n$ Elementen an. Dabei betrachten wir den Fall ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge.

  Der Binomialkoeffizient wird allgemein wie folgt geschrieben:

  $\displaystyle \binom{n}{k}$

  Wir sagen: n über k

  Die Definition des Binomialkoeffizient lautet allgemein:

  $\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} $

  Darin enthalten ist die Schreibweise

  $n!$

  Wir sagen: n Fakultät

  Unsere Beispiele lesen wir also wie folgt:

  $\quad\displaystyle \binom{7}{2} \quad$ Sieben über zwei

  $\quad\displaystyle \binom{8}{3} \quad$ Acht über drei

  $\quad~~\,5! \quad~~$ Fünf Fakultät

  $\quad~~\,3! \quad~~$ Drei Fakultät

• Leite allgemeine Zusammenhänge zum Binomialkoeffizienten her.

  Tipps

  Es gilt: $0!=1$

  Setze in die allgemeine Formel des Binomialkoeffizienten ein und vereinfache diese so weit wie möglich. Versuche auch geschickt zu kürzen!

  Lösung

  Anhand der Definition des Binomialkoeffizienten können wir allgemeine Zusammenhänge aufzeigen. Der Binomialkoeffizient lautet:

  $\displaystyle \binom{n}{k} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} $

  Wir betrachten die gegebenen Binomialkoeffizienten, setzen in die Formel ein und vereinfachen.

  Dabei erhalten wir in folgenden Fällen einen Wert von $1$:

  $\displaystyle \binom{n}{n} = \dfrac{n! }{n! \cdot (n-n)!} = \dfrac{n! }{n! \cdot (0)!} = \dfrac{n! }{n! \cdot 1} = \dfrac{n! }{ n!} = 1 $

  $\displaystyle \binom{n}{0} = \dfrac{n! }{0! \cdot (n-0)!} = \dfrac{n! }{0! \cdot n!} = \dfrac{n! }{1 \cdot n!} = \dfrac{n! }{ n!} = 1 $

  $\displaystyle \binom{k}{k} = \dfrac{k! }{k! \cdot (k-k)!} = \dfrac{k! }{k! \cdot (0)!} = \dfrac{k! }{k! \cdot 1} = \dfrac{k! }{ k!} = 1 $

  Wir nutzen, dass gilt: $0! = 1$, und können zuletzt kürzen.

  
  

  In folgenden Fällen erhalten wir den Wert $n$:

  $\displaystyle \binom{n}{1} = \dfrac{n! }{1! \cdot (n-1)!} = \dfrac{n! }{1 \cdot (n-1)!} = \dfrac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \, \dots \, \cdot 1 }{(n-1)!} = \dfrac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)!} = n$

  $\displaystyle \binom{n}{n-1} = \dfrac{n! }{(n-1)! \cdot (n-(n-1))!} = \dfrac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \, \dots \, \cdot 1 }{(n-1)! \cdot 1!} = \dfrac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)!}= n$

  Wir erkennen durch Ausschreiben der Fakultäten, dass wir mit $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \, \dots \, \cdot 1$ als $n \cdot (n-1)!$ schreiben können.

  
  

  Der folgende Binomialkoeffizient ist identisch zu $\displaystyle \binom{n}{k}$:

  $\displaystyle \binom{n}{n-k} = \dfrac{n! }{(n-k)! \cdot (n-(n-k))!} = \dfrac{n! }{(n-k)! \cdot k!} = \dfrac{n! }{k! \cdot (n-k)!} = \binom{n}{k} $

  Wir können in die Formel einsetzen, vereinfachen und erkennen, dass der allgemeine Binomialkoeffizient herauskommt. Diese Eigenschaft nennt man die Symmetrie des Binomialkoeffizienten. Wir erkennen sie auch in den anderen betrachteten Fällen:

  $\displaystyle \binom{n}{n} = 1 = \binom{n}{n - n} = \binom{n}{0}$

  $\displaystyle \binom{n}{1} = n = \binom{n}{n - 1}$

  
  

  Der folgende Binomialkoeffizient hat den Wert $0$:

  $\displaystyle \binom{k}{n} = 0$

  Da $n \gt k$ gilt: $k -n \lt 0$.
  Die Fakultät ist nur für natürliche Zahlen definiert und kann daher für den Term $(k-n)$ nicht gebildet werden.

  Es ist anschaulich unmöglich, aus beispielsweise $3$ Spielern ein Team aus $5$ Spielern zusammenzustellen. Es gibt also keine passende Kombination.