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Transkript Beispielaufgabe äquivalente und kompensatorische Variation

Herzlich willkommen zum Video: Beispielaufgabe kompensatorische und äquivalente Variation. Im Video "Beispielaufgabe Konsumentscheidung" bei einer quasi linearen Nutzenfunktion, haben wir schon x1 und x2 berechnet. Die Nutzenfunktion war \sqrt(x1)+x2. Dann haben wir, unter der Berücksichtigung von Rand- und Inneren Lösungen, für x1 dies ausgerechnet, und für x2 diese Funktion. Heute gehen wir nun davon aus, dass p1=1 ist und dann auf 2 Euro steigt, dass p2=1 ist, und dass wir ein m Einkommen von 10 Euro haben. Wir sollen also die Veränderung der Konsumentenrente bestimmen, die dadurch entsteht, dass der Preis für Gut 1 von 1 auf 2 steigt. Außerdem sollen wir die äquivalente Variation des Einkommens bestimmen, und die kompensatorische Variation des Einkommens. Bei der Berechnung von x1 und x2 haben wir eine Bedingung aufgestellt, um zu erkennen, ob wir eine Randlösung, oder eine Innere Lösung betrachten müssen. Das kam daher, dass man keine negative Menge eines Gutes konsumieren kann. Man kann also ein kritisches Einkommen berechnen. Wir haben hier x1=(p2)2/(4p1)2, aber nur dann, wenn unser Einkommen m>(p2)2/4p1 ist. Sollte dies nicht der Fall sein, ist unser Einkommen geringer, dann gibt der Konsument sein ganzes Einkommen für Gut 1 aus. D.h., von x2 konsumiert er 0 und von x1 konsumiert er m/P1 Einheiten. In dieser Aufgabe wollen wir also zunächst feststellen, welcher Fall vorliegt. Die Bedingung m≥(p2)2/4p1, dort kann ich jetzt meine Zahlen einsetzen. 10≥(p2)2 - also 12/4p1 ist 1/4, 10 ist größer als 1/4. D.h., für den Fall von p1=1 ist diese Bedingung erfüllt. Schauen wir uns noch an, wie es nach der Preissteigerung aussieht. 10 muss dann ≥12/(4×2) sein, also 1/8. Auch diese Bedingung ist erfüllt. Im weiteren Verlauf dieser Aufgabe können wir uns also auf die Innere Lösung beschränken. Im Aufgabenteil a) sollen wir nun die Veränderung der Konsumentenrente bestimmen. Zur Erinnerung: Wir haben hier ein Diagramm, auf der y-Achse tragen wir p auf, auf der x-Achse x, also die Menge unseres Gutes. In anderen Grafiken nennen wir das auch teilweise q. Wir haben jetzt einen Gleichgewichtspreis p und eine Gleichgewichtsmenge x. Hier haben wir ja die Zahlungsbereitschaft der Konsumenten. Die Konsumentenrente ergibt sich dann aus der Zahlungsbereitschaft minus dem Wert, den sie tatsächlich zahlen müssen. Mit anderen Worten, die Konsumentenrente ist das ∫ von 0 bis x, von p(x)dx, also genau diese Fläche, -p(x)×x. Also dieses Rechteck und damit den Wert, den die Konsumenten tatsächlich bezahlen müssen. Wir brauchen also p(x), das berechnen wir im nächsten Schritt. Zunächst können wir P2=1 einsetzen, denn dieser Preis für Gut 2 verändert sich nicht. Die Nachfrage nach Gut 1 bei p2=1, ist also x1=(12)/(4p1)2. Um die Konsumentenrente zu berechnen, brauchen wir allerdings die inverse Nachfragefunktion. Also nicht x in Abhängigkeit von p, sondern p in Abhängigkeit von x. Dafür löse ich diese Gleichung nach p1 auf. Ich multipliziere zunächst mit (4p1)2, also haben wir x1×(4p1)2=1, damit ist p12=1/4x1, und damit ist p1(x1)=1/(2×\sqrt(x1)). Das ist also unsere inverse Nachfragefunktion. Betrachten wir nun zwei Fälle. Einmal die Nachfrage vor der Preiserhöhung und dann die Nachfrage nach x1 und x2 nach der Preiserhöhung. Vor der Preiserhöhung ist x1=(p2)2 also 1/4×(p1)2 also 4×1 und damit 1/4. x2=n/p2, also 10-(p2/4p1), also 1/4. Also 39/4. Außerdem gilt, der Vollständigkeit halber, p1=1 und p2=1. Nach der Preiserhöhung: x1'=1/(4×22)=1/16. x2' ist dementsprechend 10÷1, also immer noch 10, -p2 ist 1, durch 4×p1, also 8, also 79/8. Außerdem gilt p1=2 und p2=1. Diese beiden Fälle wollen wir jetzt vergleichen. Genauer, wir wollen die Änderung der Konsumentenrente berechnen. Wir setzen also die gerade ausgerechneten Werte in unsere Formel für die Konsumentenrente ein. Die Konsumentenrente ist also das ∫ von 0 bis x, uns interessiert ja der Effekt, der Erhöhung des Preises von Gut 1. D.h., hier ist nach x1 jeweils gefragt. x1 war 1/4. Also das ∫ von 0 bis 1/4. p(x), also p1(x1) haben wir hier berechnet, die inverse Nachfragefunktion. Also 1/(2×\sqrt(x1)) minus das, was die Konsumenten tatsächlich bezahlen. Also der Gleichgewichtspreis mal der Menge. p1=1 und x war 1/4, also -1/4. Jetzt setzen wir die Grenzen ein und bilden die Stammfunktion. Die Stammfuntion von 1/(2×\sqrt(x1)) ist gerade \sqrt(x1), damit haben wir \sqrt(1/4) minus die Wurzel aus 0, also 0. das ist unser Integral, -1/4. Also 1/2-1/4 und damit 1/4. Zur Integralrechnung und Bildung von Stammfunktionen könnt ihr euch auch Videos zu Mathe angucken. Das will ich hier nicht weiter erklären. Berechnen wir nun die Konsumentenrente nach der Preiserhöhung. KR' ist also das ∫ von 0 bis unser neues x, also x1' und damit 1/16, wieder unsere inverse Nachfragefunktion 1/(2×\sqrt(x1)) minus unser Gleichgewichtspreis p1 von 2, mal x1', 2/16, also 1/8. Noch mal, um das Integral zu berechnen, müssen wir zunächst die Stammfunktion bilden, die Stammfunktion von 1/(2×\sqrt(x1)) ist gerade \sqrt(x1). Jetzt setze ich die obere Grenze ein, minus die untere Grenze. 1/16 eingesetzt ergibt also gerade \sqrt(1/16). Die \sqrt0 ist 0, das kann ich weglassen. Aber noch -1/8. Die \sqrt(1/16) ist 1/4. 1/4-1/8=1/8. Die Veränderung der Konsumentenrente, also ΔKR, ist nun unsere neue Konsumentenrente KR' minus die alte Konsumentenrente KR. ΔKR= KR'-KR, also 1/8-1/4=-1/8. Die Konsumentenrente ist also um 1/8 zurückgegangen. Das ist logisch, denn wenn der Preis sich erhöht, wird die Rente der Konsumenten zurückgehen. In Aufgabenteil b), sollen wir nun die äquivalente Variation des Einkommens berechnen. Die äquivalente Variation des Einkommens ist eine Veränderung des Einkommens, die das gleiche Nutzenniveau hervor bringt wie die Erhöhung des Preises von 1 auf 2. Mit anderen Worten: Wie viel Einkommen müssen wir unserem Konsumenten wegnehmen, damit er den gleichen Nutzen hat wie bei der Preiserhöhung? Dafür müssen wir zunächst die Nutzenfunktion aufstellen, mit x1 und x2 eingesetzt. Wir haben ja schon in Aufgabenteil a) überprüft, dass nur die Innere Lösung betrachtet werden muss. Unsere Nutzenfunktion in Abhängigkeit von p1, p2 und m ist also (\sqrt(p2)2)/(4(p1)²)+(m/p2)-(p2/4p1), einfach x1 und x2 aus der Inneren Lösung eingesetzt. Das können wir noch etwas vereinfachen: (p2/2p1)+(m/p2)-(p2/4p1). Wenn ich diesen Term mit 2 erweitere, so habe ich (2p2/4p1)-(p2/4p1), also nur noch (p2/4p1)+(m/p2). Hier haben wir also die Nutzenfunktion aufgestellt, in Abhängigkeit von p1, p2 und m, indem wir x1 und x2* in die ursprüngliche Nutzenfunktion eingesetzt haben. Berechnen wir nun den Wert der äquivalenten Variation. Wie ich eben erklärt habe, muss der Nutzen von unserem alten Preis p1, unserem alten Preis p2 und unserem Einkommen m minus der äquivalenten Variation ÄV gerade gleich dem Nutzen von unserem neuen p1', dem alten p2 und m sein. Jetzt setzen wir einfach Zahlen ein. Zunächst auf der rechten Seite. Der Nutzen, hier haben wir die Formel, von p1', p2 und m. Dafür ergibt sich also: p2 ist 1, durch 4× jetzt p1', war ja 2, plus unser Einkommen m, also 10, durch p2, also 1. Jetzt auf der linken Seite: p2 ist 1, durch 4 und hier ist p1 = 1, plus unser m, also 10, minus die äquivalente Variation, durch p2, also 1. Einfach Zahlen und äquivalente Variation eingesetzt. Das löse ich nun weiter auf. 1/4+10-ÄV=1/8+10. Ich rechne also -10, damit fällt das weg, +ÄV und -1/8. Damit ergibt sich für die äquivalente Variation ein Wert von 1/8. Was bedeutet das jetzt? Wenn wir unserem Konsumenten also 1/8 von seinem Einkommen  wegnehmen, so hat dies den gleichen Effekt auf seinen Nutzen, als wenn der Preis von Gut 1 von 1 auf 2 Euro steigt. In Aufgabenteil c) sollen wir die kompensatorische Variation des Einkommens betrachten. Die kompensatorische Variation des Einkommens, das bedeutet, wie viel zusätzliches Einkommen muss ich meinem Konsumenten nach der Preiserhöhung geben, damit er sein Nutzenniveau vor der Preiserhöhung wieder erreicht? Also als Formel: Der Nutzen von altem Preis p1, altem Preis p2 und altem Einkommen m, soll gleich sein, wie der Nutzen von neuem Preis p1', unverändertem p2 und einem Einkommen m plus der kompensatorischen Variation KV. Wie in Aufgabenteil b), setze ich auch hier jetzt einfach Zahlen ein. p2=1, durch 4×1, +10/1= 1/(4×2)+(10+KV)/1. Ich habe wieder p1, p1', p2 und m einfach eingesetzt. Das kann ich weiter vereinfachen. 1/4+10=1/8+10+KV. -10-(1/8), ergibt eine kompensatorische Variation von 1/8.
Nach der Preiserhöhung müssten wir dem Konsumenten also 1/8 Einheiten mehr Einkommen geben, damit er sein altes Nutzenniveau trotz Preissteigerung wieder erreichen kann. So, das war es für heute und mit der Beispielaufgabe zur kompensatorischen und äquivalenten Variation.

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