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Transkript Zyklotron (Übungsvideo)

Hallo und herzlich willkommen zu Physik mit Kalle. In diesem Video, das zum Gebiet Elektrizität und Magnetismus gehört, wollen wir einmal eine Beispielaufgabe zum Zyklotron rechnen. Wir betrachten einen Zyklotron, dessen Duanten einen maximalen Bahnradius r=0,5m zulassen. Zur Ablenkung geladener Teilchen wird ein Magnetfeld der Flussdichte B=0,5T verwendet. Aufgabe a: Leiten Sie eine Formel für die Winkelgeschwindigkeit ? her und erläutern Sie, unter welchen Umständen sie konstant ist. Welche Geschwindigkeit hat ein Proton, Masse m=1,67×10^-27 kg, Ladung Q=1,6×10^-19 C) nach der Beschleunigung durch das Zyklotron, und welche Beschleunigung muss ein Linearbeschleuniger haben, um die gleiche Endgeschwindigkeit zu erreichen? Aufgabe c: Berechnen Sie, auf welchen Wert die magnetische Flussdichte eingestellt werden müsste, damit die Endgeschwindigkeit genau 1/10 der Lichtgeschwindigkeit beträgt. Wenn ihr die Aufgabe selbst berechnen wollt, drückt bitte jetzt die Pausetaste. Dann könnt ihr gleich euren Rechenweg überprüfen. Die Protonen werden durch die Lorentzkraft auf der Kreisbahn gehalten. Das heißt, wir können den Ansatz Zentripetalkraft = Lorentzkraft wählen. Wir schreiben als (mv²)/r=Q×v×B. Ein Proton, das sich mit der Geschwindigkeit v auf der Kreisbahn r bewegt, hat die Winkelgeschwindigkeit ?. Wir wissen: v=?×r oder, umgestellt: die Winkelgeschwindigkeit ?=v/r. Aus meinem Ansatz kann ich gleich ein v wegkürzen und damit schreiben Q×B=m×(v/r) oder, wenn ich für v/r gleich ? einsetze =m×?. Und daraus folgt ?=(Q×B)/m. Jetzt haben wir unsere Formel für die Winkelgeschwindigkeit hergeleitet. Als nächstes sollen wir erläutern, unter welchen Umständen sie konstant ist. Dazu müssen wir uns nur ihre Bestandteile ansehen. Die Ladung Q unseres Protons ändert sich nicht, und wenn die Flussdichte B des Feldes konstant bleibt, kommt es also nur noch auf die Masse m an. Die Masse eines Teilchens ändert sich nur, wenn man in relativistische Bereiche vordringt, also wenn die Geschwindigkeit ? 1/10 der Lichtgeschwindigkeit ist. Unser Antwortsatz lautet also: Die Winkelgeschwindigkeit ? ist konstant, wenn sich die magnetische Flussdichte nicht ändert und die Geschwindigkeit v<0,1c ist. Denn dann darf ich sagen, die Masse m, die genau genommen ja die Ruhemasse m0/ (\sqrt(1-v²/c²)) ist, ist in diesem Fall immer ungefähr =m0. In Aufgabe b haben wir gegeben die Masse des Protons ist 1,67×10^-27 kg, die Ladung des Protons ist 1,6×10^-19 C, der Radius beträgt 0,5m und die magnetische Felddichte B=0,5T. Wir wählen wieder den gleichen Ansatz wie gerade eben, Zentripetalkraft = Lorentzkraft, aber lösen diesmal nach der Geschwindigkeit auf. Es ergibt sich: Die Geschwindigkeit ist (r×Qp×B)/mp. Da ich das alles habe, setz ich es alles ein und schaue mir erst mal die Einheiten an. Wenn ich für T die Definition kg/(As²) einsetze, kürzt sich alles heraus bis auf m/s. Die Einheiten scheinen also zu stimmen. Das Ergebnis für die Geschwindigkeit ist 2,4×107 m/s. Ihr merkt, wir haben gerade noch Glück gehabt. Das ist knapp unter 1/10 der Lichtgeschwindigkeit, wir müssen also nicht relativistisch rechnen. Für den 2. Teil der Aufgabe benutzen wir nun den Ansatz elektrische Energie = kinetische Energie, denn wir haben ja nun die Geschwindigkeit. Wir schreiben die Beschleunigungsspannung U×Q=1/2 mv². Umstellen nach der Spannung ergibt U= Masse des Protons × Geschwindigkeit² durch 2× die Ladung. Ich setze alles ein und schaue mir wieder erst mal die Einheiten an. Diesmal kürzt sich nichts raus und ich erhalte (kg×m²)/(A×s³). (kg×m²)/s²= Joule, und dann bleibt unter dem Bruchstrich noch A×s, also C übrig. Trifft sich gut, den J/C=Volt. Mein Ergebnis lautet also 3×106 J/C oder anders geschrieben 3 Millionen Volt oder 3 Megavolt. Unsere Antwort lautet also: Ein Proton hat nach dem Durchlaufen des Zyklotrons die Geschwindigkeit v=2,4×107m/s. Ein Linearbeschleuniger mit U=3MV würde dieselbe Geschwindigkeit erreichen. In Aufgabe c haben wir gegeben: Die Geschwindigkeit soll diesmal 1/10 der Lichtgeschwindigkeit, also 0,1×c oder 3×107 m/s sein. Die Masse des Protons ist immer noch 1,67×10^-27 kg und die Ladung 1,6×10^-19 C. Gesucht ist die magnetische Flussdichte B. Wir nehmen wieder unseren Lieblingsansatz (m×v)/r=Q×B und stellen ihn nach der Flussdichte um. Es ergibt sich: Die magnetische Flussdichte B=(m×v)/(Q×r). Wir setzen ein und werfen wieder einmal einen Blick auf die Einheiten. Wir können Meter kürzen und übrig bleibt kg/(A×s²), und das ist genau ein Tesla. Unser Ergebnis lautet also 0,626 T. Bei einer magnetischen Flussdichte B=0,626 T erreicht die Geschwindigkeit der Protonen also 10% der Lichtgeschwindigkeit. So, das wars schon wieder für heute. Ich hoffe, ich konnte euch helfen. Vielen Dank fürs Zuschauen, vielleicht bis zum nächsten Mal, euer Kalle.

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. Default

    Kann mich meinem Vorgänger nur anschließen, wirklich super Videos!

    Von Yannic S., vor mehr als einem Jahr
  2. Muhammed ali

    Ich muss es einfach noch ein Mal sagen. Ihre Videos sind wirklich phänomenal, doch habe ich gemerkt, dass meine Schwäche im Umgang mit bzw. umformen von Einheiten liegt.

    Haben Sie Tipps, wo und wie man diese am Besten weg trainieren kann? Gibt es dazu "hier" vielleicht auch irgendwo - unter einer bestimmten Rubrik - Übungsvideos oder Tipps?
    Schon Mal vielen dank im voraus.

    Von Sweat Technique, vor etwa 2 Jahren
  3. Default

    ist Lichtgeschwindigkeit nicht 3*10^8m/s? wobei es im Tutor 3*10^7m/s ist (3*10^5km/s =(3*10^5*10^3)m/s)

    Von Can A., vor mehr als 4 Jahren