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Transkript Nutzen und Konsumentscheidung - Einführung

Herzlich willkommen zum Video "Der Nutzen und die Konsumentscheidung-Einführung". Wir wollen heute Nutzenfunktion und Wege zur optimalen Konsumentscheidung näher betrachten. Konkret schauen wir uns einige Beispiele für Nutzenfunktionen an, für Substitute, Komplemente und eine Cobb-Douglas Nutzenfunktion. Dann erklär ich euch, was der Grenznutzen ist und die Grenzrate der Substitution. Im 2.Teil finden wir dann die optimale Konsumentscheidung. Das geht mithilfe der Lagrange Funktion oder der Tangentialbedingung. Dann gehe ich noch kurz auf innere und Randlösungen ein. Zunächst zur Nutzenfunktion. Eine Nutzenfunktion kann man als eine Formel verstehen, die jedem Güterbündel ein bestimmtes Nutzeniveau zuordnet. Zum Beispiel könnt es ja sein, das der Konsument Nutzen aus Lebensmitteln und Computerspielen zieht. Seine Nutzenfunktion U(x1,x2) könnte zum Beispiel sein x1+x2. Das heißt, sein Nutzen ist die Menge von Gut 1 plus die Menge von Gut 2, zum Beispiel Lebensmittel und Computerspiele. Wenn wir uns jetzt also vorstellen, unser Konsument hätte 2 Einheiten Lebensmittel und 2 Einheiten Computerspiele, würde das für ihn 4 Nutzeneinheiten bedeuten. Jetzt kann man sich vorstellen, dass er 4 Einheiten Lebensmittel und 0 Einheiten Computerspiele hätte. Auch das würde ein Nutzenniveau von 4 Einheiten bedeuten, das heißt, zwischen diesen beiden Güterbündeln wäre er gerade indifferent. Eine Nutzenfunktion legt also eine Reihenfolge für verschiedene Güterbündel fest. Dabei ist das absolute Nutzenniveau, also in diesem Fall 4, gar nicht so wichtig. Viel wichtiger ist die Zuordnung der Reihenfolge. Es könnte ja zum Beispiel auch eine andere Nutzenfunktion geben, 2x1+2x2. Unsere Güterbündel von eben würden also hier 8 Nutzeneinheiten erzeugen. Absolut gesehen unterscheiden sich diese Nutzenfunktionen also. Sie führen aber beide zur selben Reihenfolge an Güterbündeln. Die Nutzenfunktion wurde verdoppelt. Eine lineare Transformation verändert also die Reihenfolge der Güterbündel nicht. Nutzenfunktionen bestimmen also, zwischen welchen Güterbündeln der Konsument gerade indifferent ist und welche Güterbündel er anderen vorzieht. Zur Nutzenfunktion gehören natürlich auch immer Indifferenzkurven. Bei Substituten verlaufen die Indifferenzkurven linear. Die Nutzenfunktionen sehen also zum Beispiel so aus, der Nutzen von x1 und x2 = x1+x2. Hier kann ich die Güter im Verhältnis 1zu1 gegeneinander substituieren. 2 Einheiten von x1 und 2 Einheiten von x2 sind also genauso gut, wie 3 Einheiten von x1 und 1 Einheit von x2. Diese beiden Bündel liegen auf einer Indifferenzkurve und führen dem entsprechend auch zum gleichen Nutzenniveau. Als Beispiel für Komplemente hatten wir ja schon linke und rechte Schuhe angeführt. Die zugehörige Nutzenfunktion wäre also das Minimum aus x1 und x2. Wenn ich 3 Einheiten von Gut 1 und 2 Einheiten von Gut 2 habe, führt das zu einem Nutzenniveau von 2. Denn ich kann aus 3 linken Schuhen und 2 rechten Schuhen genau 2 Paar Schuhe bekommen. Die zugehörigen Indifferenzkurven verlaufen in dieser Form. Ein besonders wichtiges Beispiel für Nutzenfunktion ist die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion. Ganz allgemein sieht sie so aus, das wir x1?×x21-? haben. Zum Beispiel kann man sich eine Nutzenfunktion vorstellen Utilde (x1,x2)=x11/2×x21/2. Die Potenzen 1/2 und 1/2 addieren sich also zusammen genau zu 1. Wir haben also ? und 1-? gegeben. Die zugehörigen Indiffenzkurven sind nun hyperbel, das heißt, sie verlaufen in etwa in dieser Form. Die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion wird in vielen Aufgaben verwendet und gilt sozusagen als die Standard-Nutzenfunktion. Anhand der Cobb-Douglas Nutzenfunktion wollen wir nun auch Grenznutzen und Grenzrate der Substitution erklären. Der Grenznutzen eines Gutes, also zum Beispiel der Grenznutzen von Gut 1, gibt an, wie viel zusätzlicher Nutzen entsteht, wenn ich eine Einheit mehr von Gut 1 habe. Der Grenznutzen von Gut 1 ist also gerade die Ableitung der Nutzenfunktion nach x1. In unserem Beispielfall ist der Grenznutzen von Gut 1, MU1, marginal utility, also die Ableitung unserer Beispielnutzenfunktion Utilde -> x1, also 1/2x1-1/2×x21/2. Dem entsprechend ist der Grenznutzen von Gut 2 natürlich die Ableitung nach x2. MU2 ist die Ableitung von Utilde -> x2, also in unserem Fall 1/2x11/2×x2-1/2. Den Grenznutzen eines Gutes bekomme ich also über die Ableitung der Nutzenfunktion. Er gibt an, wie viel zusätzlicher Nutzen entsteht bei einer Einheit mehr von dem betrachteten Gut. Was ist nun die Grenzrate der Substitution? Die Grenzrate der Substitution wird abgekürzt mit GRS oder MRS, also englisch Marginal rate of substitution. Man berechnet sie als, -Grenznutzen von Gut 1 / Grenznutzen von Gut 2.  Sie besagt, wieviel Einheiten von Gut 2 ist der Konsument bereit aufzugeben, um eine Einheit mehr von Gut 1 zu bekommen. In unserem Fall muß ich also die Grenznutzen hier durcheinander teilen und bekomme dann (-1/2x1-1/2×x21/2)/(1/2x11/2×x2-1/2). Da kürzt sich vieles weg, 1/2 kürzt sich weg, (x1-1/2)/x11/2=x1-1 und (x21/2)/(x2-1/2)=x21. Wir bekommen also -x2/x1 als Grenzrate der Substitution für unseren Beispielfall Utilde. Wenn wir uns nun noch einmal an die Budgetbeschränkung erinnern, haben wir eigentlich alles, was wir zum Finden der optimalen Konsumentscheidung brauchen. Unser Konsument möchte seinen Nutzen maximieren. Er unterliegt dabei allerdings der Budgetbeschränkung. Er möchte also die Indifferenzkurve erreichen, die am weitesten außen liegt, muß aber beachten, das er sich das Güterbündel auch leisten kann. Wir suchen also das Güterbündel, was auf Indifferenzkurve und Budgetgerade liegt, und zwar genau auf der Indifferenzkurve, die am weitesten außen liegt, also das höchste Nutzenniveau bedeutet. In diesem Fall wäre das dieser Punkt, gerade der Berührungspunkt von Indifferenzkurve und Budgetgerade. Formal wollen wir also den Nutzen maximieren unter der Bedingung der Budgetbeschränkung. Dieses Problem kann man mithilfe der Lagrange Funktion lösen. Die Lagrange Funktion, stellt man so auf, zunächst die zu maximierende Nutzenfunktion + Lambda × der Nebenbedingung (m-p1x1-p2x2). Dann bildet man Ableitungen einmal nach x1, nach x2 und noch nach Lambda und setzt jeweils gleich 0. Über diese 3 Gleichungen bekommt man dann x1× und x2×, also die optimalen Mengen von Gut 1 und Gut 2. Die Lagrange Funktion werden wir auch noch in vielen weiteren Videos, zum Beispiel "Aufgaben zur Konsumentscheidung", verwenden. Dann sehr ihr auch genauer, wie das funktioniert. Alternativ kann man auch die Tangentialbedingung verwenden. Die besagt nämlich, -p1/p2=-MU1/MU2. Wieso ist das so? Schauen wir uns noch einmal die Grafik an. Wir hatten ja gesagt, dass hier in diesem Punkt unser optimales Konsumgüterbündel liegt. Man kann sich jetzt bei der Tangentialbedingung zunutze machen, dass die Steigung von Budgetgerade und Indifferenzkurve in diesem Punkt gerade die gleiche ist. Das heißt, die Steigung der Budgetgeraden entspricht der Steigung der Indifferenzkurve. Im Video zur Budgetbeschränkung haben wir ja hergeleitet, dass die Steigung der Budgetgerade -p1/p2, also das Preisverhältnis ist. Die Steigung der Indifferenzkurve wird nun bestimmt durch die Grenzrate der Substitution, -MU1/MU2. Über diese Tangentialbedingung kommt man also auch zum optimalen Konsumgüterbündel. Allerdings muss man beachten, das dies nur gilt, wenn innere Lösungen vorliegen. Bei Randlösung gilt die Tangentialbedingung nicht. Randlösung bedeutet, das der Konsument nur ein Gut konsumiert, das heißt zum Beispiel wie in dieser Grafik, 0 Einheiten von Gut 2 und m/p1 Einheiten von x1. Hier wird die äußerste Indifferenzkurve erreicht, in diesem Punkt. Hier entspricht die Steigung der Indifferenzkurve jedoch nicht der Steigung der Budgetgeraden. Da muss man also aufpassen. Aber auch Innere und Randlösung werden wir uns noch in einigen Beispielen näher anschauen. Soweit erst mal zur Einführung zu Nutzen und zur optimalen Konsumentscheidung. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit.

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4 Kommentare
  1. Default

    Ok ist ja ein Produkt und keine Summe Sorry....!

    Von Philipp Pfeffer, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Ist die Ableitung von MU 1 nach x1 nicht nur 1/2 x1^ -1/2 ???
    x2 ^ 1/2 fällt doch weg wenn nach x1 abgelitten wird!

    Von Philipp Pfeffer, vor mehr als 3 Jahren
  3. Default

    Das macht doch keinen Unterschied.
    0,5 * a * b = a * 0,5 * b = a * b * 0,5

    Von A.Muljajic@Gmx.De, vor etwa 4 Jahren
  4. Default

    Kommt das 1/2 von MU2 nicht vor x2 anstatt vor x1?

    Von Marcian, vor fast 6 Jahren