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Was ist eine Nullstelle?

Die Nullstellen einer Funktion $f(x)$ sind alle Werte für das Argument $x$ einer Funktion, für die $f(x)=0$ gilt. Das bedeutet: Wenn du eine Nullstelle für $x$ in die Funktionsgleichung einsetzt, erhältst du den Funktionswert $y=f(x)=0$.

Beachte dabei, dass sich der Begriff der Stelle, also zum Beispiel Nullstelle, ausschließlich auf die $x$-Koordinate bezieht. Wenn von einem Punkt die Rede ist, also zum Beispiel dem Schnittpunkt mit der $x$-Achse, dann geht es sowohl um die $x$- als auch die $y$-Koordinate.

Anschaulich ist die Nullstelle einer Funktion die Stelle, an welcher der zugehörige Funktionsgraph die x-Achse schneidet.

Beispiel

Schaue dir das folgende Beispiel an:

$f(x)=2x-2$

  • Für $x=1$ gilt: $f(1)=2\cdot 1-2=2-2=0$.
  • $x=1$ ist also eine Nullstelle der Funktion $f(x)$.
  • Bei der Schnittstelle $x=1$ schneidet der Funktionsgraph von $f(x)$ die x-Achse.

3104_f(x)_2x-2.jpg

  • Der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der x-Achse ist $N(1|0)$.
  • Die $y$-Koordinate eines Schnittpunktes mit der x-Achse ist immer $0$.

Tipp: Wenn du eine Funktion auf Nullstellen untersuchen sollst, musst du immer die Gleichung $f(x)=0$ lösen.

Nullstellen von linearen Funktionen

Was ist eine lineare Funktion?

Eine lineare Funktion hat einen Funktionsgraph in Form einer Geraden mit der Gleichung $f(x)=m\cdot x+b$.

  • $m$ ist der Faktor (auch: Koeffizient) vor $x$ und steht für die Steigung.
  • $b$ wird als Konstante bezeichnet. Sie kennzeichnet die Schnittstelle mit der $y$-Achse, den so genannten $y$-Achsenabschnitt.

Schauen wir uns das noch einmal am Beispiel $f(x)=2x-2$ an:

  • $m$, also die Steigung, ist hier 2. Das bedeutet: Wenn du von einem Punkt auf dem Graphen eine Einheit nach rechts gehst, gehst du $2$ Einheiten nach oben und erhältst einen weiteren Punkt des Graphen.
  • $b$, der $y$-Achsenabschnitt, ist hier $-2$. Dort wird die $y$-Achse vom Graphen geschnitten.

Wenn du das mit dem Graphen vergleichst, kommst du dort zu denselben Ergebnissen.

3104_f(x)_2x-2.jpg

Wenn die Steigung $m=0$ ist, verläuft die zugehörige Gerade parallel zu der x-Achse. Hier gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten für die Nullstellen der Funktion:

  • $b\neq 0$, dann existiert keine Nullstelle, weil die Gerade parallel zur $x$-Achse liegt
  • $b=0$, dann ist $f(x)=0$ und die zugehörige Gerade liegt genau auf der $x$-Achse, es gibt also unendlich viele Nullstellen.

Im Folgenden schauen wir uns an, wie für $m\neq 0$ die Nullstelle einer linearen Funktion berechnet werden kann.

Wie kann die Nullstelle einer linearen Funktion bestimmt werden?

Beispiel 1:

Wir schauen uns das Beispiel $f(x)=2x-2$ noch einmal an.

Wenn du $x=1$ in der Gleichung einsetzt, erhältst du $y=f(1)=0$. Nun sollst du die Nullstelle aber nicht raten und dann durch Einsetzen überprüfen, sondern die Nullstelle berechnen. Hierfür musst du eine Gleichung lösen:

$\begin{array}{rclll} 2x-2&=&0&|&+2\\\ 2x&=&2&|&:2\\\ x&=&1 \end{array}$

Die gesuchte Nullstelle liegt also bei $x=1$.

Wieso ist eigentlich klar, dass eine lineare Funktion für $m\neq 0$ genau eine Nullstelle hat?

  • Der Funktionsgraph einer linearen Funktion ist eine Gerade.
  • Die $x$-Achse ist ebenfalls eine Gerade.
  • Lineare Funktionsgraphen mit $m\neq 0$ liegen niemals parallel zur $x$-Achse.
  • Zwei Geraden haben, wenn sie nicht parallel zueinander sind, genau einen Schnittpunkt.
  • Die $x$-Koordinate dieses Schnittpunktes ist die Nullstelle.

Beispiel 2:

Du kannst auch allgemein, für $m\neq 0$ die Nullstelle einer linearen Funktion berechnen:

$\begin{array}{rclll} m\cdot x+b&=&0&|&-b\\\ m\cdot x&=&-b&|&:m\\\ x&=&-\frac bm \end{array}$

Nun kannst du für verschiedene Beispiele durch Einsetzen von $m$ und $b$ die Nullstelle berechnen:

  • $f(x)=3x-6$ hat die Nullstelle $x=-\frac{-6}{3}=2$.
  • $f(x)=\frac12x+4$ hat die Nullstelle $x=-\frac{4}{\frac12}=-8$.
  • $f(x)=4x$ hat die Nullstelle $x=-\frac04=0$.
  • Wenn eine Gerade, wie die letzte Gerade, eine Nullstelle bei $x=0$ hat, ist die eine Ursprungsgerade, denn sie verläuft durch den Koordinatenursprung.

Ablesen einer Nullstelle

Wenn du den Funktionsgraphen einer linearen Funktion in einem Koordinatensystem siehst, kannst du die Nullstelle ablesen:

3104_f(x)_1_2x_1.jpg

Beachte: Für die Nullstelle suchst du immer den Schnittpunkt mit der horizontalen Achse, also der $x$-Achse.

Diese Gerade schneidet die $x$-Achse bei $x=-2$.

Übrigens: Die Funktionsgleichung zu dieser Geraden lautet $f(x)=0,5x+1$.

Videos und Übungen in Nullstellen bei linearen Funktionen

4 Videos

Arbeitsblätter zum Ausdrucken zum Thema Nullstellen bei linearen Funktionen

50f61cf0c58f054a5beb68266ac8a8ce 1 Lineare Funktion – Nullstellen berechnen (1) Anzeigen Herunterladen
382767e19d5bc75c6e52a723b10c34a8 1 Lineare Funktion – Nullstellen berechnen (2) Anzeigen Herunterladen
56a8857700d0dd3add76e0d0ef5d31c2 1 Lineare Funktion – Nullstellen berechnen (3) Anzeigen Herunterladen
04720b5fbb9ac4e90524315b7457f515 1 Lineare Funktion – Nullstellen berechnen (4) Anzeigen Herunterladen