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Transkript Beispielaufgabe 3 zur Gewinnmaximierung - konkretes Zahlenbeispiel

Herzlich willkommen zur dritten Beispielaufgabe zur Gewinnmaximierung. Heute haben wir wieder eine andere Produktionsfunktion, sie lautet: 4x1+3x2-x12-x22. Wir haben vorher festgelegte Inputpreise w1=1, w2=2 und einen Preis für unseren Output von 2. Wir sollen die Grenzprodukte von Inputfaktor 1 und 2 bestimmen, die technische Rate der Substitution aufschreiben und die langfristig gewinnmaximierende Inputfaktor-Kombination berechnen. Dann sollen wir noch annehmen, dass kurzfristig x1 fix bei 2 sei. Wir berechnen für diesen Fall x2. Außerdem für jeden Fall jeweils Output, Kosten und Gewinn. Aufgabenteil A - Berechne die Grenzprodukte von den Faktoren 1 und 2. Das machen wir, indem wir die Produktionsfunktion ableiten. Einmal nach x1 und einmal nach x2. Nach x1 abgeleitet ergibt sich also: 4-2x1. Die Ableitung nach x2 ist 3-2x2. Das sind also die Grenzprodukte unserer Inputfaktoren. In Aufgabenteil B sollen wir nun die technische Rate der Substitution berechnen. Die ergibt sich einfach daraus, dass man die Grenzprodukte durcheinander teilt. Die technische Rate der Substitution ist also (-4-2x1)/(3-2x2). Wenn man die Grenzprodukte der beiden Inputfaktoren schon hat, ist die technische Rate der Substitution sehr leicht zu bestimmen. In Aufgabenteil C sollen wir jetzt das Gewinnmaximierungsproblem lösen. Dafür stelle ich zunächst die Gewinnfunktion auf. Die Gewinnfunktion ist also: p × unsere Produktionsfunktion, also 4x1+3x2-x12-x22. Preis × Output - unsere Kosten. w1x1-w2x2. Das ist unsere allgemeine Gewinnfunktion für diese Produktionsfunktion. In der Aufgabenstellung waren w1, w2 und p gegeben. Dafür kann ich nun Zahlen einsetzen. Die Gewinnfunktion reduziert sich also zu: 8x1+6x2-2x12-2x22-x1-2x2. Das kann ich weiter vereinfachen: 8x1-x1 sind 7x1, 6x2-2x2 sind 4x2 -2x12-2x22. Jetzt bilde ich die Ableitungen nach x1 und x2. 7-4x1=0 und 4-4x2=0. Daraus ergibt sich also ein x1 von 7/4 und ein x2 von 1. x1 und x2 ist unsere langfristig gewinnmaximierende Inputfaktor-Kombination. In Aufgabeteil D ist nun ein Inputfaktor, nämlich x1, kurzfristig fix. Wir können also in unsere Gewinnfunktion 2 für x1 einsetzen. Natürlich benutzen wir auch weiterhin w1=1, w2=2 und p=2. Unsere Gewinnfunktion reduziert sich also zu: 2×4×2+3x2-22-x22-1×2-2x2. Das vereinfachen wir, 4×2=8×2=16+6x2 22 ist 4×2=-8-2x22-2-2x2. Weiter vereinfacht haben wir also: 16-8=8-2=6 + 6x2-2x2 sind 4x2-2x22. Die Ableitung nach x2 ist nun also: 4-4x2=0 und daraus ergibt sich dann ein x2 von 1. In Aufgabenteil E sollen wir nun für jeweils die beiden Fälle Output, Kosten und Gewinn berechnen. Beginnen wir zunächst mit x1=7/4 und x2=1. Den Output bekommen wir, indem wir x1 und x2 in unsere Produktionsfunktion einsetzen. y als Funktion von 7/4 und 1 = 4×7/4+3×1-7/42-12. 4×7/4 ist 7+3-49/16-1 sind also 9-49/16 und damit 95/16. Unsere Kosten bekommen wir jetzt, indem wir w1, x1, w2 und x2 in die Kostenfunktion einsetzen. Die Kosten von Inputpreisen 1 und 2 und Inputmengen 7/4 und 1 sind also: 1×7/4+2×1 also 7/(4+2) also 15/4. Den Gewinn berechnen wir aus p×y- die Kosten. Der Gewinn ist also: 2×95/16-15/4, also 95/8-30/8, also 65/8, also 64/8 + 1/8, also 8,125. Das sind unsere Werte für Output, Kosten und Gewinn bei x1 und x2 von 7/4 und 1. Jetzt das Gleiche noch einmal für x1=2 und x2=1. Zunächst der Output. y als Funktion von 2 und 1 ist 4×2+3×1-22-12. Also 8+3-4-1, also 6. Die Kosten sind w1 x1, also 1×2+w2x2 also 2×1 sind 4. Der Gewinn ist also p2×y, also 6 -4=8. Man sieht also, dass bei unseren langfristigen Mengen x1 und x2 der Gewinn insgesamt ein wenig höher ist. So, das war´s für heute und mit der dritten Beispielaufgabe zur Gewinnmaximierung. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit.

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