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Was ist eine Nullstelle?

Die Nullstellen einer Funktion $f(x)$ sind alle Werte für das Argument $x$ einer Funktion, für die $f(x)=0$ gilt. Das bedeutet: Wenn du eine Nullstelle für $x$ in die Funktionsgleichung einsetzt, erhältst du den Funktionswert $y=f(x)=0$.

Beachte dabei, dass sich der Begriff der Stelle, also zum Beispiel Nullstelle, ausschließlich auf die $x$-Koordinate bezieht. Wenn von einem Punkt die Rede ist, also zum Beispiel dem Schnittpunkt mit der $x$-Achse, dann geht es sowohl um die $x$- als auch die $y$-Koordinate.

Anschaulich ist die Nullstelle einer Funktion die Stelle, an welcher der zugehörige Funktionsgraph die x-Achse schneidet.

Beispiel

Schaue dir das folgende Beispiel an:

$f(x)=2x-2$

  • Für $x=1$ gilt: $f(1)=2\cdot 1-2=2-2=0$.
  • $x=1$ ist also eine Nullstelle der Funktion $f(x)$.
  • Bei der Schnittstelle $x=1$ schneidet der Funktionsgraph von $f(x)$ die x-Achse.

3104_f(x)_2x-2.jpg

  • Der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse ist $N(1|0)$.
  • Die $y$-Koordinate eines Schnittpunktes mit der x-Achse ist immer $0$.

Tipp: Wenn du eine Funktion auf Nullstellen untersuchen sollst, musst du immer die Gleichung $f(x)=0$ lösen.

Nullstellen von linearen Funktionen

Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion hat einen Funktionsgraph in Form einer Geraden mit der Gleichung $f(x)=m\cdot x+b$.

  • $m$ ist der Faktor (auch: Koeffizient) vor $x$ und steht für die Steigung.
  • $b$ wird als Konstante bezeichnet. Sie kennzeichnet die Schnittstelle mit der $y$-Achse, den so genannten $y$-Achsenabschnitt.

Schauen wir uns das noch einmal am Beispiel $f(x)=2x-2$ an:

  • $m$, also die Steigung, ist hier 2. Das bedeutet: Wenn du von einem Punkt auf dem Graphen eine Einheit nach rechts gehst, gehst du $2$ Einheiten nach oben und erhältst einen weiteren Punkt des Graphen.
  • $b$, der $y$-Achsenabschnitt, ist hier $-2$. Dort wird die $y$-Achse vom Graphen geschnitten.

Wenn du das mit dem Graphen vergleichst, kommst du dort zu denselben Ergebnissen.

3104_f(x)_2x-2.jpg

Wenn die Steigung $m=0$ ist, verläuft die zugehörige Gerade parallel zu der x-Achse. Hier gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten für die Nullstellen der Funktion:

  • $b\neq 0$, dann existiert keine Nullstelle, weil die Gerade parallel zur $x$-Achse liegt
  • $b=0$, dann ist $f(x)=0$ und die zugehörige Gerade liegt genau auf der $x$-Achse, es gibt also unendlich viele Nullstellen.

Im Folgenden schauen wir uns an, wie für $m\neq 0$ die Nullstelle einer linearen Funktion berechnet werden kann.

Wie kann die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmt werden?

Beispiel 1:

Wir schauen uns das Beispiel $f(x)=2x-2$ noch einmal an.

Wenn du $x=1$ in der Gleichung einsetzt, erhältst du $y=f(1)=0$. Nun sollst du die Nullstelle aber nicht raten und dann durch Einsetzen überprüfen, sondern die Nullstelle berechnen. Hierfür musst du eine Gleichung lösen:

$\begin{array}{rclll} 2x-2&=&0&|&+2\\\ 2x&=&2&|&:2\\\ x&=&1 \end{array}$

Die gesuchte Nullstelle liegt also bei $x=1$.

Wieso ist eigentlich klar, dass eine lineare Funktion für $m\neq 0$ genau eine Nullstelle hat?

  • Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
  • Die $x$-Achse ist ebenfalls eine Gerade.
  • Lineare Funktionsgraphen mit $m\neq 0$ liegen niemals parallel zur $x$-Achse.
  • Zwei Geraden haben, wenn sie nicht parallel zueinander sind, genau einen Schnittpunkt.
  • Die $x$-Koordinate dieses Schnittpunktes ist die Nullstelle.

Beispiel 2:

Du kannst auch allgemein, für $m\neq 0$ die Nullstelle einer linearen Funktion berechnen:

$\begin{array}{rclll} m\cdot x+b&=&0&|&-b\\\ m\cdot x&=&-b&|&:m\\\ x&=&-\frac bm \end{array}$

Nun kannst du für verschiedene Beispiele durch Einsetzen von $m$ und $b$ die Nullstelle berechnen:

  • $f(x)=3x-6$ hat die Nullstelle $x=-\frac{-6}{3}=2$.
  • $f(x)=\frac12x+4$ hat die Nullstelle $x=-\frac{4}{\frac12}=-8$.
  • $f(x)=4x$ hat die Nullstelle $x=-\frac04=0$.
  • Wenn eine Gerade, wie die letzte Gerade, eine Nullstelle bei $x=0$ hat, ist die eine Ursprungsgerade, denn sie verläuft durch den Koordinatenursprung.

Die Nullstelle einer linearen Funktion berechnen

Ablesen einer Nullstelle

Wenn du den Funktionsgraphen einer linearen Funktion in einem Koordinatensystem siehst, kannst du die Nullstelle ablesen:

3104_f(x)_1_2x_1.jpg

Beachte: Für die Nullstelle suchst du immer den Schnittpunkt mit der horizontalen Achse, also der $x$-Achse.

Diese Gerade schneidet die $x$-Achse bei $x=-2$.

Übrigens: Die Funktionsgleichung zu dieser Geraden lautet $f(x)=0,5x+1$.

Videos und Übungen in Nullstellen bei linearen Funktionen

4 Videos

Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Nullstellen bei linearen Funktionen

50f61cf0c58f054a5beb68266ac8a8ce 1 Lineare Funktion – Nullstellen berechnen (1) Anzeigen Herunterladen
382767e19d5bc75c6e52a723b10c34a8 1 Lineare Funktion – Nullstellen berechnen (2) Anzeigen Herunterladen
56a8857700d0dd3add76e0d0ef5d31c2 1 Lineare Funktion – Nullstellen berechnen (3) Anzeigen Herunterladen
04720b5fbb9ac4e90524315b7457f515 1 Lineare Funktion – Nullstellen berechnen (4) Anzeigen Herunterladen