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Transkript Beispielaufgabe 2 - Gewinnmaximierung mit CD Produktionsfunktion

Herzlich willkommen zu einer weiteren Beispielaufgabe zur Gewinnmaximierung! Heute haben wir eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion. Y als Funktion von den Inputfaktoren x1 und x2 bis x1^¼×x2^¼. Wir haben einen Preis p, zu dem unser Output verkauft werden kann, und Inputfaktorpreise w1 und w2. Wir sollen nun die Faktornachfrage x1 und x2 in Abhängigkeit der Inputfaktorpreise und des Outputpreises sowie den Output y in Abhängigkeit wieder von p, w1, w2 und die indirekte Gewinnfunktion ? in Abhängigkeit von p, w1 und w2 berechnen. Wir wiederholen diese Schritte dann mit einem konkreten Zahlenbeispiel: w1=2, w2=1 und p=2. Die Faktornachfrage bekommen wir über die Maximierung der Gewinnfunktion. Den Gewinn der Firma berechnen wir als Preis×Output, also dem Erlös minus den Kosten. Die Kosten sind die Inputfaktorpreise×der jeweils eingesetzte Menge. Die Gewinnfunktion unserer Firma ergibt sich also als Erlös p×unseren Output-unseren Kosten. In diesem Fall also können wir für y die Produktionsfunktion einsetzen, x1^¼ x2^¼, und für die Kosten w1x1 und w2x2. Diese Gewinnfunktion müssen wir nun also maximieren. Dafür bilden wir die Ableitung nach x1 und x2 und setzen =0. Die Ableitung nach x1 lautet also: ¼px1-¾x2¼-w1 sei gleich 0. Die Ableitung nach x2 lautet: Ebenfalls ¼p, aber x1¼ und x2-¾-w2 sei gleich 0. Man kann nun wieder den Trick anwenden, dass man die Produktionsfunktion zurück einsetzt. Dieser Ausdruck ist nämlich gerade das Gleiche wie f(x1,x2)/x1. Wenn man die beiden Gleichungen dann durcheinander teilt, fällt die Produktionsfunktion weg. Wir teilen die Gleichungen direkt durcheinander. Vorher bringen wir die 1 und die 2 jeweils auf die andere Seite. ¼ p/¼ p fällt weg. X1-¾/x1¼ ist also x1 -4/4, also x1^-1, also 1/x1. X2/(¼)/x2-¾ ist x24/4, also x21. Für die linke Seite ergibt sich also x2/x1, und das ist gleich w1/w2. Das können wir jetzt nach x2 oder x1 auflösen. x2=w1/w2x1. Wir haben also aus den Ableitungen ein Verhältnis von x1 und x2 hergeleitet. Das können wir nun wieder hier einsetzen, um x1 und x2 zu berechnen. Ich setze nun also das Verhältnis von x2 und x1 in die erste Gleichung ein. Es ergibt sich also ¼p×x1-¾, und jetzt setze ich statt x2 w1/w2×x1, und jetzt ^¼. Das ist =w1. So, x1-¾×x1^¼ ist x1-½, also 1/\sqrt(x1). Dann haben wir noch ¼p und (w1/w2)^¼ =w1. Jetzt bringe ich \sqrt(x1) auf die andere Seite und teile durch w1. Das heißt, wir haben ¼p, jetzt haben wir w1¼/w1 ist w1 -¾, und (w1/w2)^¼ ist w2(-¼). Und das Ganze ist =\sqrt(x1). Diese Gleichung habe ich mit \sqrt(x1) mal genommen und durch w1 geteilt. Jetzt quadriere ich noch, dann haben wir p2/16, w1-¾ quadriert ist w1-3/2, und w2-¼ quadriert ist w2-½. Quadrieren bedeutet ja ^2, und wenn ich ^(-¼)² habe, ist das -¼×2, also -½ . Und das ist unser x1. Hier also nochmal der Ausdruck für x1, und hier unser Verhältnis von x2 und x1, was wir gerade eben hergeleitet haben. X1 setze ich nun hier ein, um x2 zu erhalten. X2 ist also w1/w2×(p2/16)×w1-3/2w2-½. W11×w1-3/2=w1-½. (p2/16) bleibt bestehen. w2^-1×w2-½=w2-3/2. Wir haben hier also unseren Ausdruck für x2. Wir haben also über die Gewinnmaximierung die Faktornachfrage x1 und x2 in Abhängigkeit der Faktorpreise und des Outputpreises bestimmt. Kommen wir nun zum Output. Für den Output in Abhängigkeit vom Preis und den Faktorpreisen müssen wir x1 und x2 in unsere Produktionsfunktion einsetzen. Y ist also x1, (p²/16)w1-3/2w2-½, das Ganze ^¼, ×, und jetzt x2, (p2/16)w1-½w2-3/2 auch ^¼. (p2/16)^¼×(p2/16)^¼=(p2/16)^½, also die Wurzel daraus. Die Wurzel aus (p2/16) ist p/4. (w1-3/2)^¼×(w1-½)^¼=w1-3/8×w1-1/8. Also w1-4/8, also 1/\sqrt(w1). Dasselbe für w2. w2-1/8×w2-3/8=w2-4/8 und damit 1/\sqrt(w2). Wir haben hier also unseren Ausdruck für y. Unser Output in Abhängigkeit von Preis und Faktorpreisen ist p/(4×\sqrt(w1w2)). Jetzt brauchen wir noch unsere indirekte Gewinnfunktion. Dafür setzen wir y, x1 und x2 in unsere ursprüngliche Gewinnfunktion ein. P ist also =p× unser y, p/(4×\sqrt(w1w2))-w1×x1, also (p2/16)w1-3/2w2-½-w2×x2, also (p2/16)w1-½w2-3/2. Diesen Term kann ich natürlich noch deutlich vereinfachen. P2/4\sqrt(w1w2). w1×w1-3/2=w1-½, das kann ich aufschreiben als 1/\sqrt(w1). Wir haben also p2 auf dem Bruchstrich und darunter 16\sqrt(w1), und w2-½ ist auch 1/\sqrt(w2), also ergibt sich dieser Ausdruck, dazwischen ein Minuszeichen von hier oben. Hier das gleiche: w2×w2-3/2=w2-½. Es ergibt sich also p2/(16\sqrt(w1w2)). Diesen ersten Term kann ich mit 4 erweitern. Dann habe ich 4p2-p2-p2=2p2/(16\sqrt(w1w2)), und damit p2/(8\sqrt(w1w2)). Hier also unsere indirekte Gewinnfunktion, die indirekte Gewinnfunktion in Abhängigkeit vom Preis und von den Inputfaktorpreisen. P2/(8×\sqrt(w1w2)). Im letzten Aufgabenteil sollen wir nun konkrete Zahlen einsetzen: w1=2, w2=1 und p=2. X1 ist also p2, und damit 4/16,×w1 ist 2-3/2. ^(-3/2) ist das Gleiche wie 1/\sqrt(23). Und w2-½ ist 1/\sqrt(w2), und damit 1/\sqrt(1). 4/16 ist ¼, und \sqrt(23) ist dasselbe wie 2×\sqrt(2). Also haben wir 1/(8×\sqrt(2)). Für x2 ergibt sich ebenfalls 4/16, jetzt w1-½, also 1/\sqrt(w1), also 1/\sqrt(2)×1/\sqrt(13). Das heißt, 4/16 kann gekürzt werden zu ¼, 13=1, die Wurzel daraus ist immer noch 1, es bleibt also \sqrt(2). 1/4×\sqrt(2). Hier also unsere Faktornachfrage. Y=p/(4×\sqrt(w1w2). P=2, 4×\sqrt(2×1). Das lässt sich kürzen zu ½ und \sqrt(2) noch unterm Bruchstrich, also 1/(2×\sqrt(2)) für unser y. Unser ? ist p2, also 4/8×\sqrt(2), also auch 1/(2×\sqrt(2)). Jetzt also noch einmal mit einem konkreten Zahlenbeispiel: Faktornachfragen, Output und indirekte Gewinnfunktion bzw. der Gewinn. Dadurch, dass ich konkrete Zahlen habe, unterscheidet sich der berechnete Gewinn natürlich nicht, ob ich nun die indirekte Gewinnfunktion oder die ursprüngliche Gewinnfunktion verwende. So, das war's für heute und mit der Beispielaufgabe zur Gewinnmaximierung. Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit!

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