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Transkript Kostenminimierung mit Lagrange - Beispielaufgabe mit konkreten Zahlen

Herzlich willkommen zum Video Kostenminimierung Wir haben eine Firma. Wir könnten uns vorstellen, dass diese Fahrräder produziert. Sie legt fest, dass sie eine bestimmte Menge an Fahrrädern produzieren wird. Der Output y ist als vorher festgelegt. Die Fahrräder werden jetzt aus Aluminium und Gummi produziert. Die Produktionsfunktion ist x1×x2. x1 könnte Aluminium sein, x2 Gummi. Aluminium kostet den Preis w1, Gummi w2. Die fertigen Fahrräder können am Markt zu Preis p verkauft werden. Wir sollen jetzt das Kostenminimierungsproblem mit Lagrange lösen. Das heißt, wir suchen jetzt die kostenminimierende Inputfaktorkombination bei festem Output. Im Aufgabenteil B haben wir dann konkrete Zahlen für w1, w2 und y. Wir sollen die kostenminimierende Inputfaktorenkombination berechnen. Im Aufgabenteil C sollen wir dann noch bestimmen, wie hoch p sein muss, damit unsere Firma positiven Gewinn macht. In Aufgabenteil A soll nun also das Kostenminimierungsproblem mithilfe des Lagrange Ansatzes gelöst werden. Unsere Kostenfunktion die minimiert werden soll, ist w1×x1+w2×x2. Inputpreis×Inputmenge. Jeweils für Aluminium und für Gummi. Außerdem haben wir einen festgelegten Output y, und die Produktionsfunktion x1×x2. Lagrange Ansatz bedeutet nun, die Funktion die wir minimieren plus Lambda mal der Nebenbedingung. Ganz ähnlich wie beim Nutzenmaximierungsproblem. Auch das haben wir schon mit Lagrange gelöst. Die Lagrange Funktion lautet also w1x1+w2x2+λxy-x1×x2 Jetzt brauchen wir die Ableitung. Einmal nach x1, nach x2 und nach λ. Die Ableitung nach x1 ist w1-λ×x2. Die Ableitung nach x2 ist w2-λ×x1. Und die Ableitung nach λ führt wieder zu unserer Nebenbedingung, y-x1×x2. Jeweils =0. Aus den ersten beiden Gleichungen muss ich nun jeweils ein Verhältnis x1 und x2 herleiten. w1=λx2 und w2=λx1. Diese beiden Gleichung kann ich nun durcheinander teilen. Dann fällt λ weg. w1÷w2=x2÷x1. Mit anderen Worten x2=x1×w1÷w2. Für x2 haben wir also einen Ausdruck, den wir nun in unsere Nebenbedingung einsetzen können. Wir haben x2=x1×w1÷w2 und y-x1×x2=0. Ich setze für x2 also ein: y-x1×x1×w1÷w2=0. y-x1²×w1÷w2=0. Ich bringe das auf die andere Seite und teile durch w1÷w2. y×w2÷w1=x1². Und damit ist x1×=√y×w2÷w1 Hier also x1×. Das können wir nun hier einsetzen, um x2× zu berechnen. x2=√y×w2÷w1×w1÷w2. Dann ist x2×√y×w1÷w2. Hier haben wir also die kostenminimierende Inputfaktorenkombination, in Abhängigkeit von y, w1 und w2. In Aufgabenteil B haben wir nun konkrete Zahlen, die wir einsetzen sollen. w1=1, w2=4 und y=36. Berechnen wir also x1× und x2×. x1×=√36×4÷1=12. x2×=√36×1/4=3. Hier haben wir nun eine gute Möglichkeit, um unser Ergebnis aus A zu überprüfen. Wir schauen jetzt, ob tatsächlich ein Output von 36 realisiert wird. y=f(x1x2)=x1×x2=12×3=36. Das passt. In Aufgabenteil C sollen wir nun bestimmen, wie hoch p sein muss, damit die Firma positiven Gewinn macht. Dafür können wir zunächst die Kosten berechnen. Die Kosten in Abhängigkeit von w1w2x1x2=w1x1+w2x2, mit eingesetzten Zahlen also (1,4,12,3)=1×12+4×3=24. Die Firma hat also Kosten in Höhe von 24. Die Gewinnfunktion ist allgemein immer p×y-24. Unsere Gewinnfunktion sollte > 0 sein und wir haben einen Output von 36. p×36-24 > 0.. p>24/36=2/3. Der Preis am Markt, zu dem der Output verkauft werden kann, muss also >2/3 sein, damit die Firma positiven Gewinn macht. So, das wars für heute und mit der Beispielaufgabe zur Kostenminimierung. Vielen Dank für Euere Aufmerksamkeit.

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