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Transkript Beispielaufgabe Konsumentscheidung - quasilineare Nutzenfunktion

Herzlich willkommen zu einer weiteren Beispielaufgabe zur Konsumentscheidung. Heute betrachten wir eine quasilineare Nutzenfunktion. U(x1,x2)=/sqrt(x1)+x2. Quasilinear, das bedeutet linear in einem Gut, in diesem Fall also linear in Gut 2. Dazu haben wir unsere allgemeine Budgetbeschränkung: p1x1+p2x2=m. Wir sollen nun das Nutzenmaximierungsproblem mithilfe der Tangenzialbedingung lösen. Wir sollen bestimmen, wann eine innere und wann eine Randlösung vorliegt. In Aufgabenteil B haben wir dann 2 konkrete Zahlenbeispiele. p1=1, p2=2 und m=4 und p1=1, p2=2 und m=1/2. Kommen wir zu Aufgabenteil A. Die Tangenzialbedingung besagt, dass im optimalen Punkt die Steigung der Budgetgeraden der Steigung der Indifferenzkurve entspricht. Das heißt, der Betrag der Grenzrate der Substitution muss dem Betrag des Preisverhältnisses entsprechen. Betrag von MRS = Betrag des Preisverhältnisses. Die Grenzrate der Substitution erhält man, in dem man den Grenznutzen von Gut 1 durch den Grenznutzen von Gut 2 teilt. Grenznutzen bedeutet einfach die Ableitung der Nutzenfunktion. Die Ableitung der Nutzenfunktion nach x1 ist in diesem Fall 1/2x^-1/2. Also 1÷2·/sqrt(x1). Die Ableitung nach x2 ist einfach 1. mo1÷mo2 ist also 1÷2·/sqrtx(x1). Aus unserer Tangenzialbedingung ergibt sich also 1÷2·/sqrt(x1)=p1÷p2. Das kann ich nach x1Stern auflösen. p2÷2p1 ist /sqrt(x1). Damit ist x1Stern p2÷2p12. Also p22÷4p12. x2 Stern errechne ich nun, in dem ich x1 Stern in die Budgetbeschränkung einsetze. p1 mal p22÷4p12+p2x2=m. Hier kann ich p1 kürzen, ich bringe diesen Term auf die andere Seite und teile durch p2. Dann habe ich x2Stern ist gleich m÷p2-p2÷4p1. Hier unser x2Stern. Das optimale Konsumgüterbündel setzt sich also zusammen aus x1Stern, p22÷4p12 und x2Stern, m÷p2-p2÷4p1. Nachdem wir jetzt x1Stern und x2Stern bestimmt haben, müssen wir noch herausfinden, wann eine innere und wann eine Randlösung vorliegt. Die Indifferenzkurven haben in etwa diese Form. Über die Budgetgerade haben wir keine Information. Sie könnte z. B. so verlaufen, dann hätten wir eine innere Lösung mit diesem Konsumgüterbündel. Wenn sie allerdings flacher verläuft, so kommen wir zu einer Randlösung. Das bedeutet, der Konsument kauft gar keine Einheiten von Gut 2, sondern gibt sein ganzes Einkommen für Gut 1 aus. Wie können wir also bestimmen, ob eine innere oder eine Randlösung vorliegt? Wichtig ist nämlich, dass in der Randlösung die Tangenzialbedingungen nicht mehr unbedingt stimmen. Da weichen Steigungen von Indifferenzkurve und Budgetgerade voneinander ab. Die Bedingung kommt daher, dass wir niemals negative Mengen eines Gutes konsumieren können. Wir können nicht minus 3 Einheiten x2 konsumieren, minimal müssen wir 0 Einheiten konsumieren. Wenn wir uns x2Stern näher anschauen, sehen wir aber, dass es Werte geben kann für p1,p2 und m, so dass hier etwas Negatives rauskommt. Das darf aber nicht passieren. Unsere Bedingung ist also: m÷p2-p2÷4p1>0. Dann haben wir eine innere Lösung, andernfalls haben wir eine Randlösung mit x2Stern=0. Rechnen wir diese Bedingung also aus. m÷p2-p2÷4p1 muss > gleich 0 sein. Darüber kommen wir jetzt zu unserem kritischen Einkommen. Ich bringe diesen Term auf die andere Seite und nehme mit p2 mal. Unser Einkommen m muss also >p22÷4p1 sein. Ist diese Bedingung erfüllt, so liegt eine innere Lösung vor. Ist m<p22÷4p1 liegt eine Randlösung mit x2Stern=0 vor. Jetzt können wir x1Stern und x2Stern vollständig aufschreiben. x1Stern ist nämlich p22÷4p12, wenn m größer gleich p22÷4p1. Andernfalls gibt unser Konsument sein ganzes Einkommen für Gut 1 aus, das heißt, die Menge, die er konsumiert, ist m÷p1. Und zwar genau dann, wenn m kleiner ist als p22÷4p1. Entsprechend für x2Stern. x2Stern ist m÷p2-p2÷4p1 wenn m>p22÷4p1 ist und 0, wenn m<p22÷4p1 ist. Jetzt haben wir also vollständig aufgeschrieben, was sich für x1Stern und x2Stern ergibt. Kommen wir nun zu dem Aufgabenteil B und damit zu dem konkreten Zahlenbeispiel. Wir prüfen zunächst, ob eine innere oder eine Randlösung vorliegt. Wir setzen also in die Bedingung ein: m ist 4. Das muss größer gleich sein p22, also 4, durch 4·p1, also 1. 4 muss also größer gleich 1 sein. Diese Bedinung ist erfüllt. Damit liegt eine innere Lösung vor und wir können x1Sern und x2Stern bestimmen.  x1Stern ist dann nämlich p22, also 4, geteilit durch 4·p12, also auch 4, damit 1. x2Stern ist m÷p2, also 4÷2-p2÷4p1. Also 2÷4·1. Also 2-1/2, also 1,5. Kommen wir zum zweiten Beispiel. Jetzt ist m 1/2. 1/2 ist nicht größer als 1, die Bedingung ist also nicht erfüllt und wir haben eine Randlösung. Das heißt, unser x2Stern ist 0 und unser x1Stern ist m÷p1. 1/2÷1 und damit 1. Bei quasilinearen Nutzenfunktionen und bei perfekten Substituten muss man also immer aufpassen, ob eine Randlösung oder ob eine innere Lösung vorliegt. Die Bedingung dafür ist, dass man kein Gut negativ konsumieren kann. Minimal ist 0 möglich. Darüber bekommt man dann ein kritisches Einkommen, so wie in unserem Fall. Das war's für heute. In weiteren Videos sehen wir uns noch andere Beispiele zur Konsumentscheidung an.          

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2 Kommentare
  1. Default

    am ende ist m=1/2 ; p1=1 ---->m/p1= (1/2):1 = 1/2 und nicht 1 oder?

    Von Kanagaratnam, vor etwa 3 Jahren
  2. Default

    Ist am Ende m/p1 nicht 1/2?

    Von Marcel Hochhard, vor mehr als 3 Jahren
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