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Ausklammern und Ausmultiplizieren ganzer Summanden 05:09 min

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Transkript Ausklammern und Ausmultiplizieren ganzer Summanden

In alten Legenden wird über seltsame Kreaturen berichtet. Kreaturen, die sich auf magische Weise verwandeln können. Der Vampir der sich des Nachts in eine Fledermaus verwandelt. Der Werwolf, der sich zu jedem Vollmond in eine schreckliche Bestie verwandelt. Und der, äh, Term? Der verwandelt sich durch Anwendung des Distributivgesetzes. In dieser Legende geht es um eine spezielle Sorte von Termen, nämlich solchen, bei denen man ganze Summanden ausklammern kann. Wir erinnern uns: Haben wir eine Summe gegeben, deren Summanden gleiche Faktoren enthalten, dann dürfen wir diese Faktoren so ausklammern. Die anderen Faktoren finden wir dann hier in der Klammer wieder. Enthalten die Summanden unterschiedliche Zahlen kann man manchmal trotzdem gleiche Teiler finden, die man so ausklammern kann. Weil für die Multiplikation das Kommutativgesetz gilt, kann die 5 auch hinter die Klammer geschrieben werden. Dann können wir uns den Spezialfall, nämlich das Ausklammern ganzer Summanden, anschauen. Betrachten wir dazu diesen Term: 3 mal x plus 9 mal x mal y. Die 9 enthält die 3 als Teiler. Aber dann sind alle Faktoren des ersten Summanden auch im Zweiten enthalten. Können wir den ganzen Summanden ausklammern? Was bleibt dann aber IN der Klammer stehen? Wir lösen das Problem, indem wir hier mit 1 multiplizieren. Dadurch ändert sich der Summand nicht. Nun ist es möglich, die Faktoren wie gewohnt auszuklammern, wobei die 1 IN der Klammer auftaucht. Wenn wir das Kommutativgesetz anwenden, können wir die 3x auch hinter die Klammer schreiben. Wir führen die Probe durch, indem wir den Term wieder ausmultiplizieren. Dazu verrechnen wir die ausgeklammerten Faktoren mit den Summanden in der Klammer, also mit 1 und mit 3y. Und wir erhalten wieder den ursprünglichen Term. Schauen wir uns noch ein Beispiel an: Ein Drittel mal a mal b plus ein Drittel mal a minus 4 Drittel mal a. Beim Ausklammern dürfen wir Differenzen genauso behandeln wie Summen. Die vier Drittel enthalten ein Drittel als Teiler. Hier ist es also der mittlere Summand, dessen Faktoren in allen anderen Summanden auch auftauchen. Wir multiplizieren ihn also wieder mit 1 und können wie gewohnt ausklammern. Machen wir auch hier die Probe: Wenn wir diesen Term ausmultiplizieren, sehen wir, dass so der ursprüngliche Term wieder herauskommt. Fassen wir das noch einmal zusammen: Summen, deren Summanden gleiche Faktoren enthalten, kannst du so ausklammern. Wenn Du das Kommutativgesetz anwendest, kannst du die ausgeklammerten Faktoren auch hinter die Klammer schreiben. Unterschiedliche Zahlen enthalten oft gemeinsame Teiler, die du auch ausklammern kannst. Und so können wir den Spezialfall betrachten, nämlich den Fall, dass man ganze Summanden ausklammern kann: Sind nämlich alle Faktoren eines Summanden auch in allen anderen Summanden enthalten, dann und nur dann kannst du den ganzen Summanden ausklammern. Dazu multiplizierst du ihn mit 1 und kannst dann ganz normal ausklammern. Und die Moral von der Geschicht: Fürchte Dich vor Termen nicht!

1 Kommentar
  1. Sehr gut👍👌👍

    Von Hmeyhoefer, vor 13 Tagen

Ausklammern und Ausmultiplizieren ganzer Summanden Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ausklammern und Ausmultiplizieren ganzer Summanden kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die korrekten Aussagen zum Ausklammern und Ausmultiplizieren von Termen.

    Tipps

    Das Kommutativgesetz gilt nur für die Addition und Multiplikation.

    Eine Multiplikation mit $1$ verändert den Wert einer Zahl nicht.

    Lösung

    Diese Aussagen sind falsch:

    „Beim Ausmultiplizieren addierst du einen Faktor, der vor einer Klammer steht, einzeln zu jedem Summanden der Klammer.“

    • Beim Ausmultiplizieren musst du den Faktor, der vor der Klammer steht mit jedem Summanden der Klammer multiplizieren.
    „Da Kommutativgesetz besagt, dass die Reihenfolge der Faktoren einer Division irrelevant ist.“

    • Das Kommutativgesetz gilt nur für die reine Addition oder reine Multiplikation. Denn nur hier führt eine Änderung der Reihenfolge der Zahlen auf dasselbe Ergebnis.
    Diese Aussagen sind richtig:

    „Beim Ausklammern findest du Faktoren, die in allen Summanden vorkommen und schreibst diese vor eine Klammer.“

    • Manchmal musst du dafür die Summanden in ihre Primfaktoren aufteilen.
    „Möchtest du einen ganzen Summanden ausklammern, ist es hilfreich diesen Summanden zuerst mit $1$ zu multiplizieren.“

    • Eine Multiplikation mit $1$ verändert den Wert einer Zahl nicht. Allerdings ist dieser Faktor später hilfreich, wenn du den ganzen Faktor ausklammern möchtest.
    „Um zu überprüfen, ob du beim Ausklammern einen Fehler gemacht hast, ist es hilfreich die Probe durchzuführen.“

    • In der Mathematik ist "rückwärts rechnen" immer eine gute Methode um Rechnungen zu überprüfen.
  • Ergänze die Rechnung.

    Tipps

    Du solltest den mittleren Term zuerst mit $1$ multiplizieren, bevor du ausklammerst.

    Beim Ausklammern darfst du Differenzen genauso behandeln wie Summen.

    Lösung

    So sieht die vollständige Rechnung aus:

    $\begin{array}{ll} &~~~~\frac{1}{3} \cdot a \cdot b + \frac{1}{3} \cdot a -\frac{4}{3} \cdot a\\ &=\frac{1}{3} \cdot a \cdot b + \frac{1}{3} \cdot a \cdot 1 -\frac{4}{3} \cdot a\\ &=\frac{1}{3} \cdot a \cdot ( b +1 -4)\\ \end{array}$

    Den mittleren Summanden haben wir zuerst mit $1$ multipliziert, da dieser Summand komplett ausgeklammert wird.

    Die $1$ taucht am Ende in der Klammer auf.

  • Beschreibe das Vorgehen beim Ausklammern und Ausmultiplizieren ganzer Summanden.

    Tipps

    Nach dem Aufteilen in Primfaktoren fällt es leichter, gemeinsame Faktoren der Summanden zu identifizieren.

    Bei einer Probe rechnen wir rückwärts. Erhalten wir als Ergebnis den Term, mit dem wir angefangen haben, wurde mit großer Wahrscheinlichkeit richtig gerechnet.

    Lösung

    So kannst du den Lückentext vervollständigen:

    „(...) In diesem Term können wir zunächst die Summanden in einzelne Faktoren zerlegen. Dann erhalten wir:

    $3 \cdot x+3 \cdot 3 \cdot x \cdot y$“

    • Nach dem Aufteilen in Primfaktoren fällt es leichter gemeinsame Faktoren der Summanden zu identifizieren.
    „Anschließend multiplizieren wir den ersten Summanden mit $1$. So erhalten wir:

    $3 \cdot x \cdot 1+3 \cdot 3 \cdot x \cdot y$“

    • Hier kommt der Faktor $3x$ in beiden Summanden vor. Allerdings entspricht das dem ganzen ersten Summanden. Deshalb multiplizieren wir diesen hier mit $1$. Dadurch verändert sich der Wert des Summanden nicht, es ist jedoch hilfreich für das Ausklammern.
    „Jetzt können wir die Faktoren, die in allen Summanden vorkommen, ausklammern. So erhalten wir:

    $3x \cdot (1+3 \cdot y)$“

    • Nach dem Ausklammern bleibt jetzt eine $1$ in der Klammer zurück.
    „Zum Schluss führen wir die Probe durch:

    $3x \cdot (1+3y)=3x \cdot 1+3x\cdot 3y=3x+9xy $“

    • Bei einer Probe rechnen wir rückwärts. Wir multiplizieren den Term also aus. Erhalten wir als Ergebnis den Term, mit dem wir angefangen haben, wurde mit großer Wahrscheinlichkeit richtig gerechnet.
  • Ermittle, welche Terme äquivalent sind.

    Tipps

    Du kannst auch einen Faktor ausklammern, der nicht vorhanden ist. Möchtest du das tun, musst du in der Klammer durch denselben Faktor teilen, der ausgeklammert wird. Der Wert verändert sich dabei nicht, denn $c=2 \cdot \frac{c}{2}$.

    Hier können wir den Faktor $2$ ausklammern, da dies durch die Division durch $2$ kompensiert wurde.

    Auch Brüche kannst du ganz normal ausklammern, indem du sie in Faktoren aufteilst. Zum Beispiel:

    $ \frac{5}{3}x + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \cdot 5x + \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{1}{3}(5x+2)$.

    Lösung

    Diese Rechnungen sind falsch:

    „$12ab-16bc-8b=4b(3a-4c-1)$“

    • Hier wurde nicht der komplette Summand ausgeklammert. Du kannst das Ausklammern so korrekt durchführen:
    $12ab-16bc-8b=4b \cdot 3a + 4b \cdot (-4c) -2 \cdot 4b = 4b(3a-4c-2)$

    „$\frac{3}{2} x -\frac{1}{2} x^2 + \frac{5}{2} xy= \frac{1}{2} x (2+5y)$“

    • Hier wurde nicht korrekt ausgeklammert. Auch Brüche kannst du ganz normal ausklammern, indem du sie in Faktoren aufteilst. So kannst du die Rechnung richtig durchführen:
    $\frac{3}{2} x -\frac{1}{2} x^2 + \frac{5}{2} xy= \frac{1}{2} x \cdot 3 + \frac{1}{2} x \cdot(- x) + \frac{1}{2} x \cdot 5y = \frac{1}{2} x (3-x+5y)$

    Diese Rechnungen wurden korrekt durchgeführt:

    „$2a+6b-c+2=2 \cdot a+ 2 \cdot 3b + 2 \cdot (- \frac{c}{2}) + 2 \cdot 1= 2(a+3b-\frac{c}{2}+1)$“

    • Beachte hier, dass aus dem Faktor $c$ eine $2$ ausgeklammert wurde, die nicht vorhanden ist. Möchtest du das tun, musst du in der Klammer durch denselben Faktor teilen, der ausgeklammert wird. Der Wert verändert sich dabei nicht, denn $c=2 \cdot \frac{c}{2}$
    „$10ab-5ab+5a=5ab+5a= 5a \cdot b + 5a \cdot 1= 5a(b+1)$

    • Hier kannst du den linken Term zuerst zusammenfassen, bevor du ihn vereinfachst. Dann kannst du $5a$ als ganzen Summanden ausklammern.
    „$13c+2c-5bc+10ac=15c-5bc+10ac=5c \cdot 3 + 5c \cdot (-b)+ 5c \cdot 2a=5c(3-b+2a)$“

    • Hier wird zwar kein ganzer Summand ausgeklammert, nach Vereinfachung des linken Terms kannst du aber $5c$ ausklammern.
  • Ermittle, welche Terme gleich sind.

    Tipps

    Du kannst die Lösungen bestimmen, auf zwei verschiedene Arten bestimmen:

    1. Du zerlegst die Summanden aus dem linken Term in Primfaktoren und suchst dann gemeinsame Faktoren.
    2. Du klammerst die Terme auf der rechten Seite der Gleichungen aus.

    Dann erhältst du zum Beispiel:

    $2x(13yx+1)= 2x \cdot 13xy + 2x \cdot 1=16x^2y+2x $

    Lösung

    Du kannst die Lösungen bestimmen, indem du die rechte Seite der Gleichungen ausklammerst und anschließend mit der linken Seite vergleichst. So erhältst du:

    • $3x+12xy = \color{#669900}{3x} \cdot 1 + \color{#669900}{3x } \cdot 4y= \color{#669900}{3x}(1+4y)$
    Probe durch Ausmultiplizieren:

    • $3x(1+4y) = 3x \cdot 1 + 3x \cdot 4y= 3x+12xy$
    • $4x+12xy = \color{#669900}{4x} \cdot 1 + \color{#669900}{4x} \cdot 3y= \color{#669900}{4x}(1+3y)$
    • $ 4x-16xy= \color{#669900}{4x} \cdot 1 - \color{#669900}{4x} \cdot 4y= \color{#669900}{4x}(1-4y)$
    • $18x-6xy = \color{#669900}{3x} \cdot 6 + \color{#669900}{3x} \cdot (-2y)=\color{#669900}{3x}(6-2y)$
    • Theoretisch könnte dieser Term auch wie folgt ausgeklammert werden:
    $18x-6xy = 6x \cdot 3 + 6x \cdot (-y) = 6x ( 3- y)$
  • Leite die umgeformten Terme her.

    Tipps

    Du kannst die Terme umformen, indem du sie zuerst in ihre Faktoren aufspaltest und anschließend die Faktoren, die in allen Summanden vorkommen, vor eine Klammer schreibst.

    Hast du einen negativen Summanden, möchtest aber den positiven Wert ausklammern, kannst du das Minuszeichen in der Klammer lassen (wie hier bei $-5y= 5y \cdot (-1)$).

    Lösung

    Du kannst die Terme umformen, indem du sie zuerst in ihre Faktoren aufspaltest und anschließend die Faktoren, die in allen Summanden vorkommen, vor eine Klammer schreibst. So erhältst du:

    • $15x+3x-6xy=3x \cdot 5 +3x \cdot 1 + 3x \cdot (-2y) = 3x(5+1-2y)$
    Hast du einen negativen Summanden, möchtest aber den positiven Wert ausklammern, kannst du das Minuszeichen in der Klammer lassen (wie hier bei $-5y= 5y \cdot (-1)$)

    • $10xy-5y+30yx^2=5y \cdot 2x + 5y \cdot (-1) + 5y \cdot 6x^2=5y(2x-1+6x^2)$
    • $6x-12xy-6=6 \cdot x + 6 \cdot (-2y) + 6 \cdot (-1)= 6(x-2y-1)$
    • $18x-36y+6=6 \cdot 3x + 6 \cdot (-6y) + 6 \cdot 1=6(3x-6y+1)$
    • $6xy-15x+21x^2=3x \cdot 2y + 3x \cdot (-5) + 3x \cdot 7x= 3x(2y-5+7x)$