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Elastizität 07:56 min

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Transkript Elastizität

Die Elastizität. Zuerst befassen wir uns mit der Formel der Elastizität.. ε(y),x = x/f(x) × f'(x). Links vom Istgleichzeichen steht Elastizität von y bezüglich x. f(x) ist unsere Ausgangsfunktion, deren Elastizität wollen wir betrachten. f'(x) ist die 1. Ableitung der Ausgangsfunktion. x ist ganz allgemein x, kann aber auch jeder spezielle x-Wert sein, je nachdem was in der Aufgabenstellung verlangt ist. Die Elastizität gibt die relative Veränderung der abhängigen Variablen geteilt durch die relative Veränderung der unabhängigen Variablen an. Relativ bedeutet, wir vergleichen Größenverhältnisse, indem wir sie zum gleichen Grundwert in Beziehung setzen. Wenn man den Grundwert mit 100 festlegt, erhält man Prozente. Unsere abhängige Variable ist f(x), also y, denn diese ergibt sich aus dem, was ich für x einsetze. Die unabhängige Variable ist x, weil ich für x jeden beliebigen Wert in Funktion f(x) einsetzen kann. Um die Elastizität zu verstehen, stellen wir uns folgende Frage: Um wie viel Prozent verändert sich y, wenn x um 1% verändert wird? Die Elastizität von y bezüglich x kann zum Beispiel 3 sein, das bedeutet eine 1-prozentige Veränderung von x bewirkt eine 3-prozentige Veränderung von y. Ein Anwendungsbeispiel. In der ökonomischen Theorie wird die Elastizität benutzt, um Preisentwicklungen zu prognostizieren. Zum Beispiel: De Funktion f(x)=y. Hier bedeutet y die abgesetzte Menge und x gibt den Preis des Gutes wieder. Die Elastizität von y bezüglich x beschreibt dann um wie viel Prozent verändert sich der Absatz, also y, wenn ich den Preis des Gutes, also x, um 1% verändere. Diese Elastizität wird auch als Elastizität der Nachfragekurve oder als Preiselastizität bezeichnet. Ein Zahlenbeispiel: Berechnen Sie die Elastizität von y bezüglich x. Dazu haben wir folgende Funktion gegeben. f(x)=y=4×x². Als erstes. schreiben wir uns die allgemeine Formel für die Elastizität hin. ε(y),x = x/f(x) × f'(x). Um diese Formel in diese Formel einsetzen zu können, benötigen wir noch die 1. Ableitung der Ausgangsfunktion. Berechnen wir diese nun. f'(x) = 8×x. Setzen wir nun in die Formel ein. ε(y),x = x/4×x² × 8x. Wenn wir nun ausmultiplizieren, erhalten wir 8x²/4x². Die x² kürzen sich raus und 8 und 4 können wir noch mal durch 4 kürzen. Dann bleibt im Zähler eine 2 stehen und im Nenner eine 1. Die Elastizität von y bezüglich x ist also 2. Dies ist eine konstante Elastizität, das bedeutet, egal wo auf dem Grafen von f(x) wir eine 1-prozentige Veränderung von x betrachten, y wird sich immer konstant um 2% verändern. Ein 2. Zahlenbeispiel. Berechnen Sie die Elastizität von x bezüglich y. Also ε(x),y = y/f(y) × f'(y). Wen ihr so eine Aufgabe bekommt, ist meist f(x) gegeben. Im Beispiel ist f(x) = y = \sqrt(2-4x). Wir brauchen für die Berechnung aber f(y) = x, dazu müssen wir f(x) nach x auflösen. Also y = \sqrt(2-4x). Als erstes quadrieren wir beide Seiten, y² = 2-4x, nun minus 2. -2+y² = -4x. Durch minus 4. x = (-2+y²)/-4. Etwas umgeschrieben erhalten wir dafür -1×(2-y²)/(-1×4). Die -1 kürzen sich raus und wir erhalten x = (2-y²)/4 und das ist f(y). Da wir nun f(y) berechnet haben, schreiben wir zuerst die allgemeine Formel für die Elastizität auf. ε(x),y = y/f(y) × f'(y). Dabei fällt uns auf, dass wir noch f'(y) bilden müssen. Dazu stellen wir f(y) ein wenig um, damit uns der Bruch beim Ableiten nicht gar so sehr stört. Wie erhalten ¼×(2-y²). Die 1. Ableitung lautet somit ¼×(0-2y). Wir vereinfachen die 1. Ableitung noch, -2y/4 ergibt sich, wir können dann mit 2 kürzen und erhalten im Zähler -y und im Nenner 2. Unsere 1. Ableitung ist also -y/2. Wenn wir nun in die Formel für Elastizität einsetzen, erhalten wir 4y/(2-y²)×(-y/2). Ausmultipliziert bedeutet das, ε(x),y=-4y²/(4-2y²). Wir können jetzt aus Zähler und Nenner die 2 ausklammern und erhalten 2×(-2y²)/2×(2-y²). Die 2 kürzen sich weg und (-2y²)/(2-y²) ist unser Endergebnis. Das gilt aber nur für y≠\sqrt2, denn ansonsten würde im Nenner eine 0 entstehen und die Division durch 0 ist nicht definiert. ε(x),y=(-2y²)/(2-y²) für y≠\sqrt2. Hier haben wir nun keine konstante Elastizität mehr, die Elastizität ist an jedem Punkt des Graphen f(y) anders.

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3 Kommentare
  1. Default

    Also ich finde auch, dass das gut war. Ich hab zuvor noch nie was von Elastizität gehört. Nun weiß ich aber wie man die Elastizität berechnet. Und ich würde mich Max M. anschließen.

    Von Lady Happy, vor mehr als 7 Jahren
  2. Photo 2

    Für mich wär's spannend gewesen, gleich am Anfang zu wissen, wie sich dich Formel in der Praxis anwenden lässt (z.B. Prognose Preisveränderungen) - dann ist die Motivation höher, die Theorie zu lernen! Sonst inhaltlich top, jetzt hab ich's verstanden...

    Von Max M., vor mehr als 7 Jahren
  3. Default

    Neben der Klarheit und Kompetenz im Vortrag ist lediglich hier und da auch auf die Qualität der Schreibweise, insbesondere von x und y etwas mehr zu achten. Der Uebende ist einfach zu schnell verunsichert. Ansonsten natürlich gelungen, hilfreich ==> SPITZE!

    Von A R., vor mehr als 7 Jahren