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Transkript Beispielaufgabe zur Konsumentscheidung - konkretes Zahlenbeispiel

Herzlich willkommen zum Video Beispielaufgabe: Optimale Konsumentscheidung Wir haben uns jetzt mit Nutzen und Indifferenzkurven und Budgetbeschränkung beschäftigt. Heute wollen wir uns eine umfangreiche Beispielaufgabe zu diesen Themen anschauen. Dafür haben wir hier ein Beispiel, Einkommen, Preise von Gut eins und Gut zwei und eine Nutzenfunktion unseres Konsumenten und hier einige Teilaufgaben. Wir sollen die Budgetgleichung bestimmen, die Budgetgerade zeichnen, Opportunitätskosten bestimmen, Grenzrate der Substitution bestimmen, das optimale Konsumbündel finden und den Nutzen im Optimum bestimmen. Kommen wir zum Aufgabenteil "a" - bestimme die Budgetgleichung. Hier sind alle Daten, die wir dafür brauchen, ein Einkommen von 360, der Preis von Gut eins beträgt 12, der Preis von Gut zwei beträgt 4 Euro. Zunächst die allgemeine Form der Budgetgleichung: P1×X1+P2×X2=m Alles, was ich für Gut ein ausgebe plus alles, was ich für Gut zwei ausgebe, entspricht genau dem Einkommen. Ich trage die Zahlen ein. Die Budgetgleichung laut: 12X1+4X2=360. Kommen wir zum Aufgabenteil "b". Wir sollen die Budgetgerade zeichnen. Dafür brauche ich ein Diagramm mit der X-Achse, auf der die Menge von Gut eins abgetragen wird und auf der Y-Achse, X2. Um die Gerade zu zeichnen, brauchen wir beide Achsenabschnitte, die berechnen sich, durch m/P1 und m/P2. m/P1=360/12=30 m/P2=360/4=90 Das sind die beiden Achsenabschnitte. Ich kann sie eintragen und dann die Budgetgerade zeichnen. Da Gut eins sehr viel teurer ist, als Gut zwei, hat die Budgetgerade einen sehr steilen Verlauf. Im dritten Aufgabenteil "c" sollen nun die Opportinitätskosten von Gut eins in Einheiten von Gut zwei angegeben werden. Das heißt: Wie viel von Gut zwei muss ich aufgeben, um eine Einheit von Gut eins mehr zu bekommen? Das entspricht gerade dem Preisverhältnis und damit auch der Steigung der Budgetgeraden. Die Opportinitätskosten von Gut eins in Einheiten von Gut zwei sind also gerade 3. Nämlich P1 12 durch P2 4. Auch die Steigung der Budgetgeraden beträgt minus 3. In Teil "d" soll die Grenzrate der Substitution bestimmt werden. Also auch die Steigung der Indifferenzkurve. Dafür brauche ich den Grenznutzen von Gut eins und den Grenznutzen von Gut zwei. Diesen bekomme ich, indem ich die Nutzenfunktion nach X1 und nach X2 ableite. Die Ableitung nach X1 ist 2X1X2, die Ableitung nach X2 ist X1 Quadrat. Die Grenzrate der Substitution kann ich nun angeben durch -mu1/mu2 also -2X1X2/X1², das kann ich noch kürzen, also -2X2/X1. In Aufgabenteil "e" soll jetzt das optimale Konsumbündel X1 Stern, X2 Stern bestimmt werden. Dafür haben wir zwei Möglichkeiten. Wir können die Lagrangefunktion aufstellen oder wir können die Bedingung, das die Grenzrate der Substitutionsgerade dem Preisverhältnis entsprechen muss, verwenden. Kommen wir zunächst zur ersten Möglichkeit, die Lagrangefunktion, das heißt man maximiert den Nutzen unter der Bedingung, dass die Budgetbeschränkung erfüllt wird. Die Lagrangefunktion ist also die Nutzenfunktion + Lambda mal der Budgetbeschränkung. Ich stelle also die Lagrangefunktion für unser Beispiel auf: Die Nutzenfunktion X1²X2+Λ(lambda)P1X1 also 12X1+P2X2 also 4X2 minus unser Einkommen, also 360. Um das optimale Konsumbündel mit der Lagrangefunktion zu finden, muß ich jetzt nach X1, X2 und Lambda ableiten und die Bedingungen erster Ordnung besagen, dass diese drei Gleichungen gerade gleich Null sein müssen. Wir suchen ja das Maximum. Zunächst die Ableitung nach X1. 2X1X2+12Λ2=0. Die Ableitung nach X2: X1²+4Λ2=0, die Ableitung nach Lambda führt wieder zu unserer Budgetrestriktion: 12X1+4X2-360 2=0. Dieses Gleichungssystem mit drei Unbekannten gilt es nun zu lösen. Aus den ersten beiden Gleichungen errechne ich ein Verhältnis von X1 und X2, dieses setze ich in die Budgetgleichung ein. Ich muss also, diese Gleichung mit drei multiplizieren und von dieser abziehen. Daraus ergibt sich: 2X1X2-3X1²=0. Diese Gleichung ist gelöst, entweder, wenn X1 gleich 0 ist oder auf die zweite Lösung komme ich, wenn ich X1 ausklammere. Daraus ergibt sich dann X2=3/2 X1. Diese zwei Lösungen setze ich jetzt in die Budgetgleichung ein: bei X1=0 bleibt von der Budgetgleichung übrig: 4X2-360=0 X2=90 Das ist also unser erster Anwärter für das optimale Konsumbündel X1=0, X2=90. Setzen wir dieses Verhältnis in die Budgetgleichung ein. 12X1+4×3/2 X1-360=0 12X1+6X1=18X1 - 360 auf die andere Seite gebracht ergibt also X1 Stern gleich 20. Die Zahl für X1 wiederum in das Verhältnis eingesetzt ergibt für X2 gleich 30. Das ist also unser zweiter Anwärter für das optimale Konsumbündel. Die Verwendung der Lagrangefunktion hat uns also zwei mögliche Konsumbündel gebracht, X1=0, X2=90 oder X1=20 oder X2=30 Welches tatsächlich optimal ist, finden wir heraus, indem wir den Nutzen vergleichen. Dazu kommen wir im Aufgabenteil "f". Schauen wir uns die zweite Möglichkeit an, ein optimales Konsumbündel zu finden. Es gilt die Bedingung, dass die Grenzrate der Substitution gleich dem Preisverhältnis sein muß. In dem Punkt, in dem sich Indifferenzkurve und Budgetkurve also gerade berühren, das ist nämlich die Steigungsleistung. In den anderen Aufgabenteilen hatten wir bereits die MRS und das Preisverhältnis bestimmt. Die Grenzrate der Substitution war -2X2/X1 und das Preisverhältnis war minus 3. Daraus ergibt sich ein Verhältnis von X1 und X2. X2=3/2X1 Dieses Verhältnis setze ich nun in die Budgetgleichung ein. Es ist dasselbe Verhältnis, wie bei der Lagrangefunktion. Es ergibt sich also dieses Konsumbündel. Einsetzen in die Budgetgleichung führt also zum Konsumbündel X1=20, X2=30. Im Aufgabenteil "f" wollen wir nun den Nutzen bestimmen. Zunächst den Nutzen von X1=0, X2=90. Ich setze unsere Mengen also in die Nutzenfunktion ein. Es ergibt einen Nutzen von 0. Unsere Nutzenfunktion ist nämlich ein Produkt. Wenn eines der beiden Faktoren 0 ist, ist also das ganze Produkt 0. Schauen wir uns die zweite Möglichkeit an: Für X1 setze ich 20 ein, für X2 30 20 Quadrat ist 400 mal 30 ergibt 12.000. Unser optimales Konsumbündel ist also X1 Stern =20, X2 Stern = 30 Der Nutzen im Optimum beträgt 12.000 So, das war eine ausführliche Aufgabe zur optimalen Konsumentscheidung.        

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4 Kommentare
  1. Default

    alles sehr schön gemacht, hoffe es hilft für montag :)

    Von Lische1983, vor fast 5 Jahren
  2. Dsci0004

    Hallo,
    wie oben beschrieben lautat die Nutzenfunktion U(x1, x2) = (x1)^2*(x2).
    Der Grenznutzen eines Gutes (z.B. x1) ist die Ableitunng der Nutzenfunktion nach diesem Gut (also die Ableitung von U nach x1). Die Grenzrate der Substitution ergibt sich dann aus dem negativen Quotienten der Grenznutzen beider Güter.
    Viele Grüße
    Femke

    Von Femke Schmarbeck, vor fast 5 Jahren
  3. Default

    Wie lautet die Nutzenfunktion in dem Beispiel? Sie ist auf dem Board leider schlecht zu lesen ud ich glaube, du nennst sie auch nicht. Kannst du sie hier als Kommentar vielleicht nochmal nennen?
    Lieben gruß und Vielen Dank.

    Von Janawichert, vor fast 5 Jahren
  4. Default

    Hi ich wollte nur normal fragen, wie die Forme um eine Grenzfunktion zu berechnen lautet? Die, die ich hier gesehen habe, habe ich nicht verstanden. Muss man immer die Ableitung machen? Weil ich was anderes gesehen habe und jetzt verstehe ich nichts mehr ;-(

    Wenn U' = 2x1 X x2 und V' = X1^2: Wäre dann: GRS = -U' / V ??? Ist das die Forme?

    Sorry aber ich habe manchmal Schwierigkeit die Sprache zu verstehen...

    Vielen Dank

    Von Marivaldo Da Silva Messias, vor mehr als 5 Jahren
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