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Transkript Beispielaufgabe zu Substitutionseffekt, Einkommenseffekt und zur Slutsky-Zerlegung

Herzlich willkommen zum Video Beispielaufgabe zu Substitutions- und Einkommenseffekt und Slutsky. Wir haben ein Beispiel. Das Einkommen betrage 2000 Euro, die Nachfrage nach Gut x sei 40÷p+200÷m. Natürlich gibt es in dieser Welt auch noch andere Güter außer x, uns interessiert aber nur die Nachfrage nach Gut x und wie sie sich verändert. Wir sollen als x für einen Preis von 8 Euro berechnen. x' für einen gestiegenen Preis von 10 Euro und die Veränderung von x. Außerdem sollen wir bestimmen, ob das Gut normal oder inferior beziehungsweise gewöhnlich oder ein Giffen-Gut ist. Wir sollen dann die Slutsky-Kompensation berechnen, das heißt, das veränderte Einkommen, sodass der Konsument sich die alte Menge von x gerade noch leisten kann. Dann sollen wir den Substitutionseffekt und den Einkommenseffekt errechnen. Am Ende sollen wir unsere Ergebnisse mithilfe der Slutsky-Identität überprüfen. Aufgabenteil A: Berechne x für p=8. Wir müssen also einfach in diese Gleichung für p 8 und für m 2000 einsetzen. x in Abhängigkeit von p=8 und m=2000 ist als 40÷8+2000÷2000 also 5+1=6. Unser Konsument fragt also bei einem Einkommen von 2000 und einem Preis von 8 genau 6 Einheiten von Gut x nach. In Aufgabenteil B sollen wir die veränderte Nachfrage nach Gut x nach der Preiserhöhung berechnen, außerdem um wie viel sich die Nachfrage verändert hat, also Δx. x' erhalten wir wieder durch Einsetzen. 40÷10+2000÷2000=4+1=5. Unser Δx ist unser x'-x=5-6=-1. Nach der Preissteigerung fragt unser Konsument also 5 Einheiten nach, die Nachfrage ist also um eine Einheit zurückgegangen. Um zu überprüfen, ob das Gut normal oder inferior ist, brauche ich die Ableitung von x nach m. Dafür schreibe ich zunächst die Nachfragefunktion um. Ich kann auch schreiben 40×p^-1+2000×p^-1. Dadurch kann ich die Ableitung einfacher bilden. Die Ableitung von x nach m ist -1×2000×m^-2 , damit auch <0. Die Ableitung von  x nach m <0 bedeutet, dass es sich um ein inferiores Gut handelt. Inferior heißt, wenn das Einkommen steigt, geht die Nachfrage nach diesem Gut zurück.    In Aufgabenteil D sollen wir jetzt überprüfen, ob es sich um ein gewöhnliches oder ein Giffen-Gut handelt. Dafür brauchen wir die Ableitung von x nach p. Die ist also -1×40×p^-2 und damit <0. Wenn die Ableitung von x nach p <0 ist, handelt es sich um ein gewöhnliches Gut. Wenn der Preis steigt, sinkt die Nachfrage. Das haben wir auch hier in unserem Beispiel gesehen, der Preis steigt von 8 auf 10, die Nachfrage geht von 6 auf 5 zurück. Gut x ist also gewöhnlich.  Im Aufgabenteil E sollen wir jetzt das Slutsky-kompensierte Einkommen m' berechnen. Das Slutsky-kompensierte Einkommen, das heißt, wir möchten dem Konsumenten so viel zusätzliches m, also Δm zahlen, damit er sich sein altes Konsumbündel gerade leisten kann, auch nach der Preissteigerung. Wie viel zusätzliches m müssen wir unserem Konsumenten also geben, sodass er auch bei einem Preis von 10 sich 6 Einheiten von Gut x leisten kann. Eine Formel dafür haben wir im Video Der Substitutions- und Einkommenseffekt hergeleitet. Δm=Δp×x. Δp ist unser neuer Preis minus unser alter Preis, also 10-8=2. x haben wir Aufgabenteil A berechnet. 6 Einheiten. Δm=2×6=12. Wir müssen unserem Konsumenten also 12 Einheiten mehr Einkommen  geben. Das Slutsky-kompensierte Einkommen mStrich beträgt also 2012 Euro. Jetzt lassen sich leicht Substitutions- und Einkommenseffekt berechnen. Die Formel für den Substitutionseffekt haben wir im anderen Video hergeleitet. Δxs=x'', also die Nachfrage bei neuem Preis und kompensiertem Einkommen minus unsere alte Nachfrage. Die betrug gerade 6. Unsere Nachfrage bei neuem Preis und kompensiertem Einkommen können wir wieder durch Einsetzen errechnen. 40÷10+200÷2012. Gerundet ergibt dies 4,994. Unser Substitutionseffekt ist also 4,994-6=-1,006. Unser Substitutionseffekt ist also negativ. Da es sich um ein gewöhnliches Gut handelt, ist das auch vollkommen logisch. Der Preis ist gestiegen, also ging unsere Nachfrage zurück. Für Aufgabenteil G brauchen wir nun die Formel für den Einkommenseffekt. Δxe ist unsere Nachfrage x' bei verändertem Preis und gleichem Einkommen minus unsere Nachfrage bei verändertem Preis und kompensiertem Einkommen. Also, wie in Aufgabenteil B berechnet, 5-4,994=0,006. Unser Einkommenseffekt ist also positiv. Auch das ist logisch, wenn man bedenkt, dass das Gut inferior ist. Wenn das Einkommen steigt, sinkt die Nachfrage. Durch die Preissteigerung kann sich der Konsument insgesamt weniger leisten. Sein Einkommen sinkt also quasi. Wenn es sich um ein inferiores Gut handelt, würde dies zu einer Nachfragesteigerung führen. Das tut es auch, denn unser Einkommenseffekt ist positiv. Insgesamt überwiegt zwar der Substitutionseffekt, aufgespalten ergibt sich aber, dass der Einkommenseffekt positiv ist. Im letzten Aufgabenteil sollen wir unsere Ergebnisse nun mithilfe der Slutsky-Identität überprüfen. Die Slutsky-Identität besagt, dass der Gesamteffekt der Änderung gleich dem Substitutionseffekt plus dem Einkommenseffekt sein muss. Δx=Δxe+Δxs. Δxe war 0,006, Delta xs war -1,006, also -1. Das entspricht genau unserem Δx, dass wir im Aufgabenteil B berechnet haben. Die Slutsky-Identität ist also erfüllt. So, das war's für heute mit der Beispielaufgabe zu Substitutions- und Einkommenseffekt und Slutsky.

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1 Kommentar
  1. Default

    muss delta x nicht x - x´ sein, anstelle von x´- x?

    Von Kanagaratnam, vor etwa 3 Jahren