Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Zweite kosmische Geschwindigkeit

Hallo und herzlich willkommen! In diesem Video geht es um die 2. kosmische Geschwindigkeit. Nehmen wir an, wir haben die Erde und auf der Erdoberfläche befindet sich ein Körper mit der Masse M. Dieser Körper soll einmalig mit der Geschwindigkeit V2 vom Erdmittelpunkt weg von der Erde bewegt werden. Und wir wollen berechnen, welche Geschwindigkeit V2 mindestens dafür notwendig ist, damit der Körper die Anziehungskraft der Erde überwinden kann. V2 bezeichnet man als die 2. kosmische Geschwindigkeit. Der Betrag von V2 muss ausreichend sein, um die Erdanziehung zu überwinden. Bei dieser Aufgabe ist es, so wie bei vielen physikalischen Problemen, es kommt auf den Ansatz an. Und wir gehen hier davon aus, dass der Körper durch diese Geschwindigkeit V2 eine gewisse kinetische Energie, Ekin, erfährt. Und diese kinetische Energie ist dann gleich der potenziellen Energie, die er besitzt, wenn er von der Erde ausreichend entfernt ist, um sich der Erdanziehung zu entziehen. Die Formel für die kinetische Energie ist wohlbekannt, sie lautet: 1. Ekin=Mv²/2. Für die potenzielle Energie können wir nicht einfach Epot=m×g×h schreiben, weil sich die Erdbeschleunigung g mit dem Abstand von der Erde verändert. Allgemein können wir jedoch formulieren: Epot=∫ von Fds in den Grenzen von s1 bis s2. Andererseits kennen wir das Gravitationsgesetz. F=γ×m×mE/r². γ ist die Gravitationskonstante, m die Masse des Körpers, mE die Masse der Erde und r der Abstand des Körpers und der Erde voneinander. Somit können wir formulieren: Epot=∫ in den Grenzen von rE bis ∞. rE entspricht dem s1 in der oberen Gleichung, denn dort startet der Körper und er soll ja die Anziehungskraft der Erde überwinden, also praktisch bis in die Unendlichkeit katapultiert werden - daher die obere Grenze ∞. Für F setzen wir die rechte Seite der linken Formel ein, also γ×m×mE/r²dr. dr steh in diesem Falle für ds aus der Gleichung darüber. Nun sieht der Ausdruck sehr schwer und dramatisch aus, doch er erweist sich als Papiergespenst, denn γ, m, mE sind Größen, die Konstanten bezüglich von r sind. Daher können wir sie vor das Integralzeichen schreiben. Somit erhalten wir unten mittig: Epot=γ×m×mE∫ in den Grenzen von rE bis ∞. 1/r²=r^-2×dr. Diese Funktion r^-2 zu integrieren, dürfte keine Schwierigkeit bereiten. Denkt an die Integration der Funktion xn. Wir erhalten somit rechts: Epot=-γ×m×mE×r^-1]rE∞. r^-1 schreibe ich um als 1/r und erhalte somit den Ausdruck unten in der Mitte. Epot=-γ×m×mE×1/r]rE∞. -γ×m×mE sind Konstanten und ich schreibe sie außerhalb der Klammer auf, also =-γ×m×mE. Ich darf nicht einfach die obere Integrationsgrenze einsetzen, sondern muss den Grenzwert bilden, also (limes von 1/r für r∞-1/rE). Der Grenzwert strebt für r∞ gegen 0. Innerhalb der Klammer haben wir ein negatives Vorzeichen und gleich nach dem Gleichheitszeichen ebenfalls 1, -×-=+. Somit erhalten wir für die potenzielle Energie =γ×m×mE/rE. Nun erinnern wir uns wieder, Ekin=Epot. Wir setzen also die Gleichungen (1) und (2) gleich. Somit ergibt sich mv²/2=γ×mE/rE×m. Wir können nun beide Seiten durch m dividieren, mit 2 multiplizieren und die Wurzel ziehen. Somit ergibt sich die Geschwindigkeit V=\squrt2×γ×mE/rE. Somit haben wir eine Formel für die 2. kosmische Geschwindigkeit hergeleitet. Es ist gerade diese Geschwindigkeit, V2, die ausreichend ist, um einen Körper von der Erde wegzubewegen, sodass er die Erdanziehung überwinden kann. Also V2=\sqrt2γ×mE/rE. Nun hätte man natürlich gerne auch einen Wert für diese 2. kosmische Geschwindigkeit. Nun könnte ich mir natürlich die Mühe machen und wieder mit großem Aufwand γ, mE und rE zu notieren und dadurch den entsprechenden Wert auszurechnen, aber ich werde etwas ganz anderes tun. Denkt an das Video über die 1. kosmische Geschwindigkeit. Dort haben wir ebenfalls eine Formel für die 1. kosmische Geschwindigkeit, V1, hergeleitet. Erinnert ihr euch da dran? Die Formel lautete, die 1. kosmische Geschwindigkeit V1=\sqrtγ×mE/rE. Und nun schaut euch einmal die beiden Formeln an für V1 und V2. V2 unterscheidet sich von V1 genau um den Faktor \sqrt2. Also V2=\sqrt2×V1. Wir schreiben V2≈\sqrt2×7,9km/s. Das war der Wert, den wir für die 1. kosmische Geschwindigkeit im Video darüber ermittelt haben. Somit erhalten wir: V2≈11,1 km/s. Und V1, entsprechend aus dem Video vorher, ≈7,9 km/s. Ich danke für eure Aufmerksamkeit - auf Wiedersehen!

Informationen zum Video