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Transkript Beispielaufgabe 2 zur äquivalenten und kompensatorischen Variation

Herzlich willkommen zum heutigen Video und damit zur Beispielaufgabe zur kompensatorischer und äquivalenter Variation. Wir haben eine Nutzenfunktion u von x1,x2 ist \sqrt(x1x2). Über die Nutzenmaximierung bekommt man dann optimale Nachfragen, x1 und x2, in Abhängigkeit von Preisen und Einkommen. Für diese Nutzenfunktion ergibt sich x1=m÷2p1 und x2=m÷2p2. Wir sollen jetzt die indirekte Nutzenfunktion bestimmen, also die Nutzenfunktion in Abhängigkeit von p1, p2 und m. Für ein konkretes Zahlenbeispiel p1=1, p2=1 und m=8 sollen wir x1, x2 und u herausfinden. Dann sollen wir uns eine Preiserhöhung von p1 von 1 auf 4 anschauen. Wir bestimmen dann die kompensatorische Variation und die äquivalente Variation. In Aufgabenteil A sollen wir die indirekte Nutzenfunktion aufstellen. Wir setzen also x1 und x2 in unsere Nutzenfunktion ein. Die indirekte Nutzenfunktion, also u in Abhängigkeit von p1, p2 und m, ist damit die Wurzel aus m÷2p1×m÷2p2. m2 ¼, daraus ziehe ich die Wurzel und dann bleibt die Wurzel aus 1÷p1×p2. Das ist unsere indirekte Nutzenfunktion. In Aufgabenteil B sollen wir nun konkrete Zahlen einsetzen. p1=1, p2=1 und m=8. Daraus folgt dann ein x1 von 8÷2×1, also 4. x2, 8÷2×1, ebenfalls 4 und ein Nutzen von 8÷2, 1÷1×1, also 4. Das können wir noch mal überprüfen, indem wir x1 und x2 in unsere ursprüngliche Nutzenfunktion einsetzen. Dann bekommen wir nämlich die Wurzel aus 4×4 und das ist auch 4.  Wir kommen in beiden Fällen, bei dieser Nutzenfunktion und bei der indirekten Nutzenfunktion, aufs gleiche Ergebnis. Wir haben also ein optimales Konsumgüterbündel mit x1=4, x2=4 und einem Nutzen von 4. Schauen wir uns das Ganze auch noch nach der Preiserhöhung an. Nach der Preiserhöhung haben wir ein p1 von 4. x1 ist also 8÷2×4 und damit 1. x2 ist 8÷2×1, also 4. Es ergibt sich ein Nutzen von m÷2, also 4, mal die Wurzel aus ¼, also mal ½. Das heißt, wir haben einen Nutzen von 2. Damit ich diese beiden Fälle unterscheiden kann, mache ich hier jeweils noch einen Strich dran, weil wir auch p1 so bezeichnet haben. In diesem Aufgabenteil soll nun die kompensatorische Variation bestimmt werden. Da die kompensatorische Variation bedeutet: Wie viel zusätzliches Einkommen benötigt mein Konsument, damit er nach der Preiserhöhung das gleiche Nutzenniveau wie vor der Preiserhöhung erreichen kann? Der Nutzen von p1, p2 und m soll genauso hoch sein wie der Nutzen von unserem neuen Preis p1, p2 und einem Einkommen plus dieser kompensatorischen Variation. Zunächst der allgemeine Fall. Der Nutzen von p1, p2 und m war m½×1÷\sqrt(p1,p2). Dieser Nutzen ist m½, allerdings das m plus unsere kompensatorische Variation mal 1÷\sqrt(p1',p2). Jetzt kann ich die Zahlen einsetzen. m½ war 4, und \sqrt(p1×p2) war 1, also 4. Wir haben ja auch das Nutzenniveau schon ausgerechnet, muss gleich sein unserem Einkommen 8, plus die kompensatorische Variation durch 2×1÷\sqrt(4). 2×\sqrt(4) ist 4, das heißt, ich rechne mal 4, um die Brüche zu beseitigen. Ich habe also: 16=8+KV. Damit haben wir eine kompensatorische Variation von 8. Wir müssten unserem Konsumenten also 8 zusätzliche Einheiten Einkommen geben, damit er das gleiche Nutzenniveau erreicht. Das können wir ja noch einmal überprüfen. Wir setzen ein: Unser altes Einkommen plus die kompensatorische Variation von 8 ergibt also gerade 16. 16½×\sqrt(1÷4) ist also 16½ ist 8, mal ½ ist 4. Mit diesem kompensierten Einkommen erreichen wir also wieder einen Nutzen von 4 und damit das gleiche Nutzenniveau wie vor der Preiserhöhung. Wir haben also richtig gerechnet. Kommen wir nun zur äquivalenten Variation. Auch die äquivalente Variation des Einkommens betrachtet das Nutzenniveau. Es wird nämlich untersucht, wie viel Einkommen wir unserem Konsumenten wegnehmen müssen, damit das gleiche Nutzenniveau wie nach der Preiserhöhung erreicht wird.  Der Nutzen von unserem neuen Preis p1', p2 und m soll also der gleiche sein wie der Nutzen bei alten Preisen, aber einem Einkommen minus unserer äquivalenten Variation. Wir setzen ein. m½×1÷\sqrt(p1',p2), soll also gleich sein m-ÄV½×1÷\sqrt(p1,p2). Setzen wir nun konkrete Zahlen ein. m½ war 4, mal ¼ war 2. Unser Nutzenniveau nach der Preiserhöhung war ja gerade 2. Das soll nun genauso groß sein wie 8 minus unsere äquivalente Variation durch 2×1. Ich rechne also mal 2, um den Bruchstrich zu beseitigen. 4 ist also 8 minus unsere äquivalente Variation. Und damit beträgt unsere äquivalente Variation -4. Hier kommt jetzt 4 heraus, aber die äquivalente Variation nehme ich meinem Konsumenten ja weg. Deswegen hier das Minuszeichen. Wenn wir unserem Konsumenten also 4 Einheiten seines Einkommens wegnehmen, so hat dies den gleichen Effekt auf seinen Nutzen wie eine Preiserhöhung von p1 von 1 auf 4. So, das war es für heute und mit einer weiteren Beispielaufgabe zur kompensatorischen und äquivalenten Variation. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit.

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