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Natürlicher Logarithmus als Integralfunktion – Übungen

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Können wir die natürliche Logarithmusfunktion auch mittels Integral als eine Integralfunktion darstellen? Dazu definieren wir in diesem Beispiel eine konkrete Integralfunktion. Mittels der Additivität des Integrals versuchen wir sodann für diese Funktion die Funktionalgleichung der Logarithmusfunktionen zu zeigen. Dies garantiert uns, dass die Funktion sich wie eine Logarithmusfunktion verhält. Zu klären bleibt jedoch, ob wir damit wirklich eine Integralfunktion für den natürlichen Logarithmus oder eventuell einen anderen Logarithmus gefunden haben. Hier kann uns die Kenntnis der ersten Ableitung des natürlichen Logarithmus weiterhelfen.

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Aufgaben in dieser Übung
Benenne Eigenschaften der Funktion $L$ mit $L(x)=\int\limits_{1}^{x} \frac{1}{t}~\mathrm{d}t$.
Erschließe dir die Umformung des angegebenen Integrals $I$.
Bestimme die Werte der angegebenen Integrale.
Bestimme die Lösung der Gleichung.
Gib die richtigen Eigenschaften der Funktion $L$ wieder.
Belege die Gleichheit $L\left(x^n\right)=n\cdot L(x)$ für alle natürlichen Zahlen $n$.