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Transkript Beispielaufgabe Konsumentscheidung - Cobb Douglas Nutzenfunktion

Herzlich willkommen zum Video "Beispielaufgabe: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion" Ich hatte die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion bereits angesprochen. Heute wollen wir für den allgemeinen Fall das Maximierungsproblem mit Hilfe von  Lagrange lösen und bestimmen, welchen Anteil seines Einkommens der Konsument für x1 bzw. x2 ausgibt. Hier haben wir die Nutzenfunktion: X1(1 tiefgestellt) hoch α x X2 (2 tiefgestellt) hoch 1-α. Ich hatte die Nutzenfunktion vorgestellt mit X2 hoch β, da α und β sich aber zu 1 addieren, kann ich die Nutzenfunktion auch so schreiben. Dazu haben wir unsere allgemeine Budgetrestriktion:  P1X1 + P2X2= m. Zunächst müssen wir als die Lagrange-Funktion aufstellen und die drei Ableitungen bilden. Die Lagrange-Funktion ist: Die Nutzenfunktion, also X1 hoch α X2 hoch 1-α + Lambda ( x P1X1 + P2X2 ). Häufig wird hier auch - Lambda verwendet bei Mikroökonomie. In den Ableitungen, kürzt sich das Lambda am Ende aber sowieso raus, dass heißt, es spielt keine Rolle. Da man in der Mathematik häufig + Lambda verwendet, mache ich das in meinen Videos auch. Zu den Ableitungen: Die Ableitung nach X1 ist also α x X1 hoch α -1 X2 hoch 1-α - P1 x Lambda. Diese Ableitung muss = 0 sein. Die Ableitung nach X2 ist ganz ähnlich: (1-α) X1 hoch α X2 hoch 1-α - 1, also - α - P2 x Lambda sei = 0. Die dritte Ableitung, also die nach Lambda, ergibt gerade wieder unserere Budgetrestriktion m-P1X1-P2X2 = 0. Das sind unserer drei Bedingungen erster Ordnung. Hier noch einmal die Lagrange-Funktion und die drei Ableitungen. Um das Maximierungsproblem jetzt zu lösen, müssen wir aus den ersten beiden Gleichungen ein Verhältnis von X1 zu X2 herleiten. Dafür können wir einen Trick verwenden. Zunächst werde ich den Trick anwenden und danach noch einmal Rechnen, ohne diesen Trick. Der Trick besteht darin, dass man wieder die Nutzenfunktion einsetzt. Die Nutzenfunktion war ja: X1 hoch α X2 hoch 1 - α. In unserer ersten Ableitung steht X1 hoch α - 1 X2 hoch 1 - α, dass hier entspricht also gerade u/X1. Dementsprechend X1 hoch α X2 hoch - α is gerade u/X2. Diese Notartionen werden wir jetzt verwenden. Mit dem eben angesprochenen Trick, lassen sich die ersten beiden Gleichungen also so umschreiben: α x u/X1 - P1 x Lambda = 0 und (1 - α) u/X2 - P2  x Lambda = 0. Diese beiden Gleichungen löse ich jeweils nach Lambda auf und setze gleich. Das heißt: α/P1 x u/X1 = (1 - α)/P2 x u/X2. Wenn ich jetzt, beide Seiten durch u teile, fällt das nämlich weg und ich habe eine sehr viel einfachere Form. Ich löse nach X2 auf. Das ist also: (1-α)/α P1/P2 x X1. Ich habe also ein Verhältnis von X2 und X1 hergeleitet. Das eben hergeleitete Verhältnis setze ich nun in die Budgetrestriktion ein. Ich setze statt X2, diesen Term ein. Es ergibt sich also: P1X1 + P2 x 1-α/α P1/P2 X1 = m. Hier kürze ich P2 mit P2. Ich vereinfache weiter: P1X1 + 1-2/α P1X1 = m, ich klammer also aus, X1 (P1(1+ 1/2 - α/α)) = m. Zunächst klammere ich X1 aus, dann zusätzlich auch noch P1, man sieht schnell, das 1 - α/α sich wegkürzt. Das heißt es bleibt X1 x P1/α = m, das heißt: Unser X1× = m/P1 x α. Das setze ich wiederrum in meine Gleichung für X2 ein. X2 ist 1-α/α x P1/P2 x m/P1 x α. Ich kann kürzen: α und P1. X2× ist also: m/P2 x (1 -  α). Hier unser X1×, hier unser X2×. Wir haben das Maximierungsproblem also mithilfe des Lagrange gelöst. Nun löse ich das Maximierungsproblem erneut, allerdings ohne Anwendung des Tricks. Dazu stelle ich diese beiden Gleichungen wieder nach Lambda um und setze gleich. α x X1 hoch α - 1 x X2 hoch 1 - α/P1 = (1 - α)X1 hoch α X2 hoch - α/P2. Jetzt teile ich durch diesen ganzen Term, damit ich kürzen kann. Auf der rechten Seite steht also =1. Ich habe α/1-α, ich habe P2/P1, X1 hoch α - 1/X1 hoch α ist X1 hoch α - 1 - α, also X1 hoch -1. X2 hoch 1-α/X2 hoch - α = X2 hoch 1 minus α - - α, also X2 hoch 1. Ich schreibe es nochmal auf, es sind einfach Potenzgesetze angewendet: X1 hoch α - 1/X1 hoch α = X1 hoch (α - 1 - α) also = X1 hoch - 1. Diese Regel, habe ich einfach jeweils angewendet. Diese Gleichung kann ich nun wieder nach X2 umstellen. Es ergibt sich: X2 = (1-α)/α x P1/P2 x X1, also genau dasselbe Verhältnis wie in dem Fall, als wir den Trick angewendet haben. Dieses Verhältnis kann ich nun wieder in die Budgetrestriktion einsetzen und komme zu meinen gleichen X1× und X2×. In Aufgabenteil b.) fragen wir uns nun, welchen Teil seines Einkommens unser Konsument für den Konsum von X1 ausgibt. Dazu müssen wir uns fragen, was kostet ihn der Konsum von X1? Es kostet ihn genau den Preis von X1 x der Menge von X1 die er konsumiert. Also: P1 x X1. Der Anteil bedeutet nun einfach, dass ich durch m teilen muss. Dann bekomme ich raus, welchen Anteil seines Einkommens er für Gut 1 ausgibt. Also P1X1/m, hier kann ich jetzt mein X1× einsetzen P1X1/m = P1 x m/P1 x α/m. Für X1 setze ich ein m/P1 x α, das X1×, was ich vorher berechnet habe. Jetzt kann ich kürzen: P1 mit P1, m mit m, übrig bleibt = α. Der Anteil, der unser Konsument mit der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion für Gut 1 ausgibt, hängt also nicht nich von P1 und nicht von P2 ab, sonder lediglich von dem α aus der Nutzenfunktion. Ebenso für Gut 2. Der Anteil, den unser Konsument für Gut 2 ausgibt, ist P2X2/m. Ich setze X2× ein. m/P2 x (1 - α) geteilt durch m. Wie zu erwarten war, kürzen sich P2 und m wieder raus, der Anteil beträgt also gerade (1-α), wie in der Nutzenfunktion. So, das wars für heute und der Cobb-Douglas-Nutzenfunktion. In weiteren Videos, gucken wir uns noch weitere Beispiele für Konsumentscheidungen an.  

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1 Kommentar
  1. Default

    Mir ist nicht wirklich klar geworden, wie man darauf kommt, bei dem "Trick" z.B.x1^a + x2^a-1 durch U/x1 zu ersetzten und vorne a bzw 1-a stehen lässt. Also wie komme ich drauf, dass z.B. ausgerechnet x1^a-1 + x2^a das Verhältnis U/x1 darstellt?

    Von Solnuschko, vor mehr als 4 Jahren
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