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Transkript Nutzenmaximierung - Zusammenfassung

Herzlich willkommen zum Video "Zusammenfassung Nutzenmaximierung"! Wir haben schon in mehreren Videos einige Beispielaufgaben zur Nutzenmaximierung gerechnet. Heute wollen wir noch einmal zusammenfassen, wie der Lösungsweg ist und welche Sonderfälle es gibt. Insgesamt möchte man immer den Nutzen maximieren unter der Nebenbedingung der Budgetbeschränkung. Man sucht also immer die Indifferenzkurve, die am weitesten außen liegt, die die Bugdetgerade aber gerade noch berührt. Wir wollen heute zunächst den Normalfall betrachten, also wie man vorgeht bei Nutzenfunktion der Form x1a x2b. Cobb-Douglas-Nutzenfunktion. Wir hatten als Beispiel x1^α x21-α durchgerechnet. Die Vorgehensweise ist für diese Art von Nutzenfunktion aber immer gleich. Als Spezialfälle schauen wir uns dann noch perfekte Substitute bzw. quasilineare Nutzenfunktion an. Ebenso Komplemente. Das optimale Konsumbündel zu finden ist da nämlich ein etwas anderer Weg. Man muss noch einige Sonderfälle, wie z. B. Innere- und Randlösung, betrachten. Kommen wir zunächst zum Normalfall. Wie ich eben schon gesagt hatte, findet man hier die äußere Indifferenzkurve, indem man den Punkt findet, in dem sich Budgetgerade und Indifferenzkurve berühren. Das geht einher mit der Tangentialbedingung. Die Tangentialbedingung betrifft die Steigung der Budgetgeraden und die Steigung der Indifferenzkurve. Die Steigung der Budgetgerade ist nämlich gerade das Preisverhältnis -p1/p2. Im Optimum entspricht diese Steigung der Steigung der Indifferenzkurve, die entspricht der Grenzrate der Substitution. Und die errechnet sich aus den Grenznutzen von Gut 1 durch den Grenznutzen von Gut 2, also der Ableitung. Das ist also unsere Tangentialbedingung. Wie geht man jetzt rechnerisch vor? Am einfachsten ist es über die Lagrangefunktion. Die muss zunächst aufgestellt werden. Die Lagrangefunktion ist immer die Funktion, die wir minimieren bzw. maximieren wollen, also die Nutzenfunktion. U(x1x2)+λ(m-p1x1-p2x2) Von dieser Lagrangefunktion bilden wir jetzt 3 Ableitungen. Einmal nach x1, nach x2 und nach λ. Die setzen wir jeweils gleich 0. Die Ableitung nach λ ergibt dabei wieder genau unsere Nebenbedingung. Aus diesen beiden ersten Gleichungen eliminieren wir dann λ, z. B. indem wir die Gleichungen durcheinander teilen. Daraus erhalten wir dann ein Verhältnis von x1 und x2. Aus diesen eliminieren wir λ und erhalten z. B. x2 in Abhängigkeit von x1, oder andersrum. Das setzen wir nun in unsere Nebenbedingung ein. Wenn wir dann für x2 einen anderen Ausdruck eingesetzt haben, bekommen wir aus der Nebenbedingung unser x1. Das kann dann wiederum hier eingesetzt werden und führt zu x2. x1 und x2 können dann noch in die Nutzenfunktion eingesetzt werden und man erhält die indirekte Nutzenfunktion. Kommen wir nun zu den perfekten Substituten. Bei perfekten Substituten haben wir lineare Indifferenzkurven, so wie hier die Roten. Bei der Suche nach dem optimalen Güterbündel gibt es nun eigentlich 3 Fälle. Man geht dabei über die Tangentialbedingung. Entweder entspricht das Preisverhältnis genau dem Grenznutzenverhältnis, dann liegen Budgetgerade und Indifferenzgerade genau übereinander. Dann ist jedes Güterbündel auf dieser Gerade optimal. Der erste Fall wäre p1/p2 entspricht unserem Grenznutzenverhältnis. Der zweite Fall ist, dass die Budgetgerade zum Beispiel sehr viel steiler verläuft oder auch flacher. Der zweite und dritte Fall sind jeweils die Randlösung. Also entweder p1/p2MU1/MU2. In diesen beiden Fällen wird jeweils nur ein Gut konsumiert. Man erhält also Randlösungen, indem der Konsument entweder sein ganzes Einkommen für Gut 1 oder sein ganzes Einkommen für Gut 2 ausgibt. Auch bei quasilinearen Nutzenfunktionen muss man darauf aufpassen ob Innerelösung oder Randlösung gelten. Quasilineare Nutzenfunktionen könnten so verlaufen. Haben wir, wie in diesem Fall, sehr steile Budgetgeraden, so liegt eine innere Lösung vor, ist die Budgetgerade sehr flach, so liegt eine Randlösung vor. Man muss also immer aufpassen, haben wir eine Innere- oder eine Randlösung. Dabei betrachtet man das kritische Einkommen. Zu der Bedingung kommt man in dem man sagt, dass der Konsument keine negative Menge eines Gutes konsumieren kann. Darüber bekommt man dann das kritische Einkommen. Also z.B. für den Fall, dass M>4p1/p2 ist, so wie in unserer Beispielaufgabe. Bei der quasilinearen Nutzenfunktion kommt man zum optimalen Güterbündel über die Tangentialbedingung. Man muss aber jeweils die Bedingung für Innere- und Randlösung beachten. Bei perfekten Komplementen, also Indifferenzkurven, die so verlaufen, braucht man weder Lagrange noch Tangentialbedingung. Aus der Nutzenfunktion bekommt man ein optimales Verhältnis von x1 und x2. Wenn unser Konsument z.B diese Nutzenfunktion hat, min(1x1, 2x2), so bedeutet das, dass man doppelt so viel x1 wie x2 haben sollte. Wenn er z.B. 5x1 und 5x2 hat, dann ist sein Nutzen das Minimum aus 5 und 10. Im Optimum ist das also gleich. Das heißt, er sollte 10x2 und 20x1 haben. Hat er nämlich 10x2 und 20x1, so ist sein Nutzen das Minimum aus 20 und 2×10, also auch 20. Damit haben wir ein Optimum. Sobald also dieses Verhältnis gegeben ist, finden wir das optimale Konsumgüterbündel. Dieses Verhältnis kann man also einfach in die Budgetgleichung einsetzen und kommt zu dem optimalen Konsumgüterbündel, was unser Konsument sich leisten kann, also dieses Verhältnis einsetzen in die Budgetgleichung. So, das war eine kleine Zusammenfassung zur Nutzenmaximierung mit Lösungswegen zu verschiedenen Aufgabenmöglichkeiten. Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit!

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