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Transkript Beispielaufgabe zum Monopolisten - Gewinnmaximierung und Renten

Herzlich willkommen zum Video Monopol-Gewinnmaximierung und Renten. Wir stellen uns vor, ein Monopolist sieht sich der Nachfragefunktion x(p)=20-p beziehungsweise invers p(x)=20-x gegenüber. Er selbst hat keine Fixkosten, nur eine Kostenfunktion in Abhängigkeit von der Outputmenge von 4x. Wir sollen nun über die Gewinnmaximierung des Monopolisten Menge und Preis bestimmen. Außerdem berechnen wir für diesen Fall die Konsumentenrente und stellen unsere Ergebnisse grafisch dar. Dann berechnen wir noch einmal p, x und die Konsumentenrente für den Fall, dass der Preis gleich den Grenzkosten ist. Diese beiden Fälle wollen wir dann im Abschluss vergleichen. Unser Monopolist wählt seine angebotene Menge so, dass er seinen Gewinn maximiert. Sein Gewinn, das ist der Erlös minus die Kosten, und Erlös ist Outputpreis × Outputmenge. Also, der Gewinn unseres Monopolisten in Abhängigkeit von der Menge ist der Preis × unsere Menge, wobei der Preis durch 20-x bestimmt wird, mal der Menge minus die Kosten. Das können wir vereinfachen zu 20x-x2-4x, also 16x-x2. Wir sollen nun das Gewinnmaximum finden. Wir leiten also ab. Die Ableitung nach x ist 16-2x. Die sei gleich 0, und daraus ergibt sich ein xM, M für Monopolist, gleich 8. Jetzt überprüfen wir noch, dass wir auch ein Maximum und kein Minimum gefunden haben. Die 2. Ableitung ist -2, damit < 0, das heißt, wir haben tatsächlich ein Maximum gefunden. Der Preis pM ergibt sich nun als 20-x, also 12. Man spricht vom cournotschen Punkt, den wir gefunden haben. Der cournotsche Punkt liegt also bei (xM, pM), in diesem Fall bei (8,12). Die Konsumentenrente ist etwas leichter zu verstehen, wenn man die Fläche in der Grafik sieht, deswegen schon jetzt die Grafik mit unseren bisherigen Ergebnissen. Hier die lineare Nachfragekurve mit den Achsenabschnitten: jeweils 20. Hier unser pM und hier unser xM und das Angebot des Monopolisten. Diese Fläche spiegelt die Zahlungsbereitschaft der Konsumenten wieder. Dieses Rechteck entspricht dem Wert, den die Konsumenten tatsächlich bezahlen müssen, p×x. Die Differenz, also diese schraffierte Fläche, ist damit die Konsumentenrente. Die wollen wir nun berechnen. Ganz allgemein berechnet sich die Konsumentenrente als 0 bis zur verkauften Menge, also in diesem Fall xM p(x)dx, der Zahlungsbereitschaft minus den Wert, den unsere Konsumenten tatsächlich zahlen, also p(xM)xM. Das kann ich einsetzen und die Stammfunktion bilden. [20x-(1/2)x2] von 0 bis xM -(20-xM)×xM. Einfach p(x) eingesetzt und die Stammfunktion gebildet. Jetzt setze ich wieder ein, also [20xM-(1/2)xm²] - -0 eingesetzt, das fällt weg - +20xM + xm². Bleibt also noch (1/2)xm². In diesem Fall beträgt die Konsumentenrente also 82=64×(1/2) ist 32. In diesem speziellen Fall hätten wir das natürlich gar nicht so kompliziert machen müssen. Wir können nämlich auch einfach diese Fläche berechnen. Die Fläche eines Dreiecks ist die Grundseite mal die Höhe durch 2. Die Grundseite ist 8, die Höhe ist 20-12,a lso auch 8, 8×8=64, durch 2 sind 32. Wir kommen auf das gleiche Ergebnis. Die Konsumentenrente in unserem Fall beträgt also 32. Da unser Monopolist keine Fixkosten hat, beträgt die Produzentenrente gerade den Gewinn des Monopolisten. Den Gewinn des Monopolisten können wir einfach ausrechnen. Der Gewinn unseres Monopolisten ist die produzierte Menge mal den Preis minus die Kosten 4 mal der produzierten Menge. 12×8-4×8=64. Der Gewinn des Monopolisten beträgt also bei xM und pM 64. Betrachten wir nun den Fall Preis = Grenzkosten. Preis = Grenzkosten bedeutet p gleich Ableitung von 4x, also 4. Bezeichnen wir diesen Preis mit p. Ein Preis von 4 führt zu einer Menge x von 20-4, also 16. Berechnen wir auch für diesen Fall Konsumentenrente und Gewinn des Monopolisten. Die Konsumentenrente ist nun deutlich größer. Wir berechnen wieder, der Einfachheit halber, nur dieses Dreieck. Wir verwenden nicht das Integral, obwohl es natürlich zum gleichen Ergebnis führt. Die Konsumentenrente ist demnach KR*= (Grundseite=16 × Höhe 20-4=16)÷2, also 128. Der Gewinn des Monopolisten ist Preis × Menge - Kosten × Menge, also 0. Wenn gilt Preis = Grenzkosten, dann macht der Monopolist einen Gewinn von 0 und die Konsumenten haben eine Konsumentenrente von 128 Einheiten. Vergleichen wir nun also diese beiden Fälle. Betrachten wir dafür die Wohlfahrt. In diesem Fall, im Fall des Monopolisten, hatten wir also eine Wohlfahrt von 96, indem wir einfach Produzentenrente, die in diesem Fall dem Gewinn des Monopolisten entspricht, und Konsumentenrente addieren. In diesem Fall hatten wir eine Wohlfahrt von 128, das heißt einen Unterschied in der Wohlfahrt von 32. Außerdem sind natürlich die Renten ganz anders verteilt. Hier die Konsumentenrente im Vergleich zum Gewinn des Monopolisten relativ gering, und wenn gilt Preis = Grenzkosten ist der Gewinn des Monopolisten gerade 0 und die Konsumenten haben eine im Vergleich sehr hohe Konsumentenrente von 128. So, in diesem Video haben wir also noch einmal den Monopolisten und dessen Gewinnmaximierung betrachtet. Das war es dann erst mal für heute. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit.

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1 Kommentar
  1. Foto0014

    Sehr gutes Video! Danke!

    Von Jens B., vor fast 6 Jahren